梁子璇,黃美伊,冉宇寰,朱圣英

(1. 北京理工大學(xué)深空探測技術(shù)研究所,北京 100081；2. 深空自主導(dǎo)航與控制工信部重點(diǎn)實驗室,北京 100081)

0 引 言

高超聲速飛行器憑借其飛行速度高、飛行空域廣、突防能力強(qiáng)的特點(diǎn),已經(jīng)成為近年來航空航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。按軌跡/彈道特點(diǎn)的不同,高超聲速飛行器通?？梢苑譃榛枋脚c巡航式。對于兩類飛行器,俯沖段的精確制導(dǎo)都是完成打擊任務(wù)的關(guān)鍵。在未來復(fù)雜多變的作戰(zhàn)環(huán)境下,離線設(shè)計的俯沖軌跡適應(yīng)性較差,無法保證俯沖段的打擊效果。因此,針對多約束條件下高超聲速飛行器俯沖段,亟需發(fā)展具備在線軌跡規(guī)劃能力的制導(dǎo)技術(shù)。

作為打擊任務(wù)的最末段,俯沖段要求飛行器在有限的氣動力控制下完成待飛航程,并且準(zhǔn)確命中目標(biāo)點(diǎn)。同時,為了保證對目標(biāo)的打擊效果,俯沖段軌跡還需滿足一定的落角和落速約束。對于飛行速度高、控制能力弱的高超聲速飛行器,復(fù)雜的約束使得俯沖段制導(dǎo)問題極具挑戰(zhàn)。針對高超聲速飛行器的俯沖段制導(dǎo)問題,現(xiàn)有研究多側(cè)重于落角約束的滿足。Lu等設(shè)計了一種比例導(dǎo)引參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整的末制導(dǎo)律,可實現(xiàn)飛行器以固定落角命中目標(biāo)；在此基礎(chǔ)上,李惠峰等通過對制導(dǎo)參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,提升了落點(diǎn)與落角控制精度。考慮俯沖段的機(jī)動突防需求,文獻(xiàn)[8]和[9]分別基于正弦視線角曲線和螺旋機(jī)動軌跡設(shè)計了制導(dǎo)方法,在保證落角約束的同時,兼顧了飛行器的突防性能。針對初始條件和氣動參數(shù)等擾動,文獻(xiàn)[10]和[11]基于滑?？刂评碚撛O(shè)計了俯沖段制導(dǎo)方法,提升了擾動條件下的制導(dǎo)精度?？紤]飛行器的姿態(tài)動力學(xué),文獻(xiàn)[12-14]通過建立分通道模型、低階非線性系統(tǒng)模型等方法,簡化了六自由度制導(dǎo)控制系統(tǒng)的設(shè)計過程,并提出了具有魯棒性的制導(dǎo)控制一體化方法。以上方法雖然實現(xiàn)了較好的落角控制,但并未考慮落速約束,使得終端速度散布較大,一定程度上將影響高超聲速飛行器的打擊效果。

對于高超聲速飛行器而言,考慮到彈頭結(jié)構(gòu)約束和戰(zhàn)斗部最佳毀傷效果,一般存在最優(yōu)終端速度或速度區(qū)間。為實現(xiàn)最優(yōu)落速的控制,可以在俯沖段軌跡規(guī)劃中同時考慮落速與落角約束。針對帶落速下限約束的軌跡規(guī)劃問題,徐明亮等采用高斯偽譜法對俯沖段軌跡進(jìn)行了優(yōu)化；楊良等分析了高斯偽譜法的節(jié)點(diǎn)選取對軌跡優(yōu)化精度及效率的影響,為提升高斯偽譜法的計算效率提供了依據(jù)。此外,針對以落速最大為目標(biāo)函數(shù)的軌跡優(yōu)化問題,文獻(xiàn)[17]和[18]分別利用凸優(yōu)化方法與深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)理論進(jìn)行了求解。這些方法主要將落速考慮為不等式約束或優(yōu)化指標(biāo),能夠得到期望的俯沖軌跡,但優(yōu)化問題的求解耗時較長,難以滿足在線規(guī)劃需求。孫未蒙等在落角約束的基礎(chǔ)上,結(jié)合自適應(yīng)梯度下降法與模糊模型對落速進(jìn)行了補(bǔ)償控制,能夠在一定程度上調(diào)節(jié)飛行速度,但無法精確控制落速。

本文針對高超聲速飛行器俯沖段軌跡規(guī)劃問題,同時考慮落速與落角約束,提出一種快速軌跡規(guī)劃方法。首先,建立了兩段式軌跡規(guī)劃策略,將飛行過程分為速度調(diào)節(jié)段與落角控制段。前段引入?yún)?shù)化的控制剖面,使飛行器具有速度調(diào)節(jié)能力；后者則采用傳統(tǒng)的偏置比例導(dǎo)引律,以滿足落角約束。在此基礎(chǔ)上,為實現(xiàn)落速精確控制并提升規(guī)劃效率,將控制剖面的參數(shù)選取分解為離線多參數(shù)優(yōu)化與在線單參數(shù)搜索兩部分依次設(shè)計。最后,對所提出的軌跡規(guī)劃方法進(jìn)行了仿真,驗證了其實時性、魯棒性和任務(wù)適應(yīng)性。

1 動力學(xué)及約束模型

在俯沖段,飛行器的機(jī)動主要體現(xiàn)在縱向平面內(nèi),因此本文僅考慮縱向平面內(nèi)的軌跡規(guī)劃問題。以俯沖段飛行器質(zhì)心初始位置在地面上的投影點(diǎn)為原點(diǎn)建立地面固聯(lián)坐標(biāo)系,其中軸由原點(diǎn)指向俯沖段目標(biāo)點(diǎn),軸由原點(diǎn)指向飛行器質(zhì)心初始位置。定義飛行器狀態(tài)變量

=[,,,]

(1)

式中：為航程,表示飛行器質(zhì)心在軸上的坐標(biāo)；為高度,表示飛行器質(zhì)心在軸上的坐標(biāo)；為速度大??；為彈道傾角。

飛行器動力學(xué)模型為

(2)

式中：,分別為飛行器受到的氣動升力、阻力；為飛行器質(zhì)量,由于俯沖段為無動力(推力)飛行,為常數(shù)；為重力加速度。

對于俯沖段軌跡規(guī)劃問題,飛行器狀態(tài)變量受到的終端約束為

(3)

式中：為俯沖段終端時刻,一般不做約束；,,,分別為期望的終端航程、高度、速度與彈道傾角。一般以終端高度() =作為俯沖段終止條件。

考慮到飛行器控制能力限制,攻角在飛行過程中受到如下約束

(4)

此外,考慮到結(jié)構(gòu)安全,飛行器過載受到如下約束

||≤

(5)

式中：為過載最大值。

2 軌跡規(guī)劃方法

2.1 兩段式軌跡規(guī)劃策略

針對帶有落速與落角約束的高超聲速飛行器俯沖軌跡規(guī)劃問題,采用兩段式規(guī)劃策略：第一段為速度調(diào)節(jié)段,通過調(diào)整參數(shù)化控制剖面改變飛行速度,進(jìn)而控制落速；第二段為落角控制段,采用帶落角約束的導(dǎo)引律實現(xiàn)落角與落點(diǎn)控制。在該策略下,攻角指令可以寫為

(6)

式中：為時間,以進(jìn)入俯沖段為起點(diǎn)；為速度調(diào)節(jié)段與落角控制段的切換時刻；()為參數(shù)化的攻角剖面曲線,對應(yīng)速度調(diào)節(jié)段；()為落角控制段的攻角指令,可由法向加速度反解得到。

帶落角約束的導(dǎo)引律有多種形式,本文采用文獻(xiàn)[19]設(shè)計的偏置比例導(dǎo)引律,其基本思想是在比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上增加落角偏差的修正項,并根據(jù)待飛時間進(jìn)行加權(quán),相應(yīng)的法向加速度為

(7)

式中：為比例系數(shù)；為目標(biāo)視線角；為待飛時間,近似計算公式為

(8)

需要注意,本文研究的俯沖段軌跡不考慮終端時間約束,因此,采用式(8)給出的近似公式即可滿足落點(diǎn)與落角控制需求。

為滿足過載約束,攻角指令還需進(jìn)行如下處理：

(9)

2.2 參數(shù)化控制剖面設(shè)計

為減少設(shè)計參數(shù),將速度調(diào)節(jié)段的攻角曲線()設(shè)計為“常值-斜坡-常值”形式的參數(shù)化控制剖面,如圖1所示。攻角在[0,]內(nèi)為常值,在(,]內(nèi)為斜坡,在(,]內(nèi)為常值,表達(dá)式為

圖1 參數(shù)化攻角剖面Fig.1 Parameterized angle of attack profile

(10)

式中：與為攻角參數(shù),且一正一負(fù)；,,為時間參數(shù)。這樣,通過調(diào)節(jié)時間參數(shù)與可以改變正、負(fù)攻角持續(xù)時間的比例,進(jìn)而影響飛行軌跡與速度。

進(jìn)入落角控制段后,偏置比例導(dǎo)引律將首先采用正攻角以滿足垂直打擊的落角約束。因此,為避免兩段切換時攻角的劇烈變化,采用“負(fù)常值-斜坡-正常值”攻角剖面曲線,即<0,>0。

進(jìn)一步,為滿足式(4)中的攻角約束,將式(10)中(,]內(nèi)的斜坡進(jìn)行圓弧光滑處理,得到光滑的攻角剖面曲線

(11)

=+4Δ

(12)

式中：

(13)

于是,控制剖面設(shè)計轉(zhuǎn)化為攻角參數(shù),與時間參數(shù),的確定。俯沖段軌跡規(guī)劃時,一方面要具備較快的求解速度,以滿足在線規(guī)劃的實時性需求；另一方面,需對初始條件具有較好的魯棒性,即應(yīng)盡可能適應(yīng)更大范圍的初始擾動。綜合以上兩點(diǎn)考慮,控制剖面的參數(shù)確定方案如下：

1) 離線優(yōu)化攻角參數(shù),與時間參數(shù)。定義可行初始位置,并以其范圍大小作為優(yōu)化指標(biāo),通過求解優(yōu)化問題確定參數(shù),與。

2)在線搜索時間參數(shù)。在確定離線參數(shù),,的基礎(chǔ)上,通過求解單參數(shù)搜索問題確定滿足各項約束的參數(shù)及相應(yīng)的俯沖軌跡。

需要指出,俯沖段初始條件涉及與初始位置相關(guān)的高度和航程,也涉及到速度和彈道傾角等其他狀態(tài)量。為簡化設(shè)計,本文用可行初始位置范圍的大小近似表征攻角剖面對初始狀態(tài)擾動的適應(yīng)能力。由于各初始狀態(tài)量對俯沖軌跡的影響是耦合的,根據(jù)初始位置擾動適應(yīng)能力設(shè)計出的攻角剖面也將對速度、彈道傾角等其他狀態(tài)量的擾動具有一定的魯棒性。

2.3 離線多參數(shù)優(yōu)化

定義可行初始位置：對于某一組待優(yōu)化參數(shù),與,若存在時間參數(shù),使得相應(yīng)控制剖面下的俯沖軌跡能夠滿足各項約束,則該軌跡的初始點(diǎn)位置即為可行初始位置。進(jìn)一步,以標(biāo)稱情況下初始點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)的四邊形面積近似表征可行初始位置范圍的大小,如圖2所示。,,,分別表示從點(diǎn)開始,沿軸正向、軸負(fù)向、軸正向、軸負(fù)向的最遠(yuǎn)可行初始位置。

圖2 俯沖段可行初始位置范圍示意圖Fig.2 Diagram of feasible zone for initial position of diving phase

設(shè)四邊形面積為,建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

||)(||+||)

(14)

以函數(shù)式(14)為優(yōu)化目標(biāo),以動力學(xué)模型式(2)、攻角約束式(4)、過載約束式(5)為過程約束,結(jié)合終端狀態(tài)約束式(3),共同構(gòu)成了攻角參數(shù),與時間參數(shù)的優(yōu)化問題如下

(15)

(16)

式中：為俯沖段時間上邊界,可取= (-)/。

2.4 在線單參數(shù)搜索

需要注意,時間參數(shù)除影響落速之外,還可能影響俯沖段的落點(diǎn)與落角。當(dāng)取值過大時,飛行器速度損失嚴(yán)重以致無法到達(dá)目標(biāo)點(diǎn),即產(chǎn)生較大的負(fù)向落點(diǎn)偏差,并伴隨落角偏差；取值過小時,飛行器會因速度過高而落點(diǎn)超過目標(biāo)點(diǎn),即產(chǎn)生較大的正向落點(diǎn)偏差,并伴隨落角偏差。因此,只有當(dāng)在合理區(qū)間內(nèi)取值時,偏置比例導(dǎo)引律才能保證落點(diǎn)與落角的控制精度。于是,單參數(shù)搜索問題可以描述為：搜索使得落速偏差最小,且落點(diǎn)和落角偏差為零(或可接受),數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(17)

事實上,在偏置比例導(dǎo)引律作用下,落點(diǎn)和落角約束同時滿足或不滿足,且俯沖段對落角的容忍偏差相對更大。因此,搜索時只需保證落點(diǎn)約束即可。落速偏差Δ與落點(diǎn)偏差Δ隨的變化關(guān)系如圖3所示。圖中,為速度偏差曲線的零點(diǎn),[,]為落點(diǎn)偏差為零的區(qū)間。因此,優(yōu)化問題(17)的解為

圖3 落速與落點(diǎn)偏差隨t1的變化曲線Fig.3 Terminal velocity and position errors changed with t1

(18)

由于無法獲得Δ()與Δ()的解析函數(shù),故式(18)中的,,無法直接得到。為求解帶約束的單參數(shù)搜索問題,引入關(guān)于落點(diǎn)偏差的罰函數(shù)

(19)

式中：為落點(diǎn)偏差可接受范圍；為罰因子。為優(yōu)先保證落點(diǎn)約束的滿足,罰因子設(shè)計如下

=max{-,-0}

(20)

式中：為飛行器速度上邊界,可根據(jù)動能定理近似計算

(21)

引入罰函數(shù)后得到新的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

()=|()-|+(Δ,)

(22)

該單參數(shù)優(yōu)化問題可通過割線法求解,迭代過程如下

(23)

需要注意,當(dāng)式(22)存在零點(diǎn)時,可以得到滿足落速、落點(diǎn)、落角約束的俯沖軌跡；當(dāng)不存在零點(diǎn)時,則得到次優(yōu)解,即落速偏差最小且滿足落點(diǎn)與落角約束的俯沖軌跡。

3 仿真分析

在PC機(jī)(CPU：2.9 GHz)的Matlab環(huán)境下,對高超聲速飛行器俯沖軌跡規(guī)劃方法進(jìn)行仿真校驗。飛行器氣動參數(shù)參考文獻(xiàn)[20],標(biāo)稱情況下,俯沖段初始與終端條件見表1。

表1 標(biāo)稱初始與終端條件Table 1 Nominal initial and terminal conditions

3.1 標(biāo)稱情況仿真

圖4 俯沖段可行初始位置范圍Fig.4 Feasible zone for initial position of diving phase

得到離線優(yōu)化的參數(shù)后,對時間參數(shù)進(jìn)行快速搜索,得到標(biāo)稱情況下的多約束俯沖軌跡,如圖5所示。飛行器準(zhǔn)確地命中了目標(biāo)點(diǎn),終端位置偏差為0.15 m；通過調(diào)整飛行高度,實現(xiàn)了垂直俯沖的落角控制,落角(終端彈道傾角)為-89.80°。飛行器的速度曲線如圖6所示,落速為900.09 m/s,實現(xiàn)了對落速的精確控制。

圖5 標(biāo)稱情況俯沖軌跡Fig.5 Diving trajectory in nominal case

圖6 標(biāo)稱情況速度曲線Fig.6 Velocity in nominal case

圖7 標(biāo)稱情況攻角與過載曲線Fig.7 Angle of attack and overload in nominal case

3.2 擾動情況仿真

實際任務(wù)中,飛行器進(jìn)入俯沖段時位置和速度均可能存在偏差。假設(shè)俯沖段初始高度、速度、航程、彈道傾角均服從正態(tài)分布,且三倍標(biāo)準(zhǔn)差分別為3 km、 100 m/s、 30 km、 2°。采用蒙特卡洛方法對擾動情況下的軌跡規(guī)劃方法進(jìn)行仿真。仿真次數(shù)設(shè)定為500,規(guī)劃得到的俯沖軌跡如圖8所示。不難看出,在較大的初始狀態(tài)散布下,飛行器均能通過調(diào)整俯沖軌跡實現(xiàn)目標(biāo)點(diǎn)的精確命中,最大落點(diǎn)偏差為0.22 m。圖9給出了俯沖軌跡的落速-落角散布情況,落速偏差在± 3 m/s以內(nèi),落角偏差在±0.5°以內(nèi),均達(dá)到了較高的控制精度。圖10為飛行器的過載曲線,所有軌跡的最大過載均滿足不大于15 的約束限制。因此,蒙特卡洛仿真結(jié)果表明,所提出的軌跡規(guī)劃方法雖然在優(yōu)化攻角剖面時僅考慮了初始位置的適應(yīng)能力,但對初始位置和速度擾動均具有較好的魯棒性。

圖8 擾動情況俯沖軌跡Fig.8 Diving trajectories in dispersed cases

圖9 擾動情況落速-落角分布Fig.9 Terminal velocities and impact angles in dispersed cases

圖10 擾動情況軌跡過載曲線Fig.10 Overload for trajectories in dispersed cases

3.3 規(guī)劃效率分析

考慮在線使用需求,對所提出的軌跡規(guī)劃方法運(yùn)算效率進(jìn)行評估。蒙特卡洛仿真中,在線求解時間參數(shù)時,每條軌跡平均迭代1.67次,最大迭代5次；Matlab環(huán)境下,每條軌跡規(guī)劃平均耗時0.51 s,最大耗時為1.37 s。事實上,在C++環(huán)境下,軌跡規(guī)劃的耗時還可以大幅縮短。因此,統(tǒng)計結(jié)果表明,所提出的軌跡規(guī)劃方法求解效率高,具有在線使用的潛能。

3.4 可行初始位置范圍分析

攻角控制剖面的離線參數(shù)優(yōu)化,旨在提升軌跡規(guī)劃方法對飛行器初始位置的適應(yīng)能力,以可行初始位置的范圍大小作為優(yōu)化目標(biāo),并以四邊形面積近似表征其大小。為驗證該表征方式的合理性,在標(biāo)稱初始位置附近生成采樣點(diǎn),依次判斷其作為初始位置的可行性,結(jié)果如圖11所示?？梢钥闯?四邊形內(nèi)的點(diǎn)均可行；四邊形外的左上方,由于初始高度越大(初始速度不變),能量越大,允許的初始航程也越小,故該方向上的實際可行范圍不是封閉的；四邊形外的其他方向,雖然實際可行范圍略大,但趨勢基本吻合。因此,結(jié)果表明,在優(yōu)化攻角控制剖面的參數(shù)時,采用四邊形面積近似表征可行初始位置的范圍大小是合理的。

圖11 初始位置采樣評估結(jié)果Fig.11 Evaluation results for sampling points of initial position

3.5 任務(wù)適應(yīng)性分析

本文所提出的軌跡規(guī)劃方法包括離線參數(shù)優(yōu)化和在線參數(shù)搜索兩部分。當(dāng)離線參數(shù)確定后,在線調(diào)整時間參數(shù)不僅能夠抑制初始擾動偏差,還能應(yīng)用于不同落速與落角約束的飛行任務(wù)。圖12給出了落速約束分為800 m/s、900 m/s、1000 m/s所對應(yīng)的俯沖軌跡,實際落速偏差不超過± 3 m/s。飛行器主要通過控制速度調(diào)節(jié)段來滿足落速約束,故三條軌跡在前半段呈現(xiàn)出較大差異。終端速度越小,速度調(diào)節(jié)段的負(fù)攻角時間越長,使得俯沖軌跡前半段的高度下降越多。由于落角約束不變,三條軌跡在后半段趨于重合。圖13給出了落角約束分別為-80°、-85°、-90°所對應(yīng)的俯沖軌跡,實際落角偏差不超過± 0.2°。與圖12中的結(jié)果相反,三條俯沖軌跡前半段幾乎重合,而后半段區(qū)分度較強(qiáng),這是由于落角約束主要通過落角控制段來滿足。綜上,仿真結(jié)果表明,所提出的軌跡規(guī)劃方法對不同落速與落角約束的飛行任務(wù)具有較好的適應(yīng)性。

圖12 不同落速約束下的俯沖軌跡Fig.12 Diving trajectories with various terminal velocities

圖13 不同落角約束下的俯沖軌跡Fig.13 Diving trajectories with various impact angles

4 結(jié) 論

本文針對帶落速與落角約束的高超聲速飛行器俯沖段軌跡規(guī)劃問題,提出了一種“參數(shù)化控制剖面+偏置比例導(dǎo)引”的兩段式軌跡規(guī)劃方法。將控制剖面的參數(shù)設(shè)計分解為離線與在線兩部分：通過離線優(yōu)化部分參數(shù),提高了控制剖面對俯沖段初始狀態(tài)偏差的魯棒性；通過在線求解唯一的時間參數(shù),提升了軌跡規(guī)劃效率。仿真結(jié)果表明,該方法能夠得到滿足落速與落角約束的俯沖段軌跡,對初始狀態(tài)偏差具有較好的魯棒性,并適用于不同落速與落角約束的飛行任務(wù)；同時,該方法求解俯沖軌跡時的迭代次數(shù)不超過5次,具備在線軌跡規(guī)劃能力。