李思遠(yuǎn),葉 東,孫兆偉

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院衛(wèi)星技術(shù)研究所,哈爾濱 150001)

0 引 言

隨著通信技術(shù)與小型化技術(shù)的快速發(fā)展,由多顆小衛(wèi)星組成的衛(wèi)星集群能夠利用無(wú)線通信進(jìn)行組網(wǎng)飛行,從而實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)大衛(wèi)星的復(fù)雜功能,并大幅度降低研制的成本和風(fēng)險(xiǎn),顯著增強(qiáng)衛(wèi)星系統(tǒng)的靈活性和魯棒性。不同于星座與編隊(duì)飛行,衛(wèi)星集群不需要保持精確的空間構(gòu)型,只需要其成員衛(wèi)星在任務(wù)期間內(nèi)保持適當(dāng)?shù)耐ㄐ啪嚯x即可。

衛(wèi)星集群在空間中會(huì)受到多種攝動(dòng)的影響,如攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)、太陽(yáng)光壓攝動(dòng)和第三體引力攝動(dòng)等。因此,衛(wèi)星在不采用主動(dòng)控制的情況下會(huì)發(fā)生漂移,無(wú)法保證星群的穩(wěn)定。因此,對(duì)多攝動(dòng)條件下的星群的動(dòng)力學(xué)模型的建立是必不可少的。為簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程,獲得精確的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型,文獻(xiàn)[10]提出了一種基于參考衛(wèi)星軌道要素的動(dòng)力學(xué)建模方法,利用拉格朗日方程推導(dǎo)了考慮攝動(dòng)的衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。在此基礎(chǔ)之上,文獻(xiàn)[11]推導(dǎo)了攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)條件下的衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。

在某些空間任務(wù)中,可能需要衛(wèi)星集群從當(dāng)前位置快速運(yùn)動(dòng)到指定的目標(biāo)點(diǎn)。并且在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中既要保證星群的完整性,還要保證成員衛(wèi)星之間不發(fā)生碰撞。針對(duì)上述空間任務(wù),首先需要對(duì)星群的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行快速規(guī)劃。形狀曲線逼近法是一種簡(jiǎn)單的軌跡規(guī)劃方法,能夠快速地規(guī)劃出有約束連續(xù)推力條件下衛(wèi)星的轉(zhuǎn)移軌跡。文獻(xiàn)[14]以時(shí)間作為自變量,提出了一種基于解析形狀曲線的逼近方法,并利用該方法規(guī)劃了小推力航天器軌道轉(zhuǎn)移和軌道交會(huì)的安全軌跡。為增強(qiáng)對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的擬合能力,文獻(xiàn)[15]采用傅里葉級(jí)數(shù)作為形狀曲線,實(shí)現(xiàn)了航天器三維運(yùn)動(dòng)軌跡的快速設(shè)計(jì)。雖然形狀曲線逼近法只能對(duì)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行初步的規(guī)劃,但由于星群不需要精確的空間構(gòu)型,所以該方法適用于星群運(yùn)動(dòng)軌跡的快速規(guī)劃。

蜂擁控制是一種基于仿生學(xué)的分布式控制策略,經(jīng)常應(yīng)用于群體運(yùn)動(dòng)控制中。文獻(xiàn)[20]采用分散的蜂擁控制策略實(shí)現(xiàn)了二階多智能體系統(tǒng)通信連通性的保持。考慮系統(tǒng)收斂的速度,文獻(xiàn)[21]利用非光滑理論和固定時(shí)間穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)了蜂擁控制器,使系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)形成穩(wěn)定的集群運(yùn)動(dòng)。然而在實(shí)際中,通信延遲是不可避免的。針對(duì)此問(wèn)題,文獻(xiàn)[22-24]在考慮時(shí)變通信延遲的前提下設(shè)計(jì)了一種蜂擁控制器,并證明當(dāng)通信延遲滿足一定的約束時(shí),系統(tǒng)依然能夠到達(dá)穩(wěn)定。

在傳統(tǒng)的蜂擁控制中,通常認(rèn)為集群中的成員能夠與其通信范圍內(nèi)的所有鄰居成員互相通信。但對(duì)于衛(wèi)星集群,成員衛(wèi)星的通信鏈路可能存在上限,即一個(gè)衛(wèi)星只能與其通信范圍內(nèi)固定數(shù)量的衛(wèi)星進(jìn)行通信。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,采用度約束生成樹(shù)作為通信拓?fù)涫且环N合理的解決方法。然而,以生成樹(shù)為通信拓?fù)潆m然能減少每顆衛(wèi)星的通信鏈路,但是對(duì)兩顆不直接相連的衛(wèi)星,通信延遲可能會(huì)隨著通信跳數(shù)的增加而增加。因此,還需要對(duì)生成樹(shù)的半徑或直徑進(jìn)行約束。

綜合前文所述,本文針對(duì)衛(wèi)星集群的協(xié)同運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,首先利用Prim算法和廣度優(yōu)先算法設(shè)計(jì)了一種度、半徑約束生成樹(shù)的計(jì)算方法,并將優(yōu)化后的結(jié)果作為星群的通信拓?fù)洹Ａ硪环矫?利用基于傅里葉級(jí)數(shù)的形狀曲線逼近法對(duì)主星參考軌跡進(jìn)行快速規(guī)劃。基于得到的通信拓?fù)渑c參考軌跡,設(shè)計(jì)了改進(jìn)的蜂擁控制器,并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性證明。

1 相關(guān)基礎(chǔ)

1.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程用于描述軌道上兩顆近距離飛行的航天器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。為描述問(wèn)題方便,一般將其中一個(gè)航天器稱(chēng)作主星,另一個(gè)航天器稱(chēng)作從星。

建立衛(wèi)星集群相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型時(shí),常采用地心慣性坐標(biāo)系(ECI)與當(dāng)?shù)厮疆?dāng)?shù)卮怪弊鴺?biāo)系(LVLH)。其中,地心慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于地心,軸位于赤道平面內(nèi),指向春分點(diǎn),軸指向地球北極,軸位于赤道平面內(nèi),與軸垂直,且與,軸構(gòu)成笛卡兒直角坐標(biāo)系。對(duì)于LVLH坐標(biāo)系,其原點(diǎn)位于主星的質(zhì)心,軸方向由地球質(zhì)心沿徑向指向主星,軸垂直主星軌道面并指向軌道角動(dòng)量方向,軸與另外兩軸垂直并構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。ECI坐標(biāo)系與LVLH坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 ECI與LVLH坐標(biāo)系Fig.1 ECI and LVLH coordinate systems

由于衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)受到各種空間擾動(dòng)的影響,本文考慮項(xiàng)攝動(dòng),大氣阻力和第三體引力攝動(dòng)。首先,中心質(zhì)點(diǎn)引力和項(xiàng)攝動(dòng)的引力勢(shì)函數(shù)表達(dá)式為：

(1)

式中：為引力常數(shù)；為二階帶諧項(xiàng)系數(shù)；為地球的平均半徑；為衛(wèi)星在ECI坐標(biāo)系下位置矢量的模；為衛(wèi)星所處的地理緯度。

大氣阻力也是一種不可忽視的空間擾動(dòng),衛(wèi)星受大氣阻力而產(chǎn)生的加速度表達(dá)式如下：

(2)

式中：為大氣阻力系數(shù)；為衛(wèi)星有效迎風(fēng)面積；為衛(wèi)星質(zhì)量；為大氣密度；為衛(wèi)星相對(duì)于大氣的速度,可由下式求得：

(3)

式中：為衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系下的位置矢量,為地球自轉(zhuǎn)角速度,方向是沿軸正方向,大小為7.29211515×10rad·s。

第三體引力攝動(dòng)是指影響衛(wèi)星的攝動(dòng)來(lái)自第三個(gè)天體的牛頓引力,而對(duì)于地球衛(wèi)星來(lái)說(shuō),第三體引力攝動(dòng)來(lái)自于日、月引力。太陽(yáng)和月球引力產(chǎn)生的加速度的計(jì)算公式如下：

(4)

式中：和分別是太陽(yáng)和月球的引力常量；和分別為衛(wèi)星指向太陽(yáng)和月球的矢量,和為對(duì)應(yīng)矢量的模；和分別是地球指向太陽(yáng)和月球的矢量,和為對(duì)應(yīng)矢量的模。

(5)

式中：=32;為衛(wèi)星的徑向速度。

(6)

式中：,和為衛(wèi)星在LVLH坐標(biāo)系下三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的推力,其他參數(shù)如下：

(7)

1.2 圖論

衛(wèi)星集群的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淇梢圆捎脠D論來(lái)描述,當(dāng)星群中衛(wèi)星能夠雙向通信時(shí),采用無(wú)向圖進(jìn)行拓?fù)浣?。因?衛(wèi)星集群通信拓?fù)淇梢钥闯墒怯蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)和條邊構(gòu)成的無(wú)向圖=(V, E),其中節(jié)點(diǎn)集為V={,,…,},邊集E={,,…,}表示衛(wèi)星之間的通信鏈路。若是無(wú)向圖中連接頂點(diǎn),的邊,則稱(chēng)和為的兩個(gè)端點(diǎn),稱(chēng)頂點(diǎn),相互鄰接,所有與頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的邊數(shù)稱(chēng)為頂點(diǎn)的度,記為()。無(wú)向圖的度矩陣可用一個(gè)對(duì)角陣表示,記為=diag((),(),…,())。用表示頂點(diǎn)與之間的連接關(guān)系,若頂點(diǎn)與之間存在邊則=1,否則=0,=[]∈×定義為無(wú)向圖的鄰接矩陣。若無(wú)向圖無(wú)環(huán),則矩陣中第行(列)的元素之和等于頂點(diǎn)的度數(shù)。顯然鄰接矩陣是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣,同時(shí)也是一個(gè)非負(fù)矩陣。

1.3 問(wèn)題描述

本文的主要研究?jī)?nèi)容是考慮通信延遲的衛(wèi)星集群的群體運(yùn)動(dòng)控制策略。考慮由式(6)描述的衛(wèi)星集群,假設(shè)星群中只有一顆主星,星群在初始時(shí)刻的通信網(wǎng)絡(luò)是連通的,并且星群中的衛(wèi)星能夠通過(guò)通信鏈路傳遞信息,則設(shè)計(jì)星群運(yùn)動(dòng)策略如下：

(1)在初始時(shí)刻,結(jié)合Prim算法和廣度優(yōu)先算法計(jì)算當(dāng)前通信拓?fù)涞亩?、半徑約束最小生成樹(shù),并作為星群的通信拓?fù)洹?/p>

(2)主星采用基于傅里葉級(jí)數(shù)的形狀曲線逼近法快速生成滿足任務(wù)需求的主星參考軌跡,并將參考軌跡的信息傳給星群中的其他從星。

(3)基于規(guī)劃出的參考軌跡設(shè)計(jì)改進(jìn)的蜂擁控制器,實(shí)現(xiàn)主星對(duì)參考軌跡的快速跟蹤,同時(shí)使從星能夠根據(jù)通信連接關(guān)系保持合適的相對(duì)距離,并且在不發(fā)生碰撞的前提下維持通信拓?fù)涞倪B通性。最終,所有衛(wèi)星的速度最終與參考速度一致,即形成穩(wěn)定的蜂擁運(yùn)動(dòng)。

2 星群控制策略

2.1 星群通信拓?fù)渖伤惴?/h3>

考慮星群中的衛(wèi)星裝載簡(jiǎn)單的通信設(shè)備,單顆衛(wèi)星上的通信鏈路存在上限。因此,即使在通信范圍內(nèi)還有其他衛(wèi)星,任何衛(wèi)星在同一時(shí)間也只能與固定數(shù)量的鄰居衛(wèi)星通信。對(duì)于衛(wèi)星集群的通信拓?fù)?上述問(wèn)題意味著每個(gè)通信節(jié)點(diǎn)的度有上界。另外,若任何兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存在通信延遲,則通信延遲將會(huì)隨著通信跳數(shù)的增加而增加。為保證拓?fù)溥B通性,并且能節(jié)省部分通信資源,本文采用度、半徑約束最小生成樹(shù)作為星群通信拓?fù)洹?/p>

假設(shè)衛(wèi)星集群衛(wèi)星的初始通信拓?fù)錇闊o(wú)向圖=(V, E)。其中,在節(jié)點(diǎn)集合V中,定義為根節(jié)點(diǎn)。定義邊權(quán)矩陣={|(,)∈E},其中,表示第個(gè)衛(wèi)星與第個(gè)衛(wèi)星之間的相對(duì)距離與期望距離的差值。對(duì)于節(jié)點(diǎn),定義節(jié)點(diǎn)度約束()。設(shè)是無(wú)向圖的一棵樹(shù),()是一條從根節(jié)點(diǎn)到的路徑,而(())為這條路徑上的邊數(shù)。定義樹(shù)的半徑為()=max(()),為半徑的約束值。定義()為生成樹(shù)所有的邊權(quán)值得總和,則無(wú)向圖的度、半徑約束最小生成樹(shù)算法表示如下：

(8)

算法的核心思想是,根據(jù)任務(wù)要求選擇一顆衛(wèi)星作為根節(jié)點(diǎn),再利用Prim算法和廣度優(yōu)先算法在度約束下不斷擴(kuò)展其他節(jié)點(diǎn),直到得到最優(yōu)生成樹(shù)。算法的具體步驟如下：

1) 定義一個(gè)根節(jié)點(diǎn)集合={}和一個(gè)候選節(jié)點(diǎn)集合。選擇一個(gè)根節(jié)點(diǎn),定義剩余度標(biāo)記為()=(),定義當(dāng)前節(jié)點(diǎn)與根節(jié)點(diǎn)的跳數(shù)為()=0,定義生成樹(shù)的邊集。

2) 從邊集E中篩選出與根節(jié)點(diǎn)相連接的邊,并將這些邊按權(quán)值從小到大排列放入集合中。

3) 從集合中的第一條邊開(kāi)始搜索連接的節(jié)點(diǎn),滿足()>0和()≤,其中()←()+1。然后,將(,)存入集合。

4) 將滿足約束的節(jié)點(diǎn)加入到集合中,并更新與的剩余度標(biāo)號(hào),即()←()-1和()←()-1。

5) 判斷集合中節(jié)點(diǎn)的剩余度標(biāo)號(hào),若()=0,則將節(jié)點(diǎn)從集合中刪除。

6) 判斷集合中的邊數(shù),若邊數(shù)小于-1,則返回2)。若邊數(shù)等于-1,則集合中的邊即為無(wú)向圖的度、半徑約束最小生成樹(shù)。

將計(jì)算得到的度、半徑約束最小生成樹(shù)作為衛(wèi)星集群通信拓?fù)?能夠在滿足通信約束的條件下,用最少的通信鏈路保證通信拓?fù)涞倪B通性,并實(shí)現(xiàn)邊權(quán)值最優(yōu),能夠?yàn)榭刂破魈岣呤諗康乃俣?從而在一定程度上減少燃料消耗。

2.2 衛(wèi)星集群參考軌跡設(shè)計(jì)

由于星群對(duì)具體空間構(gòu)型的要求并不嚴(yán)格,且衛(wèi)星之間只需要保持在通信范圍內(nèi)就可以正常工作。因此,相對(duì)于計(jì)算量大的精確軌跡規(guī)劃,在任務(wù)初始階段對(duì)主星進(jìn)行簡(jiǎn)單快速的軌跡規(guī)劃更適合星群的群體運(yùn)動(dòng)。

(9)

式中：表示主星運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；,和為傅里葉級(jí)數(shù)的階次；,,,2-1,2-1,2-1,2,2和2為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。對(duì)式(9)關(guān)于時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)可得

(10)

對(duì)式(9)關(guān)于時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)可得

(11)

傅里葉級(jí)數(shù)中的系數(shù)確定以后,將式(9-11)代入式(6)能夠計(jì)算出衛(wèi)星三軸方向上的推力值。假設(shè),衛(wèi)星推進(jìn)器能提供的最大推力值為,則推力約束方程為：

(12)

當(dāng)主星初始狀態(tài)(位置、速度)、末端狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)時(shí)間已知的情況下,能夠確定12個(gè)約束方程。同時(shí),為了保證擬合曲線的精度,傅里葉級(jí)數(shù)階次的取值不能太小,但取值過(guò)大也會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜程度,并且對(duì)精度的提升不大,因此一般選取的階次為大于等于3。這將使約束方程的個(gè)數(shù)少于未知系數(shù),所以將未知系數(shù)分成兩個(gè)部分,其中一部分由約束方程直接求得,具體表達(dá)式如下：

(13)

式中：,和為衛(wèi)星的初始位置坐標(biāo)；,和為衛(wèi)星的末端位置坐標(biāo);另一部分系數(shù)由優(yōu)化算法求得。本文以燃料消耗作為優(yōu)化指標(biāo),具體形式為：

(14)

式中：()表示主星在時(shí)刻的狀態(tài)；0和f為邊界條件；表示三個(gè)坐標(biāo)方向。本文采用序列二次規(guī)劃(SQP)算法,根據(jù)待優(yōu)化的性能指標(biāo)求解滿足約束條件的優(yōu)化解,即為傅里葉級(jí)數(shù)的全部系數(shù),進(jìn)而得主星在推力約束下的優(yōu)化軌跡,將該軌跡作為主星的參考軌跡,用于后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)。

2.3 考慮通信延遲的改進(jìn)蜂擁控制器設(shè)計(jì)

在前文得到的優(yōu)化拓?fù)浜蛥⒖架壽E的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)改進(jìn)蜂擁控制器,使主星跟蹤參考軌跡,且存在直接通信的衛(wèi)星之間保持一個(gè)特定的期望通信距離,而其他衛(wèi)星僅需要保證不發(fā)生碰撞即可。盡管星群沒(méi)有具體的空間構(gòu)型,但依然能夠在不發(fā)生碰撞的前提下維持星群的通信連通性。

假設(shè),衛(wèi)星集群由1顆虛擬參考衛(wèi)星與顆質(zhì)量均為的真實(shí)衛(wèi)星構(gòu)成。衛(wèi)星之間能夠通過(guò)無(wú)線通信實(shí)現(xiàn)信息的傳遞,不直接通信的衛(wèi)星,也可以通過(guò)通信鏈路獲取彼此的狀態(tài)信息。然而通信延遲普遍存在于衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)中,針對(duì)此問(wèn)題,本文考慮任意兩顆直接通信的衛(wèi)星之間的通信延遲相同,以()表示,不直接通信的衛(wèi)星之間的通信延遲為最短通信鏈路上所有延遲的總和。

(15)

(16)

在1中,為星群通信拓?fù)溧徑泳仃嚨脑?；為正?shù)；為蜂擁控制的勢(shì)函數(shù),其表達(dá)式為：

(17)

(18)

式中：∈(0, 1)。顯然,1的作用只存在于直接通信的衛(wèi)星,并且會(huì)使直接通信的衛(wèi)星間距離趨向于期望距離。

由于不直接通信的衛(wèi)星之間可能會(huì)發(fā)生碰撞,因此設(shè)計(jì)了2,若任意兩顆衛(wèi)星之間通過(guò)通信鏈路可以得知彼此的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),則實(shí)現(xiàn)碰撞規(guī)避,2采用人工勢(shì)場(chǎng)法,()表達(dá)式如下

(19)

式中：為增益系數(shù)；為安全距離；為人工勢(shì)場(chǎng)的作用距離。

在3中,和為控制增益,定義為主星標(biāo)號(hào),若第顆衛(wèi)星為主星時(shí)=1,否則=0。這意味著只有主星跟蹤參考軌跡,而其他的衛(wèi)星只跟蹤參考速度使星群實(shí)現(xiàn)速度一致。最后在4中,為正數(shù),實(shí)現(xiàn)對(duì)未建模擾動(dòng)的補(bǔ)償。

定義(),()和()分別是在控制器作用下第顆、第顆衛(wèi)星和參考衛(wèi)星在時(shí)刻的期望位置,則當(dāng)→∞時(shí)有

(20)

因此,控制器可以表示為：

(--(-))-(-)-

(21)

令

(22)

(23)

并且,定義第顆衛(wèi)星與第顆衛(wèi)星之間的通信延遲為(),則控制器可以表示為

())]-(()-())-(()-

(24)

將衛(wèi)星之間的通信延遲定義成一個(gè)集合(),其表達(dá)式如下

()∈{():,=1,2,…,},=1,2,…,

(25)

(26)

將星群控制器寫(xiě)成如下的矩陣形式：

(27)

式中：?表示克羅內(nèi)克積；為階方陣,且對(duì)角線上主星對(duì)應(yīng)序號(hào)的元素為1,其余元素為0；為階單位陣；×為包含×個(gè)元素的列向量,其中,=3,且每個(gè)元素均為1。根據(jù)式(15)和參考軌跡的差值,可得系統(tǒng)的誤差模型如下：

(28)

(29)

式中:

(30)

假設(shè)對(duì)稱(chēng)矩陣可分解為：

(31)

定義函數(shù):([-,0],)→,且滿足如下微分方程

(32)

式中：()=(+), ?∈[-,0],且(0)=0。定義連續(xù)非減函數(shù)(),()和(),當(dāng)>0時(shí),有()>0,()>0,()>0。并且,(0)=0,(0)=0,當(dāng)→∞時(shí),()→∞。若存在一個(gè)連續(xù)的函數(shù)(,):×→,一個(gè)連續(xù)非減的函數(shù)():→,當(dāng)>0,()>,和一個(gè)常數(shù),使得

(1)(==)≤(,)≤(==),∈,∈。

則微分方程(32)的零解是一致有界的,而當(dāng)=0時(shí),該零解是一致漸近穩(wěn)定的。

考慮衛(wèi)星集群包含顆衛(wèi)星,其相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型如式(15),若存在控制增益,使得

(33)

并且通信延遲=max(())滿足

(34)

式中：(·)表示矩陣的最小特征值；>1；其他參數(shù)為

(35)

則,誤差系統(tǒng)(29)是穩(wěn)定的。

定義李雅普諾夫函數(shù)如下：

(36)

顯然,

(37)

對(duì)李亞普法諾夫函數(shù)()求導(dǎo)可得

(38)

根據(jù)式(29)可得

(39)

式中:

(40)

將式(39)代入式(38)可得

(41)

(42)

另外,根據(jù)引理2,令()=,>1,可得

(43)

代入式(42)和(43),式(41)可化簡(jiǎn)為：

(44)

(45)

(46)

可得

(47)

根據(jù)引理2可知

(48)

因此,在改進(jìn)蜂擁控制器的作用下,星群中的主星能夠跟蹤參考軌跡,所有衛(wèi)星能夠根據(jù)通信拓?fù)涞倪B接關(guān)系維持期望的通信距離且不發(fā)生碰撞。最終,星群中衛(wèi)星的速度將趨于參考速度,形成穩(wěn)定的蜂擁運(yùn)動(dòng)。

3 仿真校驗(yàn)

本文以10顆衛(wèi)星組成的衛(wèi)星集群為例,虛擬的參考衛(wèi)星軌道根數(shù)為=687814 km,=005,=π6, Ω=π3,=π6,=π4。下文中,集群衛(wèi)星位置矢量的單位為m,速度矢量的單位為m·s,集群中主星的期望位置矢量為=[200 200200],期望速度矢量為=[000]。集群中衛(wèi)星的初始位置矢量如下：

(49)

集群中衛(wèi)星的初始速度矢量如下：

(50)

圖2 優(yōu)化后的通信拓?fù)銯ig.2 Optimized communication topology

從圖2中可以看出,每顆衛(wèi)星均與不超過(guò)3顆衛(wèi)星互相通信,每顆衛(wèi)星與主星衛(wèi)星的通信距離不超過(guò)3跳。此外,根據(jù)優(yōu)化算法的原理,直接通信的衛(wèi)星間距在優(yōu)化之后更接近期望的通信距離,這可以在一定程度上減少控制距離和穩(wěn)定時(shí)間,從而減少燃料消耗。

進(jìn)而,利用基于傅里葉級(jí)數(shù)的形狀曲線逼近法取===4,推力約束為1 N的條件下,根據(jù)主星的初始狀態(tài)、期望狀態(tài)以及運(yùn)動(dòng)時(shí)間對(duì)主星的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃,傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)如下：

式中：=1,2,…,9。同時(shí),在改進(jìn)蜂擁控制器的作用下,主星將跟蹤規(guī)劃的參考軌跡,從星跟隨主星運(yùn)動(dòng),如圖3所示。主星與參考軌跡之間的位置誤差如圖4所示。

圖3 衛(wèi)星集群運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 Trajectories of the satellite cluster

圖4 主星的位置誤差Fig.4 Position errors of the leader satellite

在圖3中可以看出,星群能夠沿著參考軌跡實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的群體運(yùn)動(dòng),并且在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持優(yōu)化的通信拓?fù)洹８鶕?jù)圖4中的主星位置誤差曲線,可以看出在控制器的作用下,主星跟蹤參考軌跡的位置誤差小于0.2 m,這說(shuō)明主星能夠精確地跟蹤所設(shè)計(jì)的參考軌跡。

由控制器的形式可知,星群通信拓?fù)渲写嬖谥苯油ㄐ诺男l(wèi)星之間將保持期望通信距離400 m,并且在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,任意兩顆衛(wèi)星將保持在安全距離以外,而星群中所有衛(wèi)星的速度將會(huì)趨于一致,并收斂到期望的速度。星群中直接通信的衛(wèi)星之間的相對(duì)距離如圖5所示,所有衛(wèi)星之間的相對(duì)距離如圖6所示。

圖5 直接通信衛(wèi)星之間的相對(duì)距離Fig.5 Relative distance between satellites with direct communication

圖6 集群衛(wèi)星之間的相對(duì)距離Fig.6 Relative distance between satellites in a cluster

從圖5中可以看出,直接通信的衛(wèi)星之間的距離能夠快速收斂,并在640 s時(shí)到達(dá)穩(wěn)定,最終的跟蹤誤差小于0.4 m。而在圖6中能夠發(fā)現(xiàn),星群中的衛(wèi)星在整個(gè)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,星間距離始終保持在安全距離之外。雖然在初始時(shí)刻存在衛(wèi)星間距小于安全距離的情況,但是在控制器的作用下,衛(wèi)星彼此快速分離,滿足碰撞規(guī)避的要求。

另外,所有衛(wèi)星的相對(duì)速度將在運(yùn)動(dòng)中趨于一致,并且最終收斂到參考軌跡的速度。星群衛(wèi)星與參考軌跡的速度跟蹤誤差如圖7所示。從圖7中的誤差曲線可以看出,當(dāng)直接相連的衛(wèi)星收斂于期望距離后,衛(wèi)星的速度也開(kāi)始收斂于參考速度,最后達(dá)到0.02 m/s的控制精度。值得注意的是,相對(duì)速度趨于一致是保證星群整體穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵。

圖7 星群中每顆衛(wèi)星的速度誤差Fig.7 Velocity errors of each satellite in a cluster

4 結(jié) 論

本文提出了一種改進(jìn)的蜂擁衛(wèi)星集群控制策略。為了得到滿足通信約束的星群通信拓?fù)?利用基于Prim算法和廣度優(yōu)先算法計(jì)算出星群通信網(wǎng)絡(luò)的度、半徑約束生成樹(shù)。進(jìn)而,根據(jù)任務(wù)需求采用基于傅里葉級(jí)數(shù)的形狀曲線逼近法對(duì)主星的參考運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了快速規(guī)劃。最后,考慮衛(wèi)星間通信時(shí)延、多擾動(dòng)和推力約束,設(shè)計(jì)了結(jié)合傳統(tǒng)蜂擁控制與人工勢(shì)場(chǎng)法的改進(jìn)蜂擁控制器,實(shí)現(xiàn)星群的無(wú)碰撞群體運(yùn)動(dòng)。數(shù)值仿真表明,本文設(shè)計(jì)的控制策略能夠在滿足各種約束的前提下,使星群以較高的控制精度快速安全地跟蹤參考軌跡,從而保證空間任務(wù)的順利實(shí)施。