李 寒

(貴州省貴陽市第一中學 550081)

1 試題呈現(xiàn)

解析由題設知A(-a,0)，設P(x1,y1)，則Q(-x1,y1).

故選A.

若將點A換為右頂點，有相同的答案.

2 試題溯源

該試題源于教材，是由人教普通高中課程標準實驗教科書(A版)數(shù)學選修2-1兩道題目改編而成的.

圖1

圖2

解析設點M的坐標為(x，y)，依題意，得

整理，得

顯然點M的軌跡是除去A，B兩點的雙曲線.

教材是高考命題的生長點，立足教材，堅持對教材的回歸，將教材例題、習題重新組合、改編和加工為高考試題，是高考命題的一個重要趨勢.因此，在復習備考的過程中要注意回歸教材，通過對教材例、習題的探索變式、拓展推廣，對解題思路進行內(nèi)化、深化的訓練，達到把握其實質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟的目的，進而使數(shù)學思維得到升華，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

3 延伸探究

證明按上面試題的解法進行，這里從略.

將命題1類比、延伸到雙曲線，可有：

證明以A為左頂點為例來證明.

不妨設A(-a,0)，P(x1,y1)，則Q(-x1,y1).

將上述問題改為已知斜率關(guān)系的情況下，求動點P的軌方程，可有：

證明設P(x，y)，則Q(-x，y).

所以a2y2=-b2x2+a2b2.

所以b2x2+a2y2=a2b2.

故點P的軌跡是除去與x軸交點的橢圓.

證明設P(x，y)，則Q(-x，y).

所以a2y2=b2x2-a2b2.

所以b2x2-a2y2=a2b2.

故點P的軌跡是除去與x軸交點的雙曲線.

命題3和命題4其實給出了橢圓和雙曲線的又一種形式的定義：

更一般地，有：

平面內(nèi)關(guān)于y軸對稱的兩個動點P，Q到定點A(-a，0)(或(a，0))的斜率乘積等于常數(shù)m(m≠0,m≠-1)的點的軌跡是橢圓或雙曲線.當常數(shù)m>0時，且m≠1時，軌跡是除去與x軸交點的橢圓；當常數(shù)m<0時，軌跡是除去與x軸交點的雙曲線.其中定點A是橢圓或雙曲線的左頂點.

對高考試題的多角度探究，就是指對問題從不同視角來審視，以不同的切入點探究問題，其實質(zhì)是對試題的“二次開發(fā)”.通過對試題的剖析和思考，展開問題的來龍去脈和知識間的縱橫聯(lián)系，站在一定的高度去思考問題，突出數(shù)學本質(zhì)，使知識達到融會貫通，使思維得到升華，進而優(yōu)化數(shù)學思維品質(zhì).