蔡海濤

(福建省教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部 350025)

直線與圓錐位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題是解析幾何的一種重要類型，由于這類問(wèn)題常常涉及較為繁雜的計(jì)算，較多出現(xiàn)在高考的解答題中，2022年新高考Ⅰ卷在客觀題出現(xiàn)(第16題)，讓筆者眼前一亮，下面談?wù)剬?duì)該試題的探究，以期拋磚引玉.

1 題目呈現(xiàn)

本題以橢圓為載體，考查了橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的定義以及橢圓中的弦長(zhǎng)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查了空間想象、運(yùn)算求解等能力；考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想；考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性.

2 解法分析

因?yàn)椤鰽F1F2為正三角形，

由等腰三角形性質(zhì)，得

|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|.

則△ADE的周長(zhǎng)等于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a.

與橢圓方程聯(lián)立,得13x2+8cx-32c2=0.

所以△ADE的周長(zhǎng)是13.

則△AF1F2為正三角形，∠AF2O=60°.

顯然直線DE是線段AF2的垂直平分線.

所以∠DF1O=30°.

故|DE|=|DF1|+|EF1|

評(píng)析本題的難點(diǎn)是求弦DE的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)|DE|=|DF1|+|EF1|，利用圓錐曲線的極坐標(biāo)方程使得解法優(yōu)化，其余解題思路同解法1.

3 變式拓展

設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線為y=x-c，

故矩形MNPQ面積最大值為4.

變式2已知ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在雙曲線上，點(diǎn)P(0,1)在邊AB上，且則ABCD的面積等于____.

解析由平行四邊形的對(duì)稱性與雙曲線的對(duì)稱性，知點(diǎn)O為平行四邊形的中心，A，B，C，D四點(diǎn)在兩支雙曲線上各有兩點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)A，D在左支上，點(diǎn)B，C在右支上，如圖1，考慮點(diǎn)A，B關(guān)于雙曲線中心的對(duì)稱點(diǎn)A′,B′，因?yàn)閱沃щp曲線上不存在四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，知A′=C,B′=D，所以ABCD的對(duì)稱中心為O.

圖1

將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入雙曲線方程，得

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，

則拋物線方程為y2=4x(p>0)，焦點(diǎn)F(1,0).

設(shè)直線AB方程為x=my+1，

與拋物線方程聯(lián)立,得y2-4my-4=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨假設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方.

則y1+y2=4m，y1y2=-4.

設(shè)點(diǎn)M到直線AB的距離為d，則