楊偉達(dá)

(廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510800)

1 展示正六邊形的向量模型，感受數(shù)學(xué)味道

例1 (新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第一章例2)設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心．(如圖1)

圖1

(1)寫出圖中的共線向量；

分析本題關(guān)鍵是在正六邊形ABCDEF中找出平行四邊形．而ABCO的向量數(shù)式：借用向量表示對(duì)邊平行且相等，它起到簡(jiǎn)潔、優(yōu)美的效果，同時(shí)也代表一個(gè)簡(jiǎn)單圖形．

圖2

分析本題考查了不共起點(diǎn)的向量基底．借用前面例題結(jié)果，利用向量的平行四邊形法則和三角形法則即可．

方法1選用不同的基底，列方程組即可表示其它向量；

方法2特殊圖形，可建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法；

方法3轉(zhuǎn)化為有交點(diǎn)的基向量，利用三角形法則即可．

解法1由圖3可知，四邊形ABCO,BCDO分別為菱形,其中AC，OB，BD，OC分別為對(duì)角線.

圖3

圖4

以下同解法1.

圖5

以下同解法1.

2 緊扣正六邊形的向量?jī)?nèi)涵，突顯核心素養(yǎng)

2.1 正六邊形藴含的基本圖形不簡(jiǎn)單

正六邊形藴含的基本圖形(1)有6個(gè)等腰三角形(如圖6)；(2)有8個(gè)等邊三角形(如圖6,9)；(3)有6個(gè)直角三角形(如圖7)；(4)有6個(gè)菱形(如圖8)；(5)有3個(gè)矩形(如圖10);(6)有6個(gè)等腰梯形(如圖11)；(7)正六邊形的每一個(gè)角都蘊(yùn)含著4個(gè)30°角；(8)正六邊形的面積是6個(gè)等邊三角形的面積之和．

圖6 圖7 圖8

圖9 圖10 圖11

2.2 向量工具不簡(jiǎn)單

向量工具神通廣大,它作為解決長(zhǎng)度、距離、角度、平行、垂直等問題的重要工具，有較好的融合度，與其他知識(shí)結(jié)合的試題累見不鮮．具體如下：

(1)利用其形的特點(diǎn)，通過向量運(yùn)算的幾何意義轉(zhuǎn)化為平面幾何的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算.形如：利用向量的數(shù)式表示直線、三角形、平行四邊形、梯形、圓等．

(2)利用其數(shù)的特點(diǎn)，通過建立坐標(biāo)系，將向量的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有關(guān)問題解決．形如：向量在坐標(biāo)系中推導(dǎo)出距離、角度、平行、垂直等公式，同時(shí)推導(dǎo)出三角形的正余弦定理、勾股定理、射影定理等．

3 鏈接正六邊形的高考試題，提升應(yīng)用能力

A．(-2，6) B．(-6，2)

C．(-2，4) D．(-4，6)

分析本題考查了以正六邊形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)用．(1)關(guān)鍵在于動(dòng)點(diǎn)P所在位置．結(jié)合數(shù)量積的射影公式及正六邊形的特點(diǎn)，確定數(shù)量積分別取得最大值、最小值時(shí)點(diǎn)P所在位置即可；(2)坐標(biāo)法略．

圖12 圖13

例4(2018年上海)《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬．設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖13，若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是( ).

A．4 B．8 C．12 D．16

解析如圖13，以AA1為底面矩形的另一邊分別是AB,AC,AD,AE,AF，依題可知，在正六邊形ABCDEF內(nèi)分別找以AB為直角邊的矩形、以AC為直角邊的矩形、AE為直角邊的矩形、AF為直角邊的矩形，不難發(fā)現(xiàn)，AD為直角邊的矩形是不能找到．所以下底面的陽(yáng)馬數(shù)是8，同理，上底面的陽(yáng)馬數(shù)也一樣，所以陽(yáng)馬總數(shù)為16．故選D．

圖14

A.18 B.24 C.36 D.48

圖15

4 加強(qiáng)模型變式教學(xué)，追尋有效、高效

“高考題?？汲Ｐ隆?，每一年的高考題、模擬題都會(huì)有不一樣的新面孔.如何把新面孔落實(shí)到課堂教學(xué)活動(dòng)中？當(dāng)前有一種被稱為有效課堂教學(xué)，那就是在某一模型的基礎(chǔ)上，變更條件、編寫變式題組，然后進(jìn)行題組化訓(xùn)練.其目的是讓學(xué)生熟悉考試題型，在短時(shí)間內(nèi)記住題型的解題方法，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力是很有幫助的.

4.1 變更題設(shè)條件(包括數(shù)學(xué)文化背景)，結(jié)論不變

圖16

4.2 變更題設(shè)結(jié)論，其它條件(包括數(shù)學(xué)文化背景)不變

圖17 圖18

5 一點(diǎn)感悟

新教材中的例、習(xí)題是專家們精心挑選的，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法．對(duì)這些具有代表性的正六邊形范例，充分挖掘正六邊形潛在功能，通過一題多解、多題一解、一題多變、推廣探究等，把知識(shí)、素養(yǎng)落到實(shí)處，引領(lǐng)學(xué)生探究，真正達(dá)到有效、高效．