李文東

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

與幾何體有關(guān)的球問題是立體幾何的重點(diǎn)，也是高考考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，這類問題能充分考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng)，特別是對(duì)于多面體的外接球問題，各種文獻(xiàn)和資料都有介紹，并且歸納和總結(jié)了各種不同的解題模型，這樣不僅增加了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，而且從高三的實(shí)際教學(xué)情況看，效果并不好，因此需要對(duì)這類問題探求通法求解.

1 多面體外接球問題

求解多面體外接球問題主要涉及到如下知識(shí)：

球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓，設(shè)球的半徑為R，截面圓O1的半徑為r，球心O與圓心O1的距離OO1=d，如圖1，則有R2=r2+d2,設(shè)AB為圓O1的一條弦，M為AB的中點(diǎn)，則OM⊥AB.

圖1

這里包含以下三層含義：

(1)對(duì)于多面體的外接球，球心為過多面體各個(gè)面的外心且垂直該面的垂線的交點(diǎn)，特別地，正多面體的外接球的球心在高上；

(2)過球心作球內(nèi)接多面體某個(gè)面的垂線，垂足為該面的外心；

對(duì)于外接圓半徑的求法：當(dāng)多面體的某個(gè)面為直角三角形時(shí)，其外接圓的圓心O1為斜邊的中點(diǎn)；若是一般的三角形則可借助正弦定理確定外接圓的半徑.

由余弦定理，得

所以三棱錐P-ABC外接球的半徑

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為4πR2=88π.

圖2

解析根據(jù)題意，作出圖形，如圖3所示，

圖3

因?yàn)椤鱌AC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，

所以△PAC的外心在AC中點(diǎn)，設(shè)為O2，

設(shè)△ABC的外心為O1，BC中點(diǎn)為E，AO1=r1，

所以O(shè)1必在AE連線上.

因?yàn)閮善矫娼痪€為AC，O1為平面ABC所在圓面中心，

又因?yàn)槎娼荘-AC-B的大小為120°，PO2⊥AC，

所以∠PO2O1=120°,∠OO2O1=30°.

錐體P-ABC外接球半徑

則三棱錐P-ABC的外接球表面積為S=4πR2=10π，故選B.

點(diǎn)評(píng)一般地，對(duì)于三棱錐P-ABC，二面角P-AC-B的大小為θ，則三棱錐P-ABC的外接球的半徑R可由以下方法求出：

(1)分別求出△ABC和△PAC的外接圓半徑r1,r2，其外接圓的圓心分別記為O1,O2；

(2)分別過點(diǎn)O1,O2作面ABC和面PAC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)O即為三棱錐P-ABC的外接球的球心；

(3)取AC的中點(diǎn)Q，則O1Q⊥AC，O2Q⊥AC，故∠O1QO2為二面角P-AC-B的平面角，即∠O1QO2=θ；

例3已知球O的半徑為2，球心O在大小為60°的二面角α-l-β內(nèi)，二面角α-l-β的兩個(gè)半平面分別截球面得兩個(gè)圓O1，O2，若兩圓O1，O2的公共弦AB的長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，四面體OAO1O2的體積為V，則下列結(jié)論中正確的有( ).

圖4

因?yàn)槎娼铅?l-β的兩個(gè)半平面分別截球面得兩個(gè)圓O1，O2，O為球心，

所以O(shè)O1⊥α，OO2⊥β.

又O1E?平面α，O2E?平面β，

所以O(shè)O1⊥O1E，OO2⊥O2E.

故O，E，O1，O2四點(diǎn)共圓，故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)镋為弦AB的中點(diǎn)，故O1E⊥AB，O2E⊥AB.

故∠O1EO2即為二面角α-l-β的平面角.

所以∠O1EO2=60°.

設(shè)OO1=d1，OO2=d2，

在△OO1O2中，由余弦定理可得，

故選ACD.

2 與球相關(guān)的綜合問題舉例

例4如圖5，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在正方體表面上運(yùn)動(dòng)．以下命題正確的是( ).

圖5

A．側(cè)面CDD1C1上不存在點(diǎn)F1，使得B1F1⊥CD1

解析對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)F1是CD1的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知B1C=B1D1.

所以△B1CD1是等腰三角形.

所以B1F1⊥CD1，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)G,H分別是CC1,C1D1的中點(diǎn).

由于GH∥CD1∥A1B，GH?平面A1BE，A1B?平面A1BE，所以GH∥平面A1BE.

由于B1G∥A1E,B1G?平面A1BE，A1E?平面A1BE，所以B1G∥平面A1BE.

由于GH∩B1G=G，

所以平面B1GH∥平面A1BE.

對(duì)于B選項(xiàng),取CD的中點(diǎn)F，則EF∥A1B.

連接C1D交EF于點(diǎn)G，易知C1G∶GD=3∶1.

所以點(diǎn)F不在平面ABB1A1、平面ADD1A1、平面ABCD內(nèi).

圖6

B.當(dāng)點(diǎn)E固定在線段DC某位置時(shí)，則D′在某圓上運(yùn)動(dòng)

C.當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則D′在某球面上運(yùn)動(dòng)

解析由等體積法，得

VA-BCF=VF-ABC

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)固定點(diǎn)E時(shí)，由DA⊥DE，可知點(diǎn)D在以AE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AD′=1保持不變，即點(diǎn)D′的軌跡為以點(diǎn)A為球心，半徑為1的球面的一部分，故選項(xiàng)C正確；

如圖7，過點(diǎn)A作BF的垂線，垂足為點(diǎn)H，可得AH⊥平面BCF.

圖7

因?yàn)辄c(diǎn)D′在以點(diǎn)A為球心，半徑為1的球面上運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)D′到平面BCF距離的最小值為

點(diǎn)評(píng)本題的難點(diǎn)在于點(diǎn)E的軌跡的確定，對(duì)于D選項(xiàng)，類比圓的知識(shí)可知，球面上一點(diǎn)到球外一平面的最短距離為球心到該平面的距離減去球的半徑.