高 涵,徐 雷,胡元昊,郭戰(zhàn)嶺

(四川大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,四川 成都 610065)

0 引 言

作為一種有效的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法可在設(shè)計(jì)初期創(chuàng)建最佳設(shè)計(jì),找到合理的材料分布方式,獲得更堅(jiān)固、更輕盈的優(yōu)化結(jié)構(gòu),可以減少所需的材料,大幅降低成本。

與尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化相比,拓?fù)鋬?yōu)化擁有更多的設(shè)計(jì)自由度,可以克服結(jié)構(gòu)參數(shù)化的局限性,獲得更大的設(shè)計(jì)區(qū)域,是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的一大研究熱點(diǎn)[1]。目前,常見的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要有變密度法、均勻化法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法和水平集法等[2]。

在拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果中,由于數(shù)值不穩(wěn)定而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)[3]的不可制造,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)邊界擴(kuò)散、棋盤格、網(wǎng)格依賴性和細(xì)長(zhǎng)桿結(jié)構(gòu)等。為解決拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中所出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定等問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了深入的研究。

SIGMUND O[4]采用引入最小過(guò)濾半徑進(jìn)行距離加權(quán)平均的敏度過(guò)濾方法,有效解決了棋盤格、網(wǎng)格依賴性等問(wèn)題,但該方法仍存在優(yōu)化效率低和邊界擴(kuò)散等問(wèn)題。YIN F等人[5]建立了一種以質(zhì)量和位移作為目標(biāo)函數(shù)和約束,基于概率可靠性的高效拓?fù)鋬?yōu)化模型,可以快速地獲取清晰的拓?fù)鋬?yōu)化邊界;雖然其迭代速度較快,但個(gè)別區(qū)域仍存在邊界擴(kuò)散的問(wèn)題。為了獲得可制造性高的優(yōu)化結(jié)構(gòu),ZHOU M等人[6]提出了一種在拓?fù)鋬?yōu)化中達(dá)到最小長(zhǎng)度尺寸的方法;但由于施加最小長(zhǎng)度尺度不一定能保證穩(wěn)定的優(yōu)化性能,會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)一些灰度單元。DING M等人[7]采用基于過(guò)濾—投影的結(jié)構(gòu)參數(shù)化方法,完成了對(duì)結(jié)構(gòu)變化的精確控制,使中間密度單元比例不斷降低;但該方法的迭代次數(shù)較多,效率較低。廉睿超和張國(guó)鋒等人[8，9]提出了一種考慮分區(qū)的敏度過(guò)濾方法,可有效抑制邊界擴(kuò)散現(xiàn)象;但由于該方法的優(yōu)化效率較低,同時(shí)可能出現(xiàn)細(xì)長(zhǎng)桿或多孔結(jié)構(gòu),降低了結(jié)構(gòu)的可制造性。

為此,針對(duì)Sigmund敏度過(guò)濾方法中邊界擴(kuò)散和優(yōu)化效率低等問(wèn)題,筆者提出一種基于變密度法的分區(qū)加權(quán)敏度過(guò)濾方法,將原敏度過(guò)濾區(qū)域一分為二,確定加權(quán)因子修正系數(shù)、懲罰因子和最小過(guò)濾半徑的優(yōu)化參數(shù),引入加權(quán)因子對(duì)不同敏度過(guò)濾區(qū)域進(jìn)行加權(quán)處理,使靠近中心的區(qū)域獲得更高的敏度值,遠(yuǎn)離中心的區(qū)域獲得較低的敏度值,以獲取邊界清晰的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)。

1 變密度法優(yōu)化模型與求解算法

1.1 變密度法拓?fù)鋬?yōu)化模型

拓?fù)鋬?yōu)化是一種以給定的設(shè)計(jì)變量、約束條件和受力情況為依據(jù),以獲取更大的剛度、更輕的重量為優(yōu)化目標(biāo),通過(guò)較少的先驗(yàn)決策提高結(jié)構(gòu)優(yōu)化效率,在給定區(qū)域內(nèi)尋找材料的最優(yōu)分布方式的輕量化設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[10]。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化可分為3種,即形狀優(yōu)化、尺寸優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化[11]。工程應(yīng)用中運(yùn)用最廣泛的拓?fù)鋬?yōu)化方法是變密度法,它以柔順度最小作為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化[12],其數(shù)值表達(dá)式以相對(duì)密度作為設(shè)計(jì)變量,材料的彈性模量和密度滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(1)

式中:Ei—第i個(gè)單元插值后的彈性模量,Pa;E0—固體部分材料的彈性模量,Pa;Emin—空洞部分材料的彈性模量,Pa;ρi—單元相對(duì)密度;P—懲罰因子。

其中:

(2)

拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中,筆者設(shè)定體積約束,以柔度值達(dá)到最小為優(yōu)化目標(biāo),確定材料單元密度和材料屬性二者的函數(shù)關(guān)系,使材料屬性能夠以材料單元密度函數(shù)的形式表達(dá)。

其數(shù)學(xué)模型為:

(3)

式中:ρ—單元相對(duì)密度的向量;C(ρ)—給定拓?fù)涞淖钚∪岫戎?U—單元節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)位移向量位移;K—結(jié)構(gòu)剛度矩陣;N—單元數(shù)目;ui—第i個(gè)元素的位移列向量;F—元素節(jié)點(diǎn)的施加載荷向量;V(ρ)—優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)體積;f—預(yù)先設(shè)定的體積分?jǐn)?shù);V0—設(shè)計(jì)域的體積;vi—第i個(gè)元素的單元體積;ρi—第i個(gè)元素的相對(duì)密度值;ρmin—包含最低允許相對(duì)密度的向量。

1.2 拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)化準(zhǔn)則法

為了獲得理想的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果,需要合適的數(shù)值求解算法。目前應(yīng)用較廣的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值求解算法有優(yōu)化準(zhǔn)則法、數(shù)學(xué)規(guī)劃法和隨機(jī)搜索法等[13]。優(yōu)化準(zhǔn)則法是通過(guò)將正的靈敏度值所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量置零,保留負(fù)的靈敏度值,可以處理相應(yīng)約束的最優(yōu)準(zhǔn)則,并據(jù)此建立優(yōu)化迭代數(shù)學(xué)模型[14]。

優(yōu)化準(zhǔn)則算法的主要實(shí)現(xiàn)方式是通過(guò)聯(lián)立目標(biāo)函數(shù)和預(yù)設(shè)約束條件得到Lagrange方程,將約束條件與目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成無(wú)約束問(wèn)題。

目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化準(zhǔn)則法數(shù)學(xué)模型為:

(4)

式中:λ1,λ2,λ3,λ4—拉格朗日乘子;ρi—元素i的設(shè)計(jì)變量;ρmin—設(shè)計(jì)變量的取值下限;ρmax—設(shè)計(jì)變量的取值上限。

優(yōu)化準(zhǔn)則法迭代收斂快、計(jì)算量較小,不隨結(jié)構(gòu)復(fù)雜度及設(shè)計(jì)變量的增多而復(fù)雜化,在簡(jiǎn)單約束條件下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化中得到了廣泛應(yīng)用[15],所以筆者采用優(yōu)化準(zhǔn)則法。

其設(shè)計(jì)變量迭代公式可表示為:

(5)

式中:ρe—單元e的相對(duì)密度;t—平移限度;η—阻尼系數(shù);Be—中間變量;ξ—拉格朗日乘子。

其中:

(6)

2 敏度過(guò)濾

2.1 Sigmund敏度過(guò)濾方法

在基于變密度法的拓?fù)鋬?yōu)化中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)格依賴性和棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象,因此,Sigmund敏度過(guò)濾方法被提了出來(lái)。其主要步驟是先確定一個(gè)中心單元,然后設(shè)定一個(gè)最小過(guò)濾半徑為rmin的敏度過(guò)濾區(qū)域,再引入加權(quán)因子,對(duì)各單元到中心單元的距離進(jìn)行加權(quán)平均處理,使靠近中心單元的各個(gè)單元獲得較高的敏度值;而遠(yuǎn)離中心單元處于敏度過(guò)濾邊界的各個(gè)單元獲得較低的敏度值,從而使過(guò)濾半徑范圍內(nèi)各單元敏度的加權(quán)平均值代替中心單元的敏度值;從中心單元到邊界的敏度值大體呈下降趨勢(shì),可防止出現(xiàn)局部設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)的單元密度值劇烈波動(dòng),有效抑制網(wǎng)格依賴性和棋盤格現(xiàn)象的出現(xiàn)。

過(guò)濾后的單元敏度的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(7)

由式(7)可知:加權(quán)因子是根據(jù)單元e和單元i之間的距離進(jìn)行線性取值,加權(quán)因子從中心單元到過(guò)濾邊界所在單元呈線性遞減趨勢(shì)。這樣雖然可以保證靠近中心的單元獲得較高的權(quán)重值,但靠近過(guò)濾邊界的低密度單元和與中心相隔較遠(yuǎn)距離的單元會(huì)對(duì)中心單元的敏度產(chǎn)生較大的影響,拓?fù)鋬?yōu)化的邊界會(huì)出現(xiàn)過(guò)度磨平的優(yōu)化結(jié)果,容易產(chǎn)生邊界擴(kuò)散的問(wèn)題。

采用Sigmund敏度過(guò)濾方法的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖1所示。

圖1 Sigmund敏度過(guò)濾方法拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

2.2 分區(qū)加權(quán)敏度過(guò)濾方法

為了解決Sigmund敏度過(guò)濾中邊界擴(kuò)散的問(wèn)題,筆者提出了一種分區(qū)加權(quán)敏度過(guò)濾方法。其本質(zhì)就是將原敏度過(guò)濾區(qū)域劃分為兩個(gè)子區(qū)域,在不同的子區(qū)域采用不同的加權(quán)因子,以確保中心單元所處的內(nèi)部子區(qū)域提高單元敏度影響,同時(shí)降低遠(yuǎn)離中心單元的外部子區(qū)域的敏度影響權(quán)重,有效抑制出現(xiàn)大量灰度單元的邊界擴(kuò)散現(xiàn)象。

敏度過(guò)濾劃分區(qū)域示意圖如圖2所示。

圖2 敏度過(guò)濾劃分示意圖

區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ?yàn)閮?nèi)部和外部子區(qū)域,通過(guò)改變區(qū)域Ⅰ的過(guò)濾半徑rn和最小過(guò)濾半徑rmin的大小,可以改變邊界A和邊界B的相對(duì)位置,進(jìn)而改變各區(qū)域所包含的單元數(shù)目。

為保證靠近中心單元的敏度值不被區(qū)域Ⅱ內(nèi)的單元影響,從而導(dǎo)致權(quán)重降低,可直接將區(qū)域Ⅰ內(nèi)單元加權(quán)因子賦值為1,以提高區(qū)域Ⅰ單元對(duì)目標(biāo)函數(shù)敏度的影響權(quán)重。

區(qū)域Ⅱ的加權(quán)因子由設(shè)定的指數(shù)函數(shù)來(lái)確定,在區(qū)域Ⅱ內(nèi)該指數(shù)函數(shù)能實(shí)現(xiàn)靠近邊界A時(shí)的權(quán)重緩慢降低,而靠近邊界B時(shí)權(quán)重顯著降低的效果,進(jìn)一步弱化區(qū)域Ⅱ內(nèi)單元敏度對(duì)中心單元的影響。

在保證Sigmund敏度過(guò)濾的優(yōu)化穩(wěn)定性的前提下,可以更加有效地抑制邊界擴(kuò)散問(wèn)題,獲取清晰的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)邊界。

其加權(quán)因子的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(8)

其中:

(9)

筆者通過(guò)設(shè)定η值的大小來(lái)改變內(nèi)部和外部?jī)蓚€(gè)子區(qū)域分別所包含的單元數(shù)。

由式(8)可知:區(qū)域Ⅱ內(nèi)加權(quán)因子的最大值可以通過(guò)調(diào)節(jié)修正系數(shù)k來(lái)改變。為避免邊界A處過(guò)渡單元敏度值出現(xiàn)過(guò)大的差值,從而產(chǎn)生邊界擴(kuò)散現(xiàn)象,應(yīng)盡量保證區(qū)域Ⅱ的權(quán)重因子最大值與區(qū)域Ⅰ保持一致,故筆者將k值設(shè)定為0.67可保證函數(shù)的連續(xù)性。

由于修正系數(shù)β影響指數(shù)函數(shù)的曲率變化程度,筆者以最小過(guò)濾半徑rmin取2.5,區(qū)域Ⅰ的過(guò)濾半徑rn取1.0為例,分析β取不同值時(shí)指數(shù)函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)。

不同β值的加權(quán)因子函數(shù)圖像如圖3所示。

圖3 不同β值的加權(quán)因子函數(shù)圖像虛線—Sigmund敏度過(guò)濾方法的加權(quán)原理圖像;實(shí)線—不同β值指數(shù)加權(quán)的分區(qū)敏度過(guò)濾方法的原理圖像

圖3中,當(dāng)Δd(e,i)<1時(shí),指數(shù)加權(quán)函數(shù)取值明顯皆大于線性加權(quán)函數(shù)取值,可有效提高區(qū)域Ⅰ內(nèi)單元敏度的影響;當(dāng)Δd(e,i)>1時(shí),在靠近邊界A處函數(shù)緩慢變化,靠近邊界B處加權(quán)因子取值已經(jīng)顯著減小接近于0,靠近邊界B的單元敏度影響權(quán)重得到了進(jìn)一步降低;

β值越小,加權(quán)因子靠近邊界A處函數(shù)變化越緩慢,權(quán)重不至于快速下降,從而導(dǎo)致權(quán)重過(guò)小,靠近邊界B處權(quán)重皆處于較低值。經(jīng)綜合考慮,為保證函數(shù)變化趨勢(shì)滿足優(yōu)化合理性,筆者將修正系數(shù)β設(shè)定為1;

而修正系數(shù)設(shè)定并非固定不變,也需根據(jù)具體算例略加調(diào)整。

該處筆者采用的分區(qū)加權(quán)敏度過(guò)濾方法易于編程實(shí)現(xiàn),且抑制邊界擴(kuò)散等的效果明顯。

綜合考慮加權(quán)因子對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,在式(7)的基礎(chǔ)上,敏度過(guò)濾方法為:

(10)

2.3 敏度過(guò)濾方法的衡量指標(biāo)

為了衡量拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果,筆者引入了離散率、灰度率、柔度值和迭代次數(shù)四大衡量指標(biāo)。其中,離散率反映灰度單元密度偏離0和1的幅度,是判斷拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果是否收斂到離散解的主要依據(jù),當(dāng)離散率為0時(shí),結(jié)構(gòu)完全離散。

離散率數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(11)

上式中,初始單元密度設(shè)為0.5,此時(shí)Dh為100得到最大值,表示所有單元都未發(fā)生離散。而當(dāng)所有單元密度為0或1時(shí),Dh為0得到最小值,表示所有單元都已發(fā)生離散。故在一般情況下,在拓?fù)鋬?yōu)化的過(guò)程中,要盡可能使其離散率達(dá)到最小值,以得到更優(yōu)的離散單元結(jié)構(gòu)。

通過(guò)灰度率可以量化優(yōu)化結(jié)果中存在灰度單元的多少,反映拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中灰度單元的占比程度。

灰度率數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(12)

式中:ρj—密度處于0～1之間的灰度單元;v0—預(yù)設(shè)的體積分?jǐn)?shù)。

當(dāng)灰度率Gh越大時(shí),灰度單元占比越大,邊界擴(kuò)散現(xiàn)象越明顯。所以在優(yōu)化過(guò)程中,要盡可能使灰度率減小,以有效弱化邊界擴(kuò)散的問(wèn)題。

柔度值反映結(jié)構(gòu)在受力時(shí)的穩(wěn)定性。柔度值越小,剛度值越大,結(jié)構(gòu)受力時(shí)抵抗彈性變形的能力越強(qiáng),變形越小,結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性越好。

而迭代次數(shù)則反映拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程的優(yōu)化時(shí)間和優(yōu)化效率。迭代次數(shù)越少,優(yōu)化時(shí)間越短,優(yōu)化效率就越高。所以針對(duì)柔度值和迭代次數(shù),在優(yōu)化過(guò)程中也是盡可能使其達(dá)到較小值,優(yōu)化結(jié)果會(huì)達(dá)到更優(yōu)。

2.4 敏度過(guò)濾方法不同優(yōu)化參數(shù)的設(shè)定

2.4.1 懲罰因子P

基于變密度法的分區(qū)加權(quán)敏度過(guò)濾方法的模型中,為了獲得更加清晰的優(yōu)化結(jié)果,確保優(yōu)化結(jié)果的可制造性和合理性,筆者引入合適的懲罰因子P來(lái)對(duì)中間密度進(jìn)行懲罰。經(jīng)過(guò)懲罰的材料單元密度值將會(huì)快速趨近0或1,使模型能更好地趨近基于離散變量的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型。

SIMP密度懲罰函數(shù)圖如圖4所示。

圖4 SIMP密度懲罰函數(shù)圖

由圖4可知:P越大,中間密度單元越易于趨近0,趨近速度也越快,所以理論上P越大越好。

為了研究P值變化對(duì)各衡量指標(biāo)的影響,并確定懲罰因子P的值,筆者對(duì)經(jīng)典二維應(yīng)力結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。假定修正參數(shù)k=0.67、β=1.0,優(yōu)化體積為0.3,可得到P不同取值時(shí)在柔度值、迭代次數(shù)、離散率及灰度率方面的分析結(jié)果。

不同P值的計(jì)算結(jié)果如表1所示。由表1和優(yōu)化結(jié)果可知:當(dāng)P≤2時(shí),雖然迭代次數(shù)較少,但會(huì)產(chǎn)生大量多孔和細(xì)長(zhǎng)桿的不可制造結(jié)構(gòu),不符合拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)化要求;當(dāng)2

表1 不同P值的計(jì)算結(jié)果

不同P值對(duì)衡量指標(biāo)的影響折線圖如圖5所示。

圖5 不同P值對(duì)衡量指標(biāo)的影響折線圖

由圖5可看出:當(dāng)2

當(dāng)P>4時(shí),拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果與前面差異顯著,出現(xiàn)較多的中間密度單元,迭代次數(shù)和柔度值也大幅增加。

綜上所述,懲罰因子P設(shè)定為3.5比較合理,可以滿足大部分算例的優(yōu)化要求,特殊情況下也可適當(dāng)調(diào)整P值。

2.4.2 最小過(guò)濾半徑rmin

由圖2的劃分示意圖可知:當(dāng)區(qū)域Ⅰ的過(guò)濾半徑rn確定后,最小過(guò)濾半徑rmin的大小直接決定區(qū)域Ⅱ包含的單元個(gè)數(shù),從而影響敏度過(guò)濾的優(yōu)化結(jié)果;

rmin值過(guò)小時(shí),區(qū)域Ⅰ相對(duì)于區(qū)域Ⅱ來(lái)說(shuō)包含過(guò)多單元,無(wú)法有效弱化單元距離加權(quán)平均的效果;

rmin值過(guò)大時(shí),區(qū)域Ⅰ包含相對(duì)較少的單元,迭代過(guò)程中極易出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題。

因此,為研究rmin值變化對(duì)各衡量指標(biāo)的影響,并確定rmin的值,筆者同樣對(duì)算例1對(duì)應(yīng)的二維應(yīng)力結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。

假定懲罰因子P為3.5,rmin的取值對(duì)于各衡量指標(biāo)結(jié)果的影響,即不同rmin的衡量指標(biāo)折線圖,如圖6所示。

圖6 不同rmin的衡量指標(biāo)折線圖

由圖6可知:當(dāng)rmin>4時(shí),迭代次數(shù)雖變化并不明顯,但離散率、柔度值和灰度率都呈增大趨勢(shì),會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果缺乏可制造性;而當(dāng)rmin為3時(shí),離散率、柔度值和灰度率都處于最小值,且迭代次數(shù)也處于較小值。

綜上所述,最小過(guò)濾半徑rmin設(shè)定為3比較合理,在保證優(yōu)化效率的前提下,可以獲得更加理想的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)。

3 數(shù)值算例分析與驗(yàn)證

在MATLAB-2019a軟件環(huán)境下,筆者采用拓?fù)鋬?yōu)化算例,對(duì)分區(qū)加權(quán)敏度過(guò)濾方法的可行性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證,針對(duì)算例模型均采用平面四節(jié)點(diǎn)四邊形單元進(jìn)行離散化,對(duì)模型的材料屬性和結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行無(wú)量綱化處理[16]。

假定實(shí)體材料的彈性模量為1,泊松比為0.3,懲罰因子P為3,最小過(guò)濾半徑為3.5。

3.1 矩形板模型及優(yōu)化結(jié)果分析

算例1的二維平面應(yīng)力結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域設(shè)為120 mm×40 mm,兩側(cè)的中間節(jié)點(diǎn)處采用固定約束,一集中載荷F=1 N作用于下邊界中心位置。

優(yōu)化區(qū)域被劃分為120×40個(gè)矩形四節(jié)點(diǎn)單元,優(yōu)化結(jié)構(gòu)許用材料體積分?jǐn)?shù)設(shè)為0.3。

矩形板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域如圖7所示。

圖7 矩形板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域

根據(jù)算例1為單工況、兩個(gè)位移約束的情況,筆者通過(guò)將Sigmund原敏度過(guò)濾方法以及各文獻(xiàn)中對(duì)敏度過(guò)濾改進(jìn)后的方法,和分區(qū)加權(quán)敏度過(guò)濾方法作對(duì)比,驗(yàn)證該方法的可行性和有效性。

不同方法對(duì)矩形板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同方法對(duì)矩形板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

由圖8可以看出:4種方法的最終優(yōu)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)大致相似,但在邊界清晰度上,除了Sigmund敏度過(guò)濾方法的邊界有明顯的邊界擴(kuò)散現(xiàn)象外,其他3種方法的邊界擴(kuò)散現(xiàn)象均呈現(xiàn)大幅度的減弱;

方法一的優(yōu)化結(jié)果會(huì)出現(xiàn)細(xì)長(zhǎng)桿結(jié)構(gòu)和孔洞結(jié)構(gòu),缺乏可制造性,方法一的優(yōu)化結(jié)果和該方法的優(yōu)化結(jié)構(gòu)相近。

不同方法對(duì)矩形板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化數(shù)據(jù)對(duì)比如表2所示。

表2 不同方法對(duì)矩形板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化數(shù)據(jù)對(duì)比

由表2可知:相對(duì)于Sigmund敏度過(guò)濾方法,其他3種方法在離散率、灰度率和柔度值方面都大幅降低;在迭代次數(shù)、離散率和灰度值方面,相對(duì)于方法一和方法二,分區(qū)敏度過(guò)濾方法都更低一些,尤其是迭代次數(shù)和灰度率方面尤為顯著,在提高優(yōu)化效率和抑制灰度單元方面有一定的優(yōu)勢(shì)。

通過(guò)對(duì)比可知,該方法在有效獲得清晰拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的同時(shí),具有較快的收斂速度和較低的離散率,對(duì)邊界擴(kuò)散現(xiàn)象的控制較好,能獲得更佳的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。

3.2 MBB梁模型及優(yōu)化結(jié)果分析

算例2的幾何尺寸為240 mm×40 mm,頂端中部承受1 N的外載荷,目的是測(cè)試該方法在不同網(wǎng)格密度情況下是否會(huì)出現(xiàn)棋盤格、多孔材料和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。

為了簡(jiǎn)化優(yōu)化的過(guò)程,筆者對(duì)1/2MBB梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分,得到了單元總數(shù)量為120×40的有限元模型優(yōu)化結(jié)構(gòu),許用材料體積分?jǐn)?shù)設(shè)為0.3。

MBB梁設(shè)計(jì)區(qū)域如圖9所示。

圖9 MBB梁設(shè)計(jì)區(qū)域

筆者通過(guò)選用不同參數(shù),分析及驗(yàn)證該方法在不同網(wǎng)格密度時(shí)是否具有可行性。

不同網(wǎng)格劃分對(duì)MBB梁的優(yōu)化結(jié)果如圖10所示。

圖10 不同網(wǎng)格劃分對(duì)MBB梁的優(yōu)化結(jié)果

由圖10可以看出:在對(duì)MBB梁的優(yōu)化結(jié)果分區(qū)方面,敏度過(guò)濾方法同樣是優(yōu)于Sigmund敏度過(guò)濾方法的;在不同網(wǎng)格劃分的情況下,對(duì)MBB梁進(jìn)行優(yōu)化,均可得到理想的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu),擁有較為清晰的結(jié)構(gòu)邊界,且均沒(méi)有求解不穩(wěn)定現(xiàn)象的出現(xiàn)。

不同網(wǎng)格劃分對(duì)MBB梁的優(yōu)化數(shù)據(jù)對(duì)比,如表3所示。

表3 不同網(wǎng)格劃分對(duì)MBB梁的優(yōu)化數(shù)據(jù)對(duì)比

由表3可以看出,采用不同網(wǎng)格劃分進(jìn)行優(yōu)化時(shí),雖然在數(shù)值上各大衡量指標(biāo)有所波動(dòng),但相對(duì)于Sigmund敏度過(guò)濾方法都有所減小,均體現(xiàn)出對(duì)灰度單元的抑制作用。

3.3 Michelle結(jié)構(gòu)模型及優(yōu)化結(jié)果分析

算例3的結(jié)構(gòu)為兩端固支的傳統(tǒng)Michelle型結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)區(qū)域?yàn)?20 mm×40 mm,左下角和右下角節(jié)點(diǎn)處采用固定約束,在圖示結(jié)構(gòu)上部1/4和3/4節(jié)點(diǎn)處皆受到F1=2 N的豎直向下載荷的作用;同時(shí),結(jié)構(gòu)下端中間節(jié)點(diǎn)處受到F2=1 N的豎直向下的載荷作用。

網(wǎng)格劃分成120×40個(gè)四節(jié)點(diǎn)等尺寸的平面應(yīng)力單元,優(yōu)化結(jié)構(gòu)許用材料體積分?jǐn)?shù)設(shè)為0.3。

Michelle結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域如圖11所示。

圖11 Michelle結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域

為了進(jìn)一步分析及驗(yàn)證該方法在多載荷情況下的可行性,筆者將采用分區(qū)敏度過(guò)濾方法得到的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果,與采用Sigmund敏度過(guò)濾方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比采用體積比為0.3的約束條件,過(guò)濾半徑取rmin=3.5。

不同方法對(duì)Michelle結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果如圖12所示。

圖12 不同方法對(duì)Michelle結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

由圖12可知:在多載荷情況下,該方法同樣具有良好的可行性,可以抑制邊界擴(kuò)散的現(xiàn)象,避免產(chǎn)生細(xì)長(zhǎng)桿等不可制造結(jié)構(gòu)。

采用不同方法對(duì)Michelle結(jié)構(gòu)的優(yōu)化數(shù)據(jù)對(duì)比,如表4所示。

表4 不同方法對(duì)Michelle結(jié)構(gòu)的優(yōu)化數(shù)據(jù)對(duì)比

由表4可知:與Sigmund敏度過(guò)濾方法相比,雖然分區(qū)敏度過(guò)濾方法的迭代次數(shù)增加了,但其拓?fù)鋬?yōu)化離散率、灰度率和柔度值都大幅降低,優(yōu)化結(jié)構(gòu)的柔度收斂值較小,能有效控制其離散率及灰度率指標(biāo)。

4 結(jié)束語(yǔ)

在基于變密度法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中,優(yōu)化結(jié)果常存在邊界擴(kuò)散和細(xì)長(zhǎng)桿結(jié)構(gòu)等數(shù)值不穩(wěn)定的問(wèn)題,為此,筆者提出了一種基于變密度法的分區(qū)加權(quán)敏度過(guò)濾方法,即通過(guò)引入加權(quán)因子對(duì)劃分的內(nèi)、外兩個(gè)敏度過(guò)濾區(qū)域分別進(jìn)行了加權(quán)處理,解決了拓?fù)鋬?yōu)化中存在的灰度單元和細(xì)長(zhǎng)桿結(jié)構(gòu)等數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題,使拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)具備較好的可制造性。

研究結(jié)果如下:

(1)相對(duì)于Sigmund敏度過(guò)濾方法,該方法在離散率和灰度率方面提升顯著,減小率達(dá)到80%以上,可以有效地解決邊界擴(kuò)散和細(xì)長(zhǎng)桿結(jié)構(gòu)的問(wèn)題;

(2)該方法在迭代次數(shù)和柔度值方面有一定的提升,而且相對(duì)于其他敏度過(guò)濾方法,解決了它們只能改善邊界擴(kuò)散,但優(yōu)化效率低的問(wèn)題,不僅提高了拓?fù)鋬?yōu)化的迭代效率,還提升了其結(jié)構(gòu)剛度,有利于拓?fù)鋬?yōu)化的后處理操作;

(3)各個(gè)典型算例分別從多個(gè)角度(單一載荷、多載荷、不同網(wǎng)格劃分的約束和受載條件)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化,驗(yàn)證了該方法具有一定的可行性。

但是,該方法目前只適用于二維平面結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化。因此,在后期的研究中,筆者將進(jìn)一步探究該方法在三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的可行性和有效性。