王 峰，曹文貴

（湖南大學(xué)土木工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410083）

擋土墻土壓力的計(jì)算一直是土木、水利等學(xué)科重要的研究課題。經(jīng)典的朗肯土壓力理論和庫(kù)倫土壓力理論因概念清晰、計(jì)算簡(jiǎn)單而得到廣泛應(yīng)用，但其計(jì)算得到的土壓力線(xiàn)性分布與實(shí)際工程不符。大量的現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)與室內(nèi)試驗(yàn)[1-5]發(fā)現(xiàn)，擋土墻后土壓力呈非線(xiàn)性分布，且與擋土墻的位移模式和墻土摩擦角有關(guān)。目前，關(guān)于擋土墻土壓力計(jì)算的研究，大多采用水平分層單元進(jìn)行受力分析。關(guān)于計(jì)算單元上分布荷載的分析，是計(jì)算擋土墻土壓力的關(guān)鍵，而這也正是本文研究的出發(fā)點(diǎn)。

卡崗于1960年首次提出水平分層計(jì)算法，并由此得出土壓力非線(xiàn)性分布的計(jì)算結(jié)果，但其未考慮墻背摩擦對(duì)土壓力計(jì)算結(jié)果的影響[6]。對(duì)此，Handy 等[7]、Paik 等[8]在水平分層計(jì)算方法的基礎(chǔ)上引入主應(yīng)力跡線(xiàn)概念，借助主應(yīng)力跡線(xiàn)描述墻后土體的應(yīng)力狀態(tài)，以表征墻背摩擦對(duì)墻后土體應(yīng)力狀態(tài)的影響。之后，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者[9-18]在Paik 等[8]研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)和推廣。應(yīng)宏偉等[9]通過(guò)對(duì)墻后土體主應(yīng)力跡線(xiàn)的形狀進(jìn)行分析，證明了主應(yīng)力跡線(xiàn)形狀對(duì)土壓力分布的影響很小，并建議采用形狀相對(duì)簡(jiǎn)單的圓弧進(jìn)行分析。章瑞文等[10]指出在忽略水平剪切應(yīng)力的情況下，計(jì)算單元并不滿(mǎn)足靜力平衡條件，并據(jù)此對(duì)滑裂面的傾角進(jìn)行了重新計(jì)算。Xie 等[16]和Khosravi等[17]考慮曲線(xiàn)滑裂面，得到了土壓力分布的有限差分解。涂兵雄等[18]通過(guò)應(yīng)力坐標(biāo)平移的方法，將水平分層計(jì)算方法推廣到黏性填土擋土墻土壓力計(jì)算中。但在這些研究中，一般需要通過(guò)假設(shè)計(jì)算單元界面上的豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力均布分布才能實(shí)現(xiàn)土壓力的求解，這顯然與實(shí)際情況不符。豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力作為分布在計(jì)算單元界面上的界面應(yīng)力，對(duì)土壓力計(jì)算有著重要影響，目前研究中關(guān)于其作用效果的討論也相對(duì)甚少。

針對(duì)以上不足，本文在前人關(guān)于墻后土體應(yīng)力分布及主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)規(guī)律研究的基礎(chǔ)上，采用楔體單元進(jìn)行受力分析，將界面不均勻分布的剪應(yīng)力和正應(yīng)力等效為作用在楔體單元邊界上的集中力即合力，并根據(jù)楔體單元的靜力平衡條件，建立了可以考慮單元界面剪應(yīng)力和正應(yīng)力不均勻影響的擋土墻主動(dòng)土壓力計(jì)算的新方法。最后，通過(guò)對(duì)比驗(yàn)證了本文方法的可行性和合理性，并進(jìn)一步探討了界面應(yīng)力對(duì)土壓力計(jì)算結(jié)果的影響，對(duì)現(xiàn)有的研究進(jìn)行了補(bǔ)充。

1 基本假定

鑒于擋土墻工程實(shí)際情況的復(fù)雜性，為了本文研究的方便，如圖1 所示，對(duì)實(shí)際工程進(jìn)行簡(jiǎn)化，并作如下假設(shè)：

圖1 滑動(dòng)楔體及主應(yīng)力跡線(xiàn)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the sliding wedge and principal stress trace

（1）擋土墻墻高H；墻背豎直粗糙，且與填土之間的接觸摩擦角為 δ；填土面水平，不考慮地面超載作用。

（2）墻后墻土為無(wú)黏性土，其內(nèi)摩擦角為 φ。

（3）考慮主動(dòng)破壞模式，假定墻后填土內(nèi)部形成通過(guò)墻踵的潛在滑裂面，滑裂面傾角為庫(kù)倫滑裂面傾角 β[6]，則：

2 墻后土體應(yīng)力狀態(tài)分析

考慮土拱效應(yīng)影響，墻后土體的應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生改變。如圖1 所示，水平面AB和CD上的所有土體，其應(yīng)力分布符合Paik 等[8]的假設(shè)：土體強(qiáng)度完全發(fā)揮，小主應(yīng)力跡線(xiàn)A'B'和C'D'為圓弧，且大小主應(yīng)力的大小沿水平面保持不變。由于土拱效應(yīng)的影響，水平面AB和CD上存在不均勻分布的豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力，并且此時(shí)AB面和CD面上土體大主應(yīng)力的大小不再等于上覆土層的自重應(yīng)力，而是一個(gè)未知量，分別用 σ1h和σ1(h+Δh)表示。

如圖2 所示，對(duì)墻背處A點(diǎn)進(jìn)行應(yīng)力分析。通過(guò)分析，可得墻背處A點(diǎn)的小主應(yīng)力跡線(xiàn)圓心角 θA為：

圖2 墻背A 點(diǎn)處土體應(yīng)力狀態(tài)分析模型Fig.2 Analysis model of the soil stress state at point A on the back of the wall

A點(diǎn)處土體豎直方向上作用的水平正應(yīng)力，即高度h處的土壓力強(qiáng)度 σwh為：

假設(shè)AB面上某一點(diǎn)處的小主應(yīng)力跡線(xiàn)圓心角為θ，則該點(diǎn)水平方向上作用的豎向正應(yīng)力 σvh和水平剪切應(yīng)力 τhh分別為[12]：

滑裂面處B點(diǎn)小主應(yīng)力跡線(xiàn)圓心角 θB為[12]：

小主應(yīng)力跡線(xiàn)A'B'的半徑rh為：

將AB面上所有土體水平方向上作用的豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力沿AB面進(jìn)行積分，可得到作用在AB面上豎向正應(yīng)力的合力Fσh和水平剪切應(yīng)力的合力Fτh分別為：

式中：

將式（4）分別代入式（8）和式（9）得：

式中：

假設(shè) Δh表示高度方向上的微小增量。同理，對(duì)CD面上的土體進(jìn)行上述應(yīng)力狀態(tài)分析，可得墻背處C點(diǎn)和滑裂面處D點(diǎn)的小主應(yīng)力跡線(xiàn)圓心角 θC和 θD分別為：

C點(diǎn)處土體豎直方向上作用的水平正應(yīng)力，即高度h+Δh處的土壓力強(qiáng)度σw(h+Δh)為：

小主應(yīng)力跡線(xiàn)C'D'的半徑r(h+Δh)為：

CD面上某點(diǎn)水平方向上作用的豎向正應(yīng)力σv(h+Δh)和水平剪切應(yīng)力τh(h+Δh)分別為：

CD面上所有土體豎向正應(yīng)力的合力Fσ(h+Δh)和水平剪切應(yīng)力的合力Fτ(h+Δh)分別為：

3 楔體單元受力分析及主動(dòng)土壓力計(jì)算

3.1 楔體單元受力分析

如圖3 所示，在墻后滑裂楔體內(nèi)部，在距墻底h處取局部楔體OAB進(jìn)行受力分析。

圖3 楔體單元計(jì)算模型Fig.3 Wedge element calculation model

根據(jù)水平和豎直方向上的靜力平衡條件可得：

式中：Pah—擋土墻對(duì)局部楔體OAB的反力，為未知量，與局部楔體OAB產(chǎn)生的土壓力等值反向；

Rh—滑動(dòng)面上作用的反力，為未知量；

Wh—局部楔體OAB的自重。

聯(lián)立式（20）（21）進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得：

式中：

同理，對(duì)局部楔體OCD進(jìn)行上述靜力平衡分析，可得：

式中：Pa(h+Δh)—擋土墻對(duì)局部楔體OCD的反力，為未知量，與局部楔體OCD產(chǎn)生的土壓力等值反向；

Wh+Δh—局部楔體OCD的自重。

3.2 主動(dòng)土壓力計(jì)算

由于土壓力分布與土壓力合力之間在數(shù)學(xué)上存在微積分的聯(lián)系，根據(jù)微積分的定義[19]，當(dāng)Δh→0時(shí)，有：

同時(shí)將σw(h+Δh)用微分增量式[19]的形式表達(dá)，即：

式中：dσwh—土壓力強(qiáng)度沿墻高在 Δh高度范圍內(nèi)的微小增量。

將式（10）（11）（18）（19）（22）（25）（27）代入式（26）得：

對(duì)式（28）進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得關(guān)于σwh的微分方程：

式中：

代入邊界條件：當(dāng)h=H時(shí)，σwh=0。求解方程（29）得：

式中：

沿墻高對(duì)土壓力強(qiáng)度進(jìn)行積分得到土壓力合力，即：

由式（31）知土壓力系數(shù)Ka為：

土壓力合力作用點(diǎn)距墻底高度h0為：

4 實(shí)例驗(yàn)證與參數(shù)分析

4.1 實(shí)例驗(yàn)證

前蘇聯(lián)學(xué)者Tsagareli[1]在格魯吉亞列寧工學(xué)院進(jìn)行了平動(dòng)模式下剛性擋土墻的主動(dòng)土壓力試驗(yàn)。該試驗(yàn)的條件為：墻背垂直、墻高H=4 m；墻后填土為砂土，土體重度 γ=18 kN/m3，內(nèi)摩擦角 φ=32°，墻土接觸摩擦角δ=25°。為驗(yàn)證本文方法的合理性，分別采用本文方法、庫(kù)倫方法、Paik 方法[8]、應(yīng)宏偉方法[9]計(jì)算主動(dòng)土壓力強(qiáng)度，并與模型試驗(yàn)結(jié)果作比較，對(duì)比結(jié)果如圖4 所示。由圖4 可以看出，本文計(jì)算得到的土壓力呈非線(xiàn)性分布，在擋土墻上部位置計(jì)算結(jié)果大于庫(kù)倫計(jì)算結(jié)果，在擋土墻下部位置計(jì)算結(jié)果小于庫(kù)倫計(jì)算結(jié)果，在靠近墻底的位置，土壓力強(qiáng)度變化規(guī)律由增大變?yōu)闇p小，本文在靠近擋土墻上部位置土壓力強(qiáng)度小于應(yīng)宏偉等[9]計(jì)算結(jié)果，而在擋土墻下部位置土壓力強(qiáng)度大于應(yīng)宏偉等[9]計(jì)算結(jié)果，這主要是因?yàn)槠湓诜治鲇?jì)算中忽視了計(jì)算單元界面上的水平剪切應(yīng)力；本文在擋土墻墻高范圍內(nèi)土壓力強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果均小于Paik 等[8]計(jì)算結(jié)果。從數(shù)據(jù)對(duì)比分析來(lái)看，本文方法計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)更加接近，驗(yàn)證了本文方法的可行性與合理性。

圖4 本文計(jì)算結(jié)果與其他方法及Tsagareli 試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of the theoretical calculation results with those of other methods and Tsagareli test results

4.2 參數(shù)分析

為了更好地探討墻土接觸摩擦角 δ和填土內(nèi)摩擦角 φ對(duì)土壓力非線(xiàn)性分布的影響，以前文模型試驗(yàn)中的參數(shù)為基準(zhǔn)，通過(guò)控制變量法，進(jìn)行參數(shù)敏感性分析。

圖5 表示墻土接觸摩擦角對(duì)δ對(duì)土壓力分布的影響。當(dāng) φ一定時(shí)，隨著δ的增大，土壓力分布曲線(xiàn)的拐點(diǎn)上移，當(dāng)δ較小時(shí)，土壓力近似呈線(xiàn)性分布。圖6 表示內(nèi)摩擦角 φ對(duì)土壓力分布的影響，當(dāng)δ一定時(shí)，隨著φ的增大，土壓力分布曲線(xiàn)的拐點(diǎn)下移，同一深度處的土壓力強(qiáng)度逐漸減小。以上變化規(guī)律與Paik 等[8]和應(yīng)宏偉等[9]分析結(jié)果一致。

圖5 墻土接觸摩擦角δ 對(duì)土壓力分布的影響Fig.5 Effect of the wall-soil contact friction angle δ on earth pressure distribution

圖6 內(nèi)摩擦角φ 對(duì)土壓力分布的影響Fig.6 Influence of the internal friction angle φ on earth pressure distribution

5 界面應(yīng)力對(duì)土壓力計(jì)算結(jié)果的影響分析

界面應(yīng)力作為計(jì)算單元界面上作用的荷載對(duì)土壓力計(jì)算結(jié)果有著重要的影響?，F(xiàn)有研究中關(guān)于這方面的討論甚少。本文方法力學(xué)概念清晰，便于分析界面應(yīng)力的作用效果，現(xiàn)根據(jù)本文的計(jì)算思路，定性分析界面應(yīng)力對(duì)土壓力計(jì)算結(jié)果的影響。在前文的分析計(jì)算中，根據(jù)式（10）和式（11）可知，豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，實(shí)際上由A3和A4表征。因此，在討論豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力對(duì)土壓力計(jì)算結(jié)果的影響時(shí)，取以下4 種情況進(jìn)行分析：（1）同時(shí)考慮豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力（情況一）；（2）僅考慮豎向正應(yīng)力，忽略水平剪切應(yīng)力，即對(duì)上述計(jì)算分析過(guò)程中取A4=0（情況二）；（3）僅考慮水平剪切應(yīng)力，忽略豎向正應(yīng)力，即對(duì)上述計(jì)算分析過(guò)程中取A3=0（情況三）；（4）既不考慮豎向正應(yīng)力也不考慮水平剪切應(yīng)力，即對(duì)上述計(jì)算過(guò)程中取A3=0、A4=0（情況四）。

對(duì)上述4 種情況通過(guò)算例分別求解土壓力合力、土壓力分布和土壓力合力作用點(diǎn)。通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得到不均勻分布的豎向正應(yīng)力和水平剪應(yīng)力對(duì)土壓力計(jì)算結(jié)果的影響。

5.1 界面應(yīng)力對(duì)土壓力合力的影響

由前文的計(jì)算分析可知，土壓力系數(shù)的表達(dá)式如式（32）所示。將A6、A7的表達(dá)式代入式（32）進(jìn)行化簡(jiǎn)，得：

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到的土壓力系數(shù)與庫(kù)倫土壓力系數(shù)完全一致，A3、A4作為中間變量在化簡(jiǎn)的過(guò)程中被略去。因此，實(shí)際上土壓力系數(shù)與A3、A4無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)與豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力無(wú)關(guān)，并且始終等于庫(kù)倫土壓力計(jì)算值。這表明，在分層計(jì)算的思想下，作為土體內(nèi)力的豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力對(duì)土壓力合力的計(jì)算結(jié)果不產(chǎn)生影響。土壓力合力大小主要取決于計(jì)算區(qū)域以及邊界條件。

5.2 界面應(yīng)力對(duì)土壓力分布的影響

算例條件如下：墻背垂直、墻高H=1 m；墻后填土為砂土，土體重度 γ=18 kN/m3，內(nèi)摩擦角 φ=36°，墻土接觸摩擦角δ=12°、24°、36°，計(jì)算結(jié)果如圖7 所示。計(jì)算結(jié)果表明：豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力都會(huì)導(dǎo)致土壓力呈非線(xiàn)性分布。僅考慮豎向正應(yīng)力時(shí)（情況二），土壓力分布曲線(xiàn)的拐點(diǎn)始終位于擋土墻下方，隨著δ/φ值的增大而逐漸上移至擋土墻墻高中點(diǎn)位置附近。僅考慮水平剪切應(yīng)力時(shí)（情況三），土壓力分布曲線(xiàn)的拐點(diǎn)始終位于擋土墻上方，且隨著δ/φ值的增大而逐漸下移至擋土墻墻高中點(diǎn)位置附近。當(dāng)同時(shí)考慮豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力時(shí)（情況一），土壓力分布曲線(xiàn)的拐點(diǎn)低于上述兩種情況，且隨著δ/φ值的增大而逐漸上移。特別地，如果既不考慮豎向正應(yīng)力也不考慮水平剪切應(yīng)力（情況四），土壓力分布曲線(xiàn)為直線(xiàn)，并且與庫(kù)倫土壓力線(xiàn)性分布完全一致。這點(diǎn)也可以根據(jù)式（28）進(jìn)行分析可知，當(dāng)A3=0 且A4=0 時(shí)，式（28）退化為：

圖7 不同δ/φ 值下4 種情況的土壓力分布Fig.7 Earth pressure distribution in four cases with different δ/φ values

將A5的表達(dá)式代入式（35），發(fā)現(xiàn)此時(shí)土壓力分布與庫(kù)倫土壓力分布完全一致。這表明，實(shí)際上庫(kù)倫土壓力線(xiàn)性分布假設(shè)的含義是計(jì)算單元界面上無(wú)應(yīng)力存在。由于界面應(yīng)力是土體強(qiáng)度發(fā)揮的表現(xiàn)，當(dāng)界面上無(wú)應(yīng)力時(shí)，也就是說(shuō)，此時(shí)楔體內(nèi)部的土體強(qiáng)度完全沒(méi)有發(fā)揮。顯然，這種理想情況并不會(huì)存在，因此基于庫(kù)倫理論假設(shè)得到的土壓力分布和合力作用點(diǎn)并不準(zhǔn)確。這與工程實(shí)踐得到的結(jié)論一致。

5.3 界面應(yīng)力對(duì)土壓力合力作用點(diǎn)的影響

算例條件如下：墻背垂直、墻高H=1 m；墻后填土為砂土，土體重度 γ=18 kN/m3，內(nèi)摩擦角 φ=36°，墻土接觸摩擦角δ=0°～36°。計(jì)算不同情況下土壓力合力作用點(diǎn)位置h0，計(jì)算結(jié)果如圖8 所示。計(jì)算結(jié)果表明：?jiǎn)为?dú)考慮豎向正應(yīng)力或水平剪切應(yīng)力作用時(shí)，土壓力合力作用點(diǎn)位置都會(huì)得到提高。在填土內(nèi)摩擦角 φ一定的情況下，如果僅考慮水平剪切應(yīng)力的作用，當(dāng)墻土接觸摩擦角δ=0°時(shí)，土壓力合力作用點(diǎn)位置起始于距墻底2H/3 處，且隨著墻土接觸摩擦角δ的增大而逐漸減小至距墻底0.55H左右處，土壓力合力作用點(diǎn)位置始終高于0.50H，位于擋土墻上部位置。其他三種情況下，土壓力合力均起始于距墻底H/3 處，其中僅考慮豎向正應(yīng)力和同時(shí)考慮豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力兩種情況下，土壓力合力作用點(diǎn)位置隨墻土接觸摩擦角δ的增大而逐漸增大，土壓力合力作用點(diǎn)位置始終低于0.50H，位于擋土墻下部位置。但在僅考慮豎向正應(yīng)力作用的情況下，土壓力合力作用點(diǎn)位置高于同時(shí)考慮豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力的情況。由于在同時(shí)考慮豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力的情況下，土壓力合力作用點(diǎn)的規(guī)律更加接近于僅考慮豎向正應(yīng)力的情況，這說(shuō)明實(shí)際上相對(duì)于水平剪切應(yīng)力而言，豎向正應(yīng)力對(duì)土壓力分布以及土壓力合力作用點(diǎn)的影響更大。特別地，如果既不考慮豎向正應(yīng)力也不考慮水平剪切應(yīng)力作用時(shí)，由于此時(shí)土壓力分布和庫(kù)倫線(xiàn)性土壓力完全一致，因此土壓力合力作用點(diǎn)與庫(kù)倫土壓力作用點(diǎn)完全一致，始終位于距墻底H/3 處。

圖8 不同情況下土壓力合力作用點(diǎn)規(guī)律Fig.8 Law of the action point of the resultant earth pressure in different situations

6 結(jié)論

（1）考慮分層界面上應(yīng)力分布不均勻，可以更準(zhǔn)確地描述土壓力的分布規(guī)律。土壓力分布曲線(xiàn)的拐點(diǎn)隨著墻土接觸摩擦角δ的增大而上升，隨著填土內(nèi)摩擦角 φ的增大而下降。土壓力合力作用點(diǎn)位置隨著δ/φ的增大而上升。

（2）界面應(yīng)力作為滑動(dòng)楔體內(nèi)部土體的內(nèi)力不會(huì)對(duì)土壓力合力的大小產(chǎn)生影響，但會(huì)對(duì)土壓力分布和土壓力合力作用點(diǎn)位置產(chǎn)生影響。在僅考慮豎向正應(yīng)力的情況下，土壓力分布曲線(xiàn)為下部凸起的鼓形，土壓力合力作用點(diǎn)位置隨δ/φ的增大而上升，并且始終位于擋土墻墻高中點(diǎn)以下。而在僅考慮水平剪切應(yīng)力的情況下，土壓力分布曲線(xiàn)為上部凸起的鼓形，土壓力合力作用點(diǎn)位置隨δ/φ的增大而下降，并且始終位于擋土墻墻高中點(diǎn)以上。在不考慮豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力作用的情況下，土壓力分布與庫(kù)倫土壓力線(xiàn)性分布假設(shè)完全一致。這表明庫(kù)倫土壓力的內(nèi)涵是楔體內(nèi)部土體強(qiáng)度完全沒(méi)有發(fā)揮。

（3）對(duì)于單元界面上客觀存在的豎向正應(yīng)力和水平剪切應(yīng)力而言，相比于水平剪切應(yīng)力，豎向正應(yīng)力對(duì)土壓力計(jì)算結(jié)果的影響更大。