劉 真，宋大浩

（安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 231603）

0 引言

本文主要是針對2021年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題[1]進(jìn)行研究。連鑄是一種鋼水變?yōu)殇撆鞯纳a(chǎn)過程，鋼水需要連續(xù)從中間包澆入結(jié)晶器，鋼水與結(jié)晶器接觸的部分會凝固形成坯殼并按一定速度從結(jié)晶器拉出。然后鋼水會經(jīng)過二冷段進(jìn)行噴水冷卻并逐漸凝固成鋼坯。最后需要按照一定的尺寸要求對鋼坯進(jìn)行切割。在連鑄停澆時，會產(chǎn)生尾坯，尾坯的長度與中間包中剩余的鋼水量及其他因素有關(guān)。因此，尾坯的切割也是連鑄切割的組成部分。

本文解決了題目的第一問與第二問，具體問題如下：

問題一：鋼坯的最優(yōu)切割方案

假定用戶的目標(biāo)值是9.5米，目標(biāo)范圍是9.0～10.0米，在滿足基本要求和正常要求的情況下對十條已知長度的尾坯分別設(shè)計出其最優(yōu)切割方案，方案按“尾坯長度、切割方案、切割損失”等內(nèi)容列表給出。十條尾坯長度為109、93.4、80.9、72.0、62.7、52.5、44.9、42.7、31.6、22.7、14.5、13.7（單位：米）。

問題二：鋼坯的實時最優(yōu)切割方案

結(jié)晶器每隔一段時間將會發(fā)生異常從而產(chǎn)生一段報廢鋼坯段，當(dāng)結(jié)晶器發(fā)生異常時給出實時的最優(yōu)切割方案：（1）在鋼坯第一次出現(xiàn)報廢段，給出此段鋼坯的切割方案；（2）在出現(xiàn)新的報廢段后給出新一段鋼坯的切割方案和當(dāng)前鋼坯切割的調(diào)整方案，或聲明不調(diào)整。

假設(shè)結(jié)晶器出現(xiàn)異常的時刻在0.0、45.6、98.6、131.5、190.8、233.3、 266.0、270.7和327.9（單位：分鐘），用戶目標(biāo)值是 9.5米，目標(biāo)范圍是 9.0～10.0米。在滿足基本要求和正常要求的條件下，按“初始切割方案、調(diào)整后的切割方案、切割損失”等內(nèi)容列表給出這些時刻具體的最優(yōu)切割方案。

1 鋼坯的最優(yōu)切割方案

1.1 目標(biāo)函數(shù)

由于我們在設(shè)計切割方案時需要考慮到切割損失以及用戶目標(biāo)值兩個因素，所以需要建立雙目標(biāo)規(guī)劃模型來求解優(yōu)化問題。而對目標(biāo)的分析優(yōu)先考慮切割損失，其次才是用戶目標(biāo)值。因此給出目標(biāo)函數(shù)：

（1）使得切割損失是最少的，其中SS為切割損失

（2）使得切割方案是最令人滿意的

上述CZ為切割后鋼坯長度與用戶要求長度之間的差值，差值越小越能滿足用戶，x為切割鋼坯的長度，z為0-1變量用于選中x，n為用戶給定的目標(biāo)值。i是一個大于等于最優(yōu)結(jié)果下能夠切割出的鋼坯段數(shù)量。

1.2 約束條件

對題目中的相關(guān)約束如基本要求、正常要求以及題目隱含條件羅列以下四點進(jìn)行分析：

（1）切割后的鋼坯長度必須在4.8～12.6米之間，用x表示切割后的鋼坯長度：即x∈[4.8，12.6]。

（2）鋼坯長度是8.0～11.6米，長度不在此范圍的鋼坯將需要進(jìn)行離線二次切割，長度若小于8.0米則全部報廢即SS=SS+x，長度若大于11.6米即SS=SS+x-11.6。

（3）目標(biāo)值是 9.5米，目標(biāo)范圍是9.0～10.0米，度不在此范圍的鋼坯將會產(chǎn)生損失，長度x若小于9.0米則全部報廢即SS=SS+x，長度x若大于10米即SS=SS+x-10。

（4）鋼坯的切割必須從工作起點開始，切割機(jī)切割所需時長3分鐘，返回起點需要1分鐘，共計一個工作流程需要4分鐘，鋼坯行進(jìn)速度為1米/分鐘，所以鋼坯長度x需要滿足x≥4米才能使切割機(jī)切割時及時返回。

1.3 符號說明

SS含義為切割損失；CZ含義為切割后鋼坯與用戶要求的長度之差值；x含義為當(dāng)前鋼坯對象所切割出的小鋼坯（單位：米）；n含義為用戶目標(biāo)區(qū)間的中間值（單位：米）；L含義為當(dāng)前切割方案的設(shè)計對象（單位：米）；Z含義為0-1變量，是否加入切割計劃內(nèi)；c含義為0-1變量，表示報廢段的存在位置；Lup含義為鋼坯的有效區(qū)間上界，超過該區(qū)間為冗余；Llow含義為鋼坯的有效區(qū)間下界，超過該區(qū)間為冗余。

1.4 模型構(gòu)建

模型一：

1.5 模型求解

以109米鋼坯為例，由于是雙目標(biāo)規(guī)劃所以這里采用序貫解法[2]（序貫解法（Sequential Decision）是按時間順序進(jìn)行求解，是一種動態(tài)的決策方式，可用于隨機(jī)性或不確定性動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化），利用lingo軟件實現(xiàn)模型一的求解，通過目標(biāo)函數(shù)（1）得出切割損失最少可以降低到0，再通過這個基準(zhǔn)值作為約束條件去實現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)（2）可以得出具體的切割方案見表1。

表1 各鋼坯切割方案

如果發(fā)現(xiàn)切割方案里的鋼坯存在著不在用戶要求范圍之內(nèi)的鋼坯，如對尾坯長度為62.7米的鋼坯進(jìn)行切割后，還要進(jìn)行離線二次切割，所有需要調(diào)整的見表2。

表2 調(diào)整方案

2 實時最優(yōu)切割方案

2.1 結(jié)晶器異常的處理

針對異常而建立的實時切割方案可以理解為在發(fā)生異常時及時對異常點到切割點或者是上一個異常點的這段新鋼坯段構(gòu)建新的切割方案，即實時切割方案。

那么利用已知的異常發(fā)生時間，根據(jù)拉坯速度、結(jié)晶器距切割點距離等要素計算出需要進(jìn)行計算的各段鋼坯長度見表3（按時間順序標(biāo)序號）。

表3 異常鋼坯段長度

在問題二中結(jié)晶器會不定時發(fā)生異常并產(chǎn)生報廢段，所以需要考慮產(chǎn)生出的報廢段出現(xiàn)在何時切割的鋼坯內(nèi)最優(yōu)，所以對原切割損失SS的約束條件進(jìn)行修改得出：

c(i)是一個選擇變量,確定出這個報廢段在哪一段鋼坯內(nèi)，其中i是一個大于等于最優(yōu)結(jié)果下能夠切割出的鋼坯段數(shù)量。并且c(i)的和應(yīng)該等于1，又c(i)如果等于1，那么z(i)也應(yīng)該等于1。所以添加約束如下：

2.2 模型構(gòu)建

根據(jù)上述處理修改模型一構(gòu)建如下：

模型二：

2.3 模型求解

以60米長鋼坯為例，利用lingo軟件實現(xiàn)模型得出結(jié)果，首先通過對目標(biāo)函數(shù)（1）求解可得損失最低為0，再將其作為約束條件對目標(biāo)函數(shù)（2）計算求解得出：

初始切割方案：10米*3，9.7米、10.8米、9.5米各一段。

調(diào)整方案：其中10.8米長鋼坯不在用戶范圍內(nèi),因而需要切除0.8米鋼坯產(chǎn)生損失，但又因為結(jié)晶器本身也會產(chǎn)生一個0.8米報廢段，所以可以使結(jié)晶器在產(chǎn)生0.8米報廢段時恰好也報廢需要切除的鋼坯。其他鋼坯切割方案求解相同（見表4和表5）。

表4 實時生成的各段尾坯的切割方案

表5 實時生成的各段尾坯的調(diào)整方案

3 結(jié)語

本文的求解模型對于切割類型題具有一定的適用性，如鋼管下料、易拉罐下料以及板材切割問題等。對于雙目標(biāo)規(guī)劃，若目標(biāo)之間分先后、主次，那么本文模型也具有通用性。