吉林師范大學(xué)

陳嘉楠

1 引言

在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，我們知道對某些事件概率的估計(jì)可以通過試驗(yàn)或者觀察得到.但是通過試驗(yàn)或觀察所得事件的概率只是近似值，而且此方法耗時(shí)較長.因此，在總結(jié)試驗(yàn)的共同特點(diǎn)(如有限性、等可能性等)的基礎(chǔ)上，進(jìn)而得到隨機(jī)事件概率的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，即“古典概型”[1].

古典概型的教學(xué)不僅可以幫助學(xué)生樹立辯證唯物主義的世界觀，還可以了解古典概型的相關(guān)數(shù)學(xué)史知識.本文中通過分析部分經(jīng)典的古典概型的例題，挖掘和滲透題中蘊(yùn)含的德育元素，使古典概型教學(xué)與德育教學(xué)有機(jī)結(jié)合，在培養(yǎng)學(xué)生解題能力的同時(shí)提高其思想水平[2].為此，可從以下幾個(gè)方面進(jìn)行古典概型教學(xué)中的德育元素的挖掘和滲透.

2 古典概型中有關(guān)公平性的問題

例1某家超市搞活動(dòng)，規(guī)定當(dāng)天消費(fèi)滿500元的顧客可以參與抽獎(jiǎng)，符合要求的顧客共有6人，這6個(gè)人依次從6個(gè)標(biāo)有從A到F字母的小球中不放回隨機(jī)抽取一個(gè)小球，抽到標(biāo)有字母C的小球可獲得獎(jiǎng)品，這樣公平嗎？

解：依題意可知，第一個(gè)人抽到C球的概率為

第二個(gè)人抽到C球的概率為

第三個(gè)人抽到C球的概率為

類似地依次下去，可得第六個(gè)人C球的概率為

綜上可知，每個(gè)人抽到C球的概率都是相同的，所以這個(gè)抽獎(jiǎng)方式是公平的.

3 古典概型中有關(guān)垃圾分類的問題

例2當(dāng)前環(huán)境問題是熱點(diǎn)話題.某地區(qū)為響應(yīng)國家號召，主動(dòng)對生活垃圾進(jìn)行全方位的分類處理，將生活垃圾分為表1中所展示的三類.現(xiàn)對該地區(qū)居民的垃圾分類狀況進(jìn)行調(diào)查，三類垃圾箱中總計(jì)1 000 t生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表1所示(單位：t).

表1 生活垃圾分類數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表 單位：t

(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；

(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率.

分析：首先例2的兩問均滿足樣本點(diǎn)有限，并且垃圾投放到三個(gè)垃圾箱是等可能的，所以屬于古典概型.本題考查了古典概型的概率和對立事件的概率計(jì)算.

解：(1)記M=“廚余垃圾投放正確”，則

(2)記A=“設(shè)生活垃圾投放錯(cuò)誤”，則

在課堂教學(xué)中講解古典概型時(shí)，可引入垃圾分類等與生活密切相關(guān)的例子，通過垃圾分類試題的講解，能夠讓學(xué)生更加明確垃圾如何分類，了解垃圾分類的重要性，形成保護(hù)環(huán)境的意識[3].

4 古典概型中有關(guān)賭博性的問題

例3有一種賭博游戲叫做抓彩珠游戲，游戲規(guī)則是總共有27顆珠子，有3種顏色，每個(gè)顏色9顆，參與者從袋子里任意拿出9粒，按抓出珠子顏色個(gè)數(shù)的比例與攤主進(jìn)行兌換.兌換規(guī)則如表2.(10元20次)

表2 游戲獎(jiǎng)罰金額兌換規(guī)則

問：20次游戲后可能會輸?shù)舳嗌僭?/p>

解：由于每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同，并且樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)，于是此游戲滿足古典概型要求.可以計(jì)算得出

=6.400 9×10-7;

=1.036 9×10-4;

=0.034 8;

=0.091 5;

=0.121 9;

=0.009 0;

=0.020 3;

=0.487 8;

=0.001 7;

根據(jù)上述的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，能夠中200元和300元的概率是極小的，基本沒有出現(xiàn)的可能.雖然在獎(jiǎng)罰方面上表面呈現(xiàn)的絕大部分都是中獎(jiǎng)，只有一個(gè)是罰款30元，但“罰款30元”從概率角度來說是比較高的，接近50%.因此，最終的獎(jiǎng)罰總量上是罰錢占主導(dǎo)的[4].根據(jù)概率，可知每進(jìn)行一次游戲獎(jiǎng)(罰)金額均值為

N=300×6.400 9×10-7+……+0.487 8×(-30)+……+0.001 9×60≈-9.81(元).

也就是說，每次游戲可能會輸?shù)?.81元，則20次游戲后，將可能會輸?shù)?96.2元.

因此，教師在進(jìn)行古典概率教學(xué)時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生明白這場賭博游戲背后的科學(xué)道理，用科學(xué)的計(jì)算結(jié)果讓學(xué)生警惕這種以金錢為賭注的游戲，讓學(xué)生對賭博的認(rèn)識從感性上升為理性，明白賭博對任何人都是無利的，培養(yǎng)學(xué)生正確的價(jià)值觀.

5 古典概型與數(shù)學(xué)文化

我國古代早在三千多年前就已經(jīng)產(chǎn)生了與概率相關(guān)的思想，從《周易》中有關(guān)“卦”“爻”等內(nèi)容追溯，書中有關(guān)于占卜、演算等內(nèi)容.用現(xiàn)代的觀點(diǎn)看“卦”，其本質(zhì)是一種隨機(jī)試驗(yàn)[5].以我們最熟悉的拋硬幣試驗(yàn)來類比，如果用硬幣“正面朝上”來表示“陽爻”，硬幣“反面朝上”來表示“陰爻”，連續(xù)進(jìn)行3次試驗(yàn)，其樣本空間有8個(gè)樣本點(diǎn)，即可畫出《周易》中的八卦圖；同理連續(xù)進(jìn)行6次試驗(yàn)，其樣本空間有64個(gè)樣本點(diǎn)，即可畫出64卦圖.由此可以看出《周易》中蘊(yùn)涵深厚的古典概型思想，這是一種歷史唯物主義的辯證思想[6].

古典概型作為學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)文化意識不可缺少的重要數(shù)學(xué)模型，逐漸進(jìn)入了高考命題者的視野.以2019年全國卷理科數(shù)學(xué)選擇題第6題為例.

圖1

分析：這道試題的背景即是《周易》中有關(guān)我國古代古典概型相關(guān)思想的記載.要解決此題，先要明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，重卦的排列是由6個(gè)“爻”從下到上組成，在每個(gè)重卦中，有6個(gè)不同的位置，這6個(gè)不同位置的爻都有“陰爻”和“陽爻”兩種可能，符合古典概型的條件.

解：由每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻和陰爻，所以樣本空間中元素個(gè)數(shù)為

26=64，

即共有64種不同的結(jié)果.記A=“重卦中恰有三個(gè)陽爻”，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為

故選擇：A.

從數(shù)學(xué)史研究和數(shù)學(xué)文化滲透的角度來賞析，這道題不僅對《周易》中的數(shù)學(xué)史料進(jìn)行了挖掘，而且在一定程度上將古典概型同“卦”“爻”等內(nèi)容相結(jié)合，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)文化意識的發(fā)展和應(yīng)用.同時(shí)，也啟發(fā)教育工作者在古典概型以及其他課程的教學(xué)中把數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化知識恰當(dāng)結(jié)合，使學(xué)生能夠更好地應(yīng)對未來高考的變化，更深刻地理解數(shù)學(xué)模型的生成和應(yīng)用過程，感受中國傳統(tǒng)文化的悠久歷史.

6 體育賽事中的古典概型問題

例5運(yùn)動(dòng)賽場上，某射擊運(yùn)動(dòng)員不受外界影響在同一條件下進(jìn)行射擊[7]，其成績?nèi)缦卤?.

表3 運(yùn)動(dòng)員射擊成績分析

(1)計(jì)算表3中命中靶心的各個(gè)頻率，填入表中；

(2)估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊一次命中靶心的概率.

解：(1)表中應(yīng)填入的頻率依次為0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.

(2)由于填入表3中的頻率數(shù)據(jù)趨近于0.89這一常數(shù)，所以該運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心的概率約為0.89.

人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(2019年版)第238頁練習(xí)1便是運(yùn)動(dòng)員飛碟射擊問題，教師可以由此擴(kuò)展，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注奧運(yùn)會的相關(guān)賽事.奧林匹克運(yùn)動(dòng)歷史悠久，是人類文明的寶貴遺產(chǎn).教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注奧運(yùn)會和國家大事，培養(yǎng)學(xué)生熱愛體育、熱愛生活的美好信念和自我驅(qū)動(dòng)力.

7 結(jié)語

本文闡述了在古典概型教學(xué)中挖掘和滲透德育元素，使古典概型教學(xué)與德育教學(xué)有機(jī)結(jié)合，通過對古典概型在公平性問題、賭博性問題以及垃圾分類等方面的應(yīng)用分析，學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時(shí)，自身的思想道德水平也得到一定的提升.

此外，德育元素不僅可以融入古典概型教學(xué)中，還可以融入高中數(shù)學(xué)其他課程教學(xué)中.這需要教育工作者們不斷發(fā)掘課程中的德育元素，對教科書內(nèi)容進(jìn)行合理拓展，提出與時(shí)俱進(jìn)的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課程和德育教學(xué)的有機(jī)結(jié)合，進(jìn)而有效達(dá)成知識傳授與德育滲透的更好融合.