羅 純，馬萱航，夏琪祺，郟君樂，潘 翔，張應(yīng)山

（1. 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院, 上海201418；2. 硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 校長(zhǎng)室, 江蘇 昆山215332；3. 華東師范大學(xué) 金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 上海200241）

象數(shù)學(xué)邏輯[1]主要研究對(duì)象為多個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)并探究其內(nèi)部存在的某種運(yùn)算關(guān)系，復(fù)雜系統(tǒng)包含2部分，根據(jù)變量為輸出變量或輸入變量對(duì)空間給出定義，輸出變量構(gòu)成的空間定義為象空間，輸入變量構(gòu)成的空間定義為卦空間。在對(duì)象空間內(nèi)數(shù)據(jù)存在的客觀規(guī)律研究的過(guò)程中，結(jié)論是可逆數(shù)據(jù)的變換分析結(jié)論是具有再現(xiàn)性的。在一般的矩陣中，矩陣按行拉長(zhǎng)vecr運(yùn)算和按列拉長(zhǎng)vecc運(yùn)算也被定義為常用的運(yùn)算法則。推廣到多邊矩陣?yán)碚撝?，這2個(gè)運(yùn)算也形成多邊矩陣?yán)碚摰幕具\(yùn)算之一，定義為塊拉長(zhǎng)Tensor運(yùn)算，分別用Te、te表示。

文獻(xiàn)[2-3]中主要探究了不同指標(biāo)問(wèn)題的運(yùn)算規(guī)律和相關(guān)性質(zhì)，并給出其從特殊情況推廣至一般場(chǎng)合的證明；文獻(xiàn)[4-5]中分別利用多邊矩陣的基陣和置換矩陣探究了在多邊矩陣中存在的一些一般運(yùn)算法則，文獻(xiàn)[6-9]中的按行拉長(zhǎng)Vr=vecr和按列拉長(zhǎng)Vc=vecc及 其相應(yīng)的逆的運(yùn)算方法，也可以歸納為是多邊矩陣塊拉長(zhǎng)Te及其逆Te-1運(yùn)算規(guī)則的一種特殊情況，即總體拉長(zhǎng)te及其逆te-1運(yùn)算的情況。而本文則是為了將一般矩陣按行拉長(zhǎng)vecr的運(yùn)算法則和性質(zhì)推廣至多邊矩陣，并探究多邊矩陣塊拉長(zhǎng)Tensor運(yùn)算規(guī)則。

1 多邊矩陣塊拉長(zhǎng)Tensor 運(yùn)算的定義和基本定理

定義1.1設(shè)多邊矩陣的一個(gè)剖面可以表示為

稱te(A)是多邊矩陣A的總體拉長(zhǎng)，其中為基陣總體拉長(zhǎng)te的 基本拉長(zhǎng)定義。其他拉長(zhǎng)同理可得。

令eα(F)、eβ(F1)、eλ(K)、eμ(K1)分別為F、F1、K、K1型多邊矩陣的標(biāo)準(zhǔn)基陣。

記IF、IF1、IK、IK1分別為F FT、、KKT、型單位多邊矩陣。又記分別為F(F×K)T、型多邊矩陣。又記HKT多邊矩陣為

則

定理1.1如果設(shè)矩陣A的一個(gè)剖面表示為，那么如下結(jié)論是等價(jià)的。

證由定義1.1可知等式①和②是等價(jià)的。等式③和④表達(dá)了同一個(gè)等式，因此它們是等價(jià)的。

只需證明等式②和等式③是等價(jià)的即可。

根據(jù)多邊矩陣A的定義可知，多邊矩陣A沿框架的基陣為

而多邊矩陣A沿框架的基陣表示是

可知

這說(shuō)明等式③和等式②是等價(jià)的。即證。

推論1.1若A為型多邊矩陣，則A沿框架的塊拉長(zhǎng)為

若A為型多邊矩陣，那么沿A框架的 塊拉長(zhǎng)為

若A為型多邊矩陣，那么A沿框架的塊拉長(zhǎng)為

2 多邊矩陣塊拉長(zhǎng)Te 的基本性質(zhì)

性質(zhì)2.1(線性與轉(zhuǎn)置)如果A，B為×型多邊矩陣，a、b為數(shù)值，*T定義為多邊矩陣轉(zhuǎn)置，則

設(shè)多邊矩陣A沿剖面的基陣表達(dá)性質(zhì)為

記塊轉(zhuǎn)置T (A)為：

則

其中

為換位多邊矩陣。

證明用定理1.1的結(jié)論4可知

因?yàn)?/p>

所以

即證。

性質(zhì)2.2(Kronecker積性質(zhì))如果A、B分別為型多邊矩陣，則

證根據(jù)定理1.1已知，，，可以得到

即證。

性質(zhì)2.3(乘積性質(zhì))如果A為型多邊矩陣，C為K0KT型多邊矩陣，D為型多邊矩陣，則

證根據(jù)定理1.1已知，

可以得到：

即證。

性質(zhì)2.4(乘法拉長(zhǎng))如果A為型多邊矩陣，C為F0FT型多邊矩陣，D為型多邊矩陣，則

證根據(jù)性質(zhì)2.1已知，

根據(jù)定理1.1已知，

可以得到：

即證。

3 塊拉長(zhǎng)Teij 之間的關(guān)系

定義3.1如果A為型多邊矩陣，多邊矩陣A沿剖面的基陣表達(dá)性質(zhì)為

那么定義運(yùn)算記號(hào)te?IK為

Te=Te11=te?IK

則。

如果A為型多邊矩陣，多邊矩陣A沿剖面的基陣表達(dá)性質(zhì)為

那么定義記號(hào)IK?te為

如果A為型多邊矩陣，多邊矩陣A沿剖面的基陣表達(dá)性質(zhì)為

那么定義記號(hào)te?te 為

則te=te?te， 定義為總體拉長(zhǎng)。

性質(zhì)3.1（塊拉長(zhǎng)的嵌套性質(zhì)）如果A為型多邊矩陣，Te(A)=Te11(A)為多邊矩陣A沿框架的 塊拉長(zhǎng)，te(A)為A沿框架的總體拉長(zhǎng)，(IF?te)(T(A))為Te(A)=Te11(A)沿框架的塊拉長(zhǎng)，則

其中， Te11=Te 。

證根據(jù)定理1.1和多邊矩陣的基陣表達(dá)性質(zhì)可知，

根據(jù)總體拉長(zhǎng)的定義可知，

可以得到：

因?yàn)閠e?te與的乘法位置無(wú)關(guān)，所以

即證。

性質(zhì)3.2(多邊矩陣塊拉長(zhǎng)Te和塊拉長(zhǎng)Teij的關(guān)系)

(1) 如果A為型多邊矩陣，那么AK(F1，K1)T為型多邊矩陣，K(K，F(xiàn))A為型多邊矩陣，則

(2) 如果A為型多邊矩陣，那么K(F，K)A為型多邊矩陣，AK(K1，F(xiàn)1)T為型多邊矩陣，則

(3) 如果A為型多邊矩陣，那么K(F，K)AK(F1，K1)T為型多邊矩陣，則

其為型多邊矩陣。

(4) 如果A為型多邊矩陣，那么(A)T是型多邊矩陣，則，

證(1)先證結(jié)論3根據(jù)推論1.1，如果A為型多邊矩陣，那么多邊矩陣A沿剖面的基陣表達(dá)性質(zhì)為

于是，采用記號(hào)(IK×te)滿足

于是得到命題的結(jié)論3的最后等式。其他等式是定義。

證(2)根據(jù)上述結(jié)論3可知

于是得到命題的結(jié)論1的最后等式。其他等式是定義。

證(3)根據(jù)上述結(jié)論3可知

于是得到命題的結(jié)論2的最后等式。其他等式是定義。

證(4) 如果A為型多邊矩陣，則(A)T是K1FT×F1KT型多邊矩陣，用結(jié)論1和2知，

所以

即證。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文的推導(dǎo)過(guò)程嚴(yán)格證明了多邊矩陣的塊拉長(zhǎng)Te和塊跡Tr存在著密切關(guān)系;也與總體拉長(zhǎng)te和總體跡tr關(guān)系密切，即Te=te?IK和Tr=tr?IK。而總體拉長(zhǎng)te與運(yùn)算te?te運(yùn)算有關(guān)，總體跡tr與運(yùn)算tr?tr運(yùn)算有關(guān)。塊拉長(zhǎng)Teij基本是等價(jià)的拉長(zhǎng)運(yùn)算，與記號(hào)IK?te具有關(guān)系。各種運(yùn)算之間僅僅相差置換多邊矩陣，說(shuō)明各種塊拉長(zhǎng)Tensor運(yùn)算都是可逆的等價(jià)運(yùn)算，具有同構(gòu)運(yùn)算性質(zhì)，是考慮再現(xiàn)性問(wèn)題的重要運(yùn)算工具。