一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計40分)

2.已知a,b為兩條不同直線,α,β為兩個不同平面.下列命題中正確的是( )

(A)若a∥α,b∥α,則a與b共面

(B)若a⊥α,α⊥β,則a∥β

(C)若a⊥α,α∥β,則a⊥β

(D)若α∥b,β∥b,則α∥β

3.測量河對岸某一高層建筑物AB的高度時,可以選擇與建筑物的最低點B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C和D,如圖,測得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30 m,并在C處測得建筑物頂端A的仰角為60°,則建筑物AB的高度為( )

4.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周牌算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形,它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形,設(shè)DF=2AF,則( )

5.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從甲、乙兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了100個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,分別得到甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖.若甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數(shù)分別為m1,m2,平均數(shù)分別為s1,s2,則( )

(A)m1>m2,s1>s2

(B)m1>m2,s1

(C)m1

(D)m1s2

6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1C1的中點,則異面直線CE與BD所成的角為( )

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,計20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求，全部選對得5分,部分選對得2分,有選錯的得0分)

9.已知m,n是兩條不重合的直線,α,β,γ是三個互不重合的平面,給出下列四個命題,其中正確的命題是( )

(A)若m∥β,n∥β,m,n?α,則α∥β

(B)若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n?γ,則m⊥n

(C)若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,則m∥n

(D)若m∥α,m?β,α∩β=n,則m∥n

10.下列說法中錯誤的是( )

(A)若向量a,b滿足a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使得a=λb

(C)“a≠1”是“復(fù)數(shù)z=(a-1)+(a2-1)i(a∈R)是虛數(shù)”的必要不充分條件

11.已知在三棱錐P—ABC中,AP,AB,AC兩兩互相垂直,AP=5 cm,AB=4 cm,AC=3 cm,點O為三棱錐P—ABC的外接球的球心,點D為ABC的外接圓的圓心,下列說法正確的是( )

(A)三棱錐P—ABC的體積為10 cm3

(C)球O的表面積為50π cm2

(D)OD⊥PA

12.下列說法中正確的是( )

(A)對向量a,b,c,有(a·b)c=a(b·c)

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,計20分)

14.已知向量a=(4，2),b=(λ,1),若a+2b與a-b的夾角是銳角,則實數(shù)λ的取值范圍為______.

16.三棱臺ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,則三棱錐A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的體積之比是______.

四、解答題(本大題共6小題,計70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)某校從參加某次知識競賽的同學(xué)中,選取50名同學(xué)將其成績(百分制,均為整數(shù))分成六組:第1組[40,50),第2組[50,60),第3組[60,70),第4組[70,80),第5組[80,90),第6組[90,100],得到部分頻率分布直方圖(如圖),觀察圖形中的信息,回答下列問題:

(1)求分?jǐn)?shù)在[80,90)內(nèi)的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;

(2)從頻率分布直方圖中,利用組中值估計本次考試成績的平均數(shù);

(3)已知學(xué)生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個等級,其中成績不小于90分時為優(yōu)秀等級,若從第5組和第6組兩組學(xué)生中,隨機抽取2人,求所抽取的2人中至少一人成績優(yōu)秀的概率.

在?ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足______.

(1)求角C的大小;

(2)若D為邊BC上一點,且AD=6,BD=4,AB=8,求AC.

19.(本小題滿分12分)某空調(diào)商家,對一次性購買兩臺空調(diào)的客戶推出兩種質(zhì)保期兩年內(nèi)的保維修方案:

方案1:交納質(zhì)保金300元,在質(zhì)保的兩年內(nèi)兩臺空調(diào)共可免費維修2次,超過2次每次收取維修費200元.

方案2:交納質(zhì)保金400元,在質(zhì)保的兩年內(nèi)兩臺空調(diào)共可免費維修3次,超過3次每次收取維修費200元.

小李準(zhǔn)備一次性購買兩臺這種空調(diào),現(xiàn)需決策在購買時應(yīng)購買哪種質(zhì)保方案,為此搜集并整理了100臺這種空調(diào)質(zhì)保期內(nèi)兩年內(nèi)維修的次數(shù),統(tǒng)計得下表:

維修次數(shù)0123 空調(diào)臺數(shù)20303020

用以上100臺空調(diào)維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率.

(1)求購買這樣的兩臺空調(diào)在質(zhì)保期的兩年內(nèi)維修次數(shù)超過2次的概率;

(2)請問小李選擇哪種質(zhì)保方案更合算?

(2)cos∠EAF.

(1)求證:PD⊥AB;

(1)若平面PBC與平面PAD的交線為l,求證:l∥BC;

(2)求直線BM與平面ABCD所成角的正切值;

(3)求直線BM與CD所成角的余弦值.

參考答案

一、單項選擇題

1.C;2.C;3.B;4.C;5.C;

6.D;7.D;8.A.

二、多項選擇題

9.BD;10.ABD;11.ABC;12.BCD.

三、填空題

15.9;16.1∶2∶4.

四、解答題

17.(1)由圖可得分?jǐn)?shù)在[80,90)內(nèi)的頻率為1-10(0.006+0.010+0.020+0.026+0.030)=0.08,0.08÷10=0.008, 故頻率分布直方圖如下:

(2)本次考試成績的平均數(shù)約為45×0.010×10+55×0.026×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.08+95×0.006×10=66.8.

(3)第5組人數(shù)為50×0.08=4,第6組人數(shù)為50×0.06=3.被抽取的成績在[80,90)內(nèi)的4人,分別記為a,b,c,d;成績在[90,100]內(nèi)的3人,分別記為A,B,C.從這7人中隨機抽取2人的情況為:(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(a,C),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(b,C),(c,d),(c,A),(c,B),(c,C),(d,A),(d,B),(d,C),(A,B),(A,C),(B,C),共21種;被抽到2人中至少有1人成績優(yōu)秀的情況為:(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(c,A),(c,B),(c,C),(d,A),(d,B),(d,C),(A,B),(A,C),(B,C),共15種.

18.(1)選①.

所以方案2更合算.

因為平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,AD?平面ABCD,所以AD⊥平面PBD,所以AD⊥PD.

因為PA=PB,所以?PAD≌?PBD.所以∠PDB=∠PDA=90°,即BD⊥PD.

又因為AD∩BD=D,所以PD⊥平面ABCD.

因為AB?平面ABCD,所以PD⊥AB.

設(shè)BM與平面PAC所成角為α,則有

22.(1)因為AD∥BC，AD?面PAD，BC?面PAD,所以BC∥面PAD,BC?面PBC,又因為面PAD∩面PBC=l,所以BC∥l.

(2)連結(jié)EC,取EC中點H,連結(jié)MH,HB.因為M是PC的中點,H是EC的中點,所以MH∥PE.

因為PA=PD,E為AD的中點,所以PE⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD.

所以MH⊥平面ABCD,HB是BM在平面ABCD內(nèi)的射影,∠MBH為BM與平面ABCD所成的角.

(3)由(2)知CD∥BE,故直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角.