盧恩良

(江西省九江市第三中學(xué)，332000)

一、齊次式在三角函數(shù)中的應(yīng)用

解將原方程兩邊平方,得cos2α+4cosαsinα+4sin2α=5,將等式右邊的常數(shù)5代換為5(cos2α+sin2α),整理可得sin2α+4cos2α-4sinαcosα=0.由條件知cosα≠0,故方程兩邊同除以cos2α,可得tan2α-4tanα+4=0,解得tanα=2.

變式2已知角α滿足tanα=2,求t=2sinαcosα-3cos2α的值.

評注通過以上例題及變式題,我們發(fā)現(xiàn)在遇到關(guān)于形如sinx,cosx的齊次結(jié)構(gòu)時,有時需要靈活運用常數(shù)1的代換.當(dāng)遇到關(guān)于sinx,cosx的一次結(jié)構(gòu)時,我們還可以將式子平方化為二次結(jié)構(gòu)去處理.

二、齊次式在多元函數(shù)中的應(yīng)用

文[1]中討論的求一類多元函數(shù)最值的問題也可利用齊次式進(jìn)行簡化處理.文[1]中的例1和例3都屬于三元函數(shù)求最值,例2屬于二元函數(shù)求最值,我們可以利用其齊次式的特點,將三元化二元,化到文[1]中的例2類型去求解.

評注在多元函數(shù)中的最值問題中,根據(jù)齊次式的特點,利用比值代換進(jìn)行處理,有時可以起到“減元增效”的奇效.

變式已知x,y,z∈R,且x2+y2+z2=1,求xy+2yz+2zx的最大值.

分析觀察條件和目標(biāo)式結(jié)構(gòu)都屬于二次式,可根據(jù)齊次結(jié)構(gòu),進(jìn)行換元處理,減少變量.

三、齊次式在圓錐曲線中的應(yīng)用

在圓錐曲線中,直線過定點問題是高考、各類聯(lián)考模擬考的熱點問題.對于解決圓錐曲線上一定點與動弦端點連線斜率之和(積)為定值時的情況,我們可以構(gòu)造齊次式,利用比值換元進(jìn)行處理,能夠大大減少運算量,起到化繁為簡的神奇效果.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點P2且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1,證明:l過定點.

(2)依題意,可設(shè)直線l的方程為mx+n(y-1)=1.

由直線P2A與直線P2B的斜率表達(dá)式,為了湊出關(guān)于x,y-1的齊次式,先將橢圓C的方程化為x2+4y2-4=0,進(jìn)一步處理成x2+4(y-1)2+8(y-1)=0.

評注以上第(2)問的解答有兩個關(guān)鍵:第一個是直線l方程的設(shè)定,一般地,直線l不過點(x0,y0),時,可設(shè)直線方程為m(x-x0)+n(y-y0)=1;第二個是湊出關(guān)于x-x0,y-y0的齊次式,本題中即為湊出含有x2,(y-1)2，x(y-1)的結(jié)構(gòu).接下來就是比值換元,利用根與系數(shù)關(guān)系解題.

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

通過以上舉例我們可以發(fā)現(xiàn),如果能夠適時構(gòu)造齊次式,再利用比值換元,就能很好地減少變量,起到化繁為簡的解題效果.利用齊次式解題,要求我們要有敏銳的眼光、較強的變形能力.本文僅舉了三個方面的例子,相信齊次式還有其他方面的應(yīng)用,希望本文能夠拋磚引玉.