劉海青

(福建省莆田第六中學，351111)

線性規(guī)劃問題通常是指在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最值問題,具體體現(xiàn)就是圖解法.利用圖解法解題的步驟是:一畫(畫滿足條件的平面區(qū)域)、二移(平移目標函數(shù)相應的直線)、三解(解方程組求出最優(yōu)解)、四答(寫出目標函數(shù)的最值).隨著線性規(guī)劃相關(guān)理論及應用的發(fā)展,其可行域、目標函數(shù)已不再限于線性區(qū)域或線性函數(shù).

現(xiàn)在新教材中雖然刪去了線性規(guī)劃的內(nèi)容,但作為一種重要的解題工具,線性規(guī)劃思想在解決許多最值問題時有著明顯的優(yōu)勢.下面擷取線性規(guī)劃思想應用的幾個視角,旨在探索題型規(guī)律.

一、在函數(shù)問題中的運用

二、在三角函數(shù)問題中的運用

(C)f(x)的最小值為1

選項C，D均為最值問題，換元轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)來處理.

對選項C，由a∈[0,1],得a-a4=a(1-a3)≥0,即a≥a4,當且僅當a=0或a=1時等號成立.

同理b≥b4,當且僅當b=0或b=1時等號成立.所以a+b≥a4+b4=1,即f(x)的最小值為1，選項C正確.

對選項D，如圖2，當a,b∈[0,1]時，a+b=1對應的圖形是一條線段；a2+b2=1對應的圖形是四分之一圓??；a3+b3=1和a4+b4=1對應的圖形是在線段a+b=1上方，且關(guān)于直線y=x對稱的曲線段.

綜上，選ACD.

評注本題判斷選項D時，通過將問題轉(zhuǎn)化，運用線性規(guī)劃思想求解，頗為巧妙.

三、在向量問題中的運用

例3已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值為______,最大值為______.

解由三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|及條件|a|=1,|b|=2,可得1≤|a+b|≤3,1≤|a-b|≤3.

設x=|a+b|,y=|a-b|,則x,y∈[1,3],且|a+b|+|a-b|=x+y,x2+y2=10.

評注本題是通過設元,構(gòu)造線性目標函數(shù),運用線性規(guī)劃思想求解的.

四、在不等式問題中的運用

如圖4，在平面直角坐標系xOy中，作出不等式組表示的平面區(qū)域.

由y=ex,得y′=ex.設切點坐標為(x0,y0),則切線方程為y-y0=ex0(x-x0),將原點坐標(0,0)代入，得y0=x0ex0.

又y0=ex0,所以ex0=x0ex0，解得x0=1,此時z=e，所以z的最小值為e.

評注本題是先將已知條件轉(zhuǎn)換形式,換元后運用線性規(guī)劃思想和導數(shù)的幾何意義求解的.