李 斌

(新疆烏魯木齊市第二十三中學(xué)，830000)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是導(dǎo)數(shù)的重要知識點之一,也是求解有關(guān)導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用問題的重要工具.在解題過程中,若能應(yīng)用或構(gòu)造應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往能使問題得到順利解決.我們把應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解導(dǎo)數(shù)綜合問題的方法權(quán)且稱之為“切線法”,下面舉例說明“切線法”在幾個方面的應(yīng)用.

一、平移化切

例1已知直線y=t與函數(shù)f(x)=2x+1和g(x)=2lnx+x的圖象交于點A和B，則|AB|的最小值為______.

解函數(shù)g(x)的定義域為(0,+∞).

平移直線y=2x+1與g(x)=2lnx+x的圖象相切于點B，此時|AB|最小.

評注本題先將直線進行平移與函數(shù)g(x)的圖象相切，確定此時|AB|取最小值，

評注本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，確定兩個函數(shù)g(x)和h(x)的凸凹性，由兩個函數(shù)的圖象在點P(x0,y0)處有公切線時得到a=e,然后當a>e時，由h(x)的圖象在公切線附近向上伸展，從而根據(jù)兩函數(shù)的凸凹確定出函數(shù)f(x)必有兩個零點.本題利用兩函數(shù)圖象的公切求解，頗為精彩.

三、利用圖象與切線的位置關(guān)系

例3已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax(a∈R),且y=f(x)的圖象在點(e,f(e))處的切線與直線x+4y+3=0垂直.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解(1)題設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)=1+lnx+a.由條件可得1+ln e+a=4,解得a=2.

所以f(x)=xlnx+2x,得f′(x)=lnx+3.

(2)由(1)知a=2.

令φ(x)=xlnx+x,y=k(x-2),故問題等價于當x>2時，直線y=k(x-2)在φ(x)=xlnx+x圖象的下方，求整數(shù)k的最大值.

先求過點(2，0)的函數(shù)φ(x)=xlnx+x圖象的切線斜率k的取值范圍.

由φ(x)=xlnx+x,得φ′(x)=lnx+2.設(shè)切點為(x0,y0)(x0>2),則有

消去y0,可得x0-4-2lnx0=0.

下面求x0的取值范圍.

因為k∈Z,所以當x>2時，直線y=k(x-2)在函數(shù)φ(x)=xlnx+x圖象的下方時，整數(shù)k的最大值為4.

評注本題第(2)問將問題等價轉(zhuǎn)化為當x>2時，直線y=k(x-2)在函數(shù)φ(x)=xlnx+x圖象的下方，然后求出過點(2，0)的函數(shù)φ(x)=xlnx+x圖象的切線斜率k的范圍，進而求得整數(shù)k的最大值.

四、利用切線放縮

例4(2021年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

解(1)f(x)的定義域為(0，+∞).

又f′(x)=1-lnx-1=-lnx,當x∈(0,1)時，f′(x)>0;當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)單調(diào)增， 在(1,+∞)單調(diào)減.

不妨設(shè)0

先證x1+x2>2.

再證x1+x2

由f(x)的圖象在點(e,0)處的切線方程為y=-x+e,易知有f(x)≤-x+e,x∈(0,+∞).