趙 霞，梁 鈺，孫名軼，毛 楊

（輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（重慶大學(xué)）,重慶市 400044）

0 引言

自動(dòng)發(fā)電控制（automatic generation control,AGC）是維持電力系統(tǒng)頻率和聯(lián)絡(luò)線功率的主要手段［1］。常規(guī)AGC 根據(jù)當(dāng)前頻率和聯(lián)絡(luò)線功率偏差調(diào)節(jié)AGC 機(jī)組出力［2］,難以適應(yīng)高比例可再生能源接入的情況［3］。隨著“碳達(dá)峰·碳中和”目標(biāo)的提出,可再生能源迎來新一輪發(fā)展高潮,AGC 也將面臨更大挑戰(zhàn)［4］。

為克服常規(guī)AGC 控制滯后的問題,文獻(xiàn)［5］提出AGC 動(dòng)態(tài)優(yōu)化控制,將AGC 控制問題建模為以AGC 調(diào)節(jié)成本最小為目標(biāo)、AGC 性能指標(biāo)為約束的AGC 機(jī)組功率優(yōu)化決策問題。文獻(xiàn)［6］進(jìn)一步根據(jù)文獻(xiàn)［5］的優(yōu)化結(jié)果整定AGC 比例-積分控制器的參數(shù)。文獻(xiàn)［7］改進(jìn)了文獻(xiàn)［5］優(yōu)化模型中的頻率預(yù)測方法。文獻(xiàn)［8］將機(jī)組一次調(diào)頻功率限額及調(diào)頻死區(qū)納入AGC 動(dòng)態(tài)優(yōu)化控制模型。

基于AGC 動(dòng)態(tài)優(yōu)化控制,文獻(xiàn)［3］提出了AGC動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度的思路:以日前計(jì)劃為基礎(chǔ),基于未來10 min 或15 min 的負(fù)荷預(yù)測結(jié)果,考慮頻率和聯(lián)絡(luò)線控制偏差、機(jī)組調(diào)節(jié)特性等時(shí)段耦合約束,以AGC 調(diào)節(jié)成本最小或控制性能最優(yōu)為目標(biāo),在1 min 或更小時(shí)間尺度上決策未來各時(shí)段AGC 機(jī)組的調(diào)節(jié)功率。與文獻(xiàn)［5］相比,文獻(xiàn)［3］更關(guān)注所提調(diào)度模型與發(fā)電計(jì)劃的銜接。此后,文獻(xiàn)［9］將功率損耗和支路/斷面功率約束納入AGC 動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型。文獻(xiàn)［10］考慮網(wǎng)調(diào)/省調(diào)AGC 機(jī)組在調(diào)頻責(zé)任和特性上的差異,提出網(wǎng)省兩級AGC 機(jī)組的協(xié)調(diào)調(diào)度模型。文獻(xiàn)［11］則關(guān)注風(fēng)電功率隨機(jī)變化的影響,提出了AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度的機(jī)會(huì)約束模型。

從模型屬性上講,文獻(xiàn)［5-7］的AGC 動(dòng)態(tài)優(yōu)化控制模型是混合整數(shù)非線性規(guī)劃（mixed-integer nonlinear programming,MINLP）模型,上述文獻(xiàn)多應(yīng)用互補(bǔ)松弛技術(shù)將MINLP 模型轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃（nonlinear programming,NLP）模型,采用內(nèi)點(diǎn)法求解。文獻(xiàn)［8］通過線性化機(jī)組最小持續(xù)爬坡時(shí)間約束,將原模型轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃（mixedinteger linear programming,MILP）模型。與AGC動(dòng)態(tài)優(yōu)化控制類似,文獻(xiàn)［3,9-11］所研究的AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型也是MINLP 模型（文獻(xiàn)［9］進(jìn)一步引入非線性功率損耗約束）,模型求解難度大。因此,現(xiàn)有AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型均采用進(jìn)化規(guī)劃算法求解。該類算法屬于隨機(jī)優(yōu)化算法,可方便處理復(fù)雜約束,但計(jì)算量大［12］,難以滿足大規(guī)模系統(tǒng)AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度的要求。此外,隨機(jī)優(yōu)化算法解的穩(wěn)定性較差,相同計(jì)算環(huán)境下2 次運(yùn)行所得優(yōu)化結(jié)果可能不同,不利于AGC 機(jī)組的調(diào)度決策。針對以上問題,本文基于凸優(yōu)化理論提出了AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型的改進(jìn)算法。

1 AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型

1.1 決策變量與目標(biāo)函數(shù)

本文沿用AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度研究的時(shí)間尺度［9-11］,采用15 min 為調(diào)度周期。以互聯(lián)電網(wǎng)中某個(gè)區(qū)域電網(wǎng)為對象,通過優(yōu)化決策AGC 機(jī)組每1 min 的調(diào)節(jié)功率來最小化區(qū)域電網(wǎng)的AGC 調(diào)節(jié)成本。

決策變量為t時(shí)段第i臺(tái)AGC 機(jī)組的爬坡功率RG,i,t及增減功率指示變量ua,G,i,t、ud,G,i,t,i=1,2,…,NAGC,NAGC為AGC 機(jī)組總數(shù)；t=1,2,…,T,T為調(diào)度周期內(nèi)時(shí)段總數(shù)；ua,G,i,t和ud,G,i,t均為0-1 變量,分別用以刻畫t時(shí)段第i臺(tái)AGC 機(jī)組的出力相對前一時(shí)段出力的增減狀態(tài),ua,G,i,t和ud,G,i,t為1 分別表示機(jī)組較前一時(shí)段增加出力和減少出力的狀態(tài),否則為0,表示出力不變化。

優(yōu)化目標(biāo)為整個(gè)調(diào)度周期內(nèi)AGC 機(jī)組調(diào)節(jié)成本（CAGC）最低:

式中:ci為第i臺(tái)AGC 機(jī)組的調(diào)節(jié)成本系數(shù)；PG,i,t和PGs,i,t分別為t時(shí)段第i臺(tái)發(fā)電機(jī)組的實(shí)際出力和計(jì)劃出力（不包括非AGC 機(jī)組）。

1.2 約束條件

1.2.1 區(qū)域電網(wǎng)運(yùn)行約束

區(qū)域電網(wǎng)運(yùn)行約束包含功率平衡約束（式（2））、支路功率約束（式（3））及斷面功率約束（式（4））,如下所示:

對于功率平衡約束,需要說明以下幾點(diǎn):

1）機(jī)組實(shí)際出力PG,i,t與機(jī)組類型有關(guān)。對于AGC 機(jī)組:

3）本文基于功率損耗因子［15］及功率損耗迭代算法［16］計(jì)算Ploss,t（詳見下文2.2 節(jié)及3.2 節(jié)）。

需要特別指出,與常規(guī)調(diào)度問題不同,AGC 調(diào)度模型的功率平衡約束中僅PD,t為預(yù)測值,其余功率分量均與系統(tǒng)頻率偏差Δft相關(guān)。

1.2.2 機(jī)組調(diào)節(jié)特性約束

機(jī)組調(diào)節(jié)特性約束包含機(jī)組（含非AGC 機(jī)組）出力上限和下限約束（式（7））、AGC 機(jī)組爬坡功率上限和下限約束（式（8））,以及持續(xù)爬坡時(shí)間約束［8］（式（9））,即:

需要說明的是,式（9）為AGC 機(jī)組持續(xù)上爬坡（增加出力）時(shí)間約束,持續(xù)下爬坡（減少出力）時(shí)間約束類似。

此外,AGC 機(jī)組功率增減指示變量還需滿足以下約束,以確保增減出力狀態(tài)互斥:

1.2.3 AGC 機(jī)組控制性能約束

AGC 機(jī)組控制性能相關(guān)約束包括頻率偏差約束（式（11））、聯(lián)絡(luò)線功率偏差約束（式（12））、控制性 能 標(biāo) 準(zhǔn)1（control performance standard 1,CPS1）指標(biāo)約束［9,17］（式（13）至式（15））,以及CPS2 指標(biāo)約束（式（16））。

2 AGC 動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型的轉(zhuǎn)化與處理

前述AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型（記為M0）是MINLP 模型,其非線性源自目標(biāo)函數(shù)（式（1））的絕對值項(xiàng)、描述AGC 機(jī)組出力（式（5））和CPS1 指標(biāo)（式（14））的2 個(gè)等式約束以及式（2）中的功率損耗Ploss,t。

對于目標(biāo)函數(shù),引入輔助變量ZG,i,t［18］:

由于AGC 調(diào)度模型為最小化優(yōu)化模型,且ci>0,易知式（17）和式（18）與式（1）等價(jià)。

2.1 雙線性項(xiàng)的處理

式（5）和式（14）的非線性項(xiàng)均為2 個(gè)變量乘積形式,即“雙線性項(xiàng)”。其中,式（5）的雙線性項(xiàng)(ua,G,i,t-ud,G,i,t)RG,i,t為0-1 變量與連續(xù)變量的乘積,而式（14）中EACE,tΔFt為2 個(gè)連續(xù)變量的乘積。本文根據(jù)兩雙線性項(xiàng)的不同特點(diǎn),分別采用變量替換及分段McCormick 包絡(luò)技術(shù)進(jìn)行處理。

變量替換是化簡和轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型的常用手段,在配電網(wǎng)DistFlow 模型［19-20］及天然氣系統(tǒng)管道流量方程的處理中均有應(yīng)用［21］,本文結(jié)合式（5）中0-1 變量的物理意義,通過變量替換處理式中的雙線性項(xiàng)。

McCormick 包絡(luò)是優(yōu)化問題中處理雙線性項(xiàng)的一種常用方法,其基本思想是用一組線性約束松弛原雙線性項(xiàng)的可行域［22］,分為單變量分段［23-24］和雙變量分段McCormick 包絡(luò)［25-26］等。目前,在電力系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度問題中已有應(yīng)用［27］。本文采用雙變量分段McCormick 包絡(luò)處理式（14）中的雙線性項(xiàng)EACE,tΔFt。

2.1.1 AGC 機(jī)組出力約束的處理

2.1.2 CPS1 指標(biāo)約束的凸松弛

對于CPS1 指標(biāo)（式（14））的雙線性項(xiàng),本文采用分段McCormick 包絡(luò)技術(shù)［26］進(jìn)行凸松弛處理。

首先,引入輔助變量ωCPS1,t替換EACE,tΔFt:

2.2 功率損耗的處理

本文基于功率損耗因子［15］對式（2）中的功率損耗Ploss,t進(jìn)行處理。假設(shè)區(qū)域電網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)電壓標(biāo)幺值為1.0,則功率損耗可由下式近似:

式中:Ploss,0,t為t時(shí)段與泰勒展開點(diǎn)功率損耗值相關(guān)的常數(shù)；Pt為t時(shí)段節(jié)點(diǎn)注入功率列向量；Lt為t時(shí)段功率損耗因子行向量；Pm,0,t和Pb,0,t分別為t時(shí)段對應(yīng)泰勒展開點(diǎn)的支路m傳輸功率和節(jié)點(diǎn)b注入功率；lb,t為時(shí)段t節(jié)點(diǎn)b的功率損耗因子,是Lt的元素。

式（27）是式（26）的線性近似,其近似精度與泰勒展開點(diǎn)的選取有關(guān)。為減小近似誤差,本文根據(jù)AGC 調(diào)度結(jié)果不斷更新泰勒展開點(diǎn),從而實(shí)現(xiàn)Ploss,0,t和Lt的 迭 代 修 正。

3 AGC 動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型的雙層迭代算法

3.1 雙層迭代算法的基本流程

通過上述處理,AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度的原模型（M0）可轉(zhuǎn)化為以下MILP 模型:目標(biāo)函數(shù)為式（17）；約束條件由式（2）至式（4）、式（6）至式（13）、式（15）、式（16）、式（18）、式（20）、式（21）、式（23）至式（25）及式（27）組成。

將原模型轉(zhuǎn)化為MILP 模型能夠提高模型的求解效率,但雙線性項(xiàng)的凸松弛和功率損耗的線性近似均會(huì)引入計(jì)算誤差。本文進(jìn)一步提出一種雙層迭代算法以提高模型求解精度。

關(guān)于雙線性項(xiàng)的凸松弛,假設(shè)對原模型M0 目標(biāo)函數(shù)絕對值項(xiàng)和AGC 機(jī)組出力進(jìn)行等效變換（參見式（17）至式（21））及功率損耗線性化（式（27））處理后所得模型為M1,則M1 仍為MINLP 模型,但其非線性僅源自雙線性項(xiàng)EACE,tΔFt。進(jìn)一步應(yīng)用分段McCormick 包絡(luò)技術(shù)處理該雙線性項(xiàng),則M1 松弛為MILP 模型（記為M2）。另一方面,若將M1 的整數(shù)變量固定為對應(yīng)取值范圍內(nèi)的某個(gè)值,則M1轉(zhuǎn)化為不含整數(shù)變量的NLP 模型（記為M3）。M1至M3 可行域的示意圖見圖1。

圖1 可行域韋恩圖Fig.1 Venn diagram of feasible region

記M1 至M3 最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值分別為CAGC,M1、CAGC,M2、CAGC,M3, 則CAGC,M2≤CAGC,M1≤CAGC,M3。因此,若能使M2 和M3 優(yōu)化解足夠接近,則可以認(rèn)為M2 或M3 的解可以較為精確地近似M1［24］。由 于M2、M3 分 別 為MILP 模 型 和NLP 模型,兩者的求解難度較M1 大大降低；此外,M2 的解可以為M3 提供一個(gè)較好的初值,而M3 的解又可以作為參考值來幫助M2 縮小雙線性變量取值范圍以減小松弛間隙,因此,通過反復(fù)求解M2 和M3,可以提升M1 的求解精度。

關(guān)于功率損耗,由式（27）和式（28）可見,其計(jì)算精度與泰勒展開點(diǎn)的選取有關(guān)。為此,本文根據(jù)優(yōu)化結(jié)果不斷修正展開點(diǎn),以提高功率損耗的計(jì)算精度。

綜上,本文提出一種雙層迭代算法,內(nèi)層循環(huán)實(shí)現(xiàn)M2 和M3 的迭代求解、外層循環(huán)實(shí)現(xiàn)功率損耗計(jì)算參數(shù)的迭代更新,基本流程如圖2 所示。

圖2 所提算法流程Fig.2 Flow chart of proposed algorithm

3.2 CPS1 指標(biāo)的迭代計(jì)算（內(nèi)層循環(huán)）

圖3 雙線性項(xiàng)迭代示意圖Fig.3 Schematic diagram for iteration of bilinear term

更新EACE,t和ΔFt的取值范圍后,再于第p+1次迭代時(shí),根據(jù)式（24）和式（25）對雙線性項(xiàng)進(jìn)行分段McCormick 包絡(luò)處理（分段數(shù)不變）?？梢?在內(nèi)層循環(huán)迭代過程中,通過M2 和M3 的反復(fù)求解,EACE,t和ΔFt的范圍不斷縮小,M2 的松弛間隙及M2與M3 目標(biāo)函數(shù)值差距（CAGC,M3-CAGC,M2）也將隨之減小。

按式（30）計(jì)算優(yōu)化間隙G,當(dāng)G小于收斂精度e1時(shí),停止內(nèi)層迭代。

由式（29）可見,內(nèi)層迭代過程中EACE,t和ΔFt的范圍不斷縮小,迭代次數(shù)足夠多即可保證收斂；為避免迭代次數(shù)過多而影響AGC 調(diào)度模型的求解效率,同時(shí)設(shè)置最大迭代次數(shù)。由于內(nèi)層循環(huán)退出時(shí)M2仍然有一定的松弛間隙,本文取M3 的解作為內(nèi)層循環(huán)的最終優(yōu)化解,并以此更新功率損耗的計(jì)算參數(shù)。

需要指出,雖然式（29）能夠有效縮小M2 與M3目標(biāo)函數(shù)值的差異,但難以保證更新后的區(qū)域一定涵蓋M1 的最優(yōu)解。即便如此,由于本文采用精度較高的分段McCormick 包絡(luò),依然能夠保證內(nèi)層迭代最優(yōu)解的精度。

3.3 功率損耗的迭代計(jì)算（外層循環(huán)）

外層循環(huán)利用前一次優(yōu)化結(jié)果更新功率損耗計(jì)算 參 數(shù)［16］,對 第g次 迭 代,按 式（31）更 新Ploss,0,t及l(fā)b,t:

關(guān)于功率損耗計(jì)算,作以下說明:

1）外層循環(huán)的實(shí)質(zhì)是利用前一次迭代的優(yōu)化結(jié)果修正功率損耗泰勒展開點(diǎn)以減少線性化誤差,基本思想為優(yōu)化理論中的序貫線性規(guī)劃算法［28］。

2）為了考慮網(wǎng)絡(luò)功率損耗對支路功率的影響,需將功率損耗作為等效負(fù)荷記入節(jié)點(diǎn)注入功率。以外層循環(huán)第g次迭代為例,節(jié)點(diǎn)b注入功率［29］為:

外層循環(huán)以相鄰2 次外層迭代所得M3 目標(biāo)函數(shù)（即CAGC,M3）的相對偏差小于給定精度e2為終止條件。本文同樣設(shè)置外層循環(huán)最大迭代次數(shù)以保證調(diào)度模型的求解效率。若外層循環(huán)超過最大迭代次數(shù),則以前一次外層迭代過程中內(nèi)層迭代終止時(shí)M3 的解作為最終優(yōu)化結(jié)果。為改善外層循環(huán)的收斂性,可以在式（31）的基礎(chǔ)上,同時(shí)利用前2 次迭代結(jié)果更新泰勒展開點(diǎn)（詳見附錄C）。

4 算例分析

采用IEEE 14 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE 57 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例驗(yàn)證本文方法。兩個(gè)算例的優(yōu)化模型規(guī)模見附錄D 表D1、詳細(xì)數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)［31］。本文基于MATLAB分別調(diào)用Gurobi 及Ipopt 求解器求解所提算法中的MILP 模型（M2）和NLP 模型（M3）；運(yùn)行環(huán)境為Intel Core i7-10750H 2.6 GHz CPU、16 GB 內(nèi)存筆記本電腦。

4.1 不同求解方法對比

為驗(yàn)證所提算法的有效性,基于IEEE 14 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng),對比以下3 種求解方法:

方法1:調(diào)用MINLP 求解器SCIP 直接求解原模型M0。其中,功率損耗等式約束采用式（26）所示的非線性方程。

方法2:基于文獻(xiàn)［3,9-11］的進(jìn)化規(guī)劃算法直接求解原模型M0,功率損耗計(jì)算同方法1。

方法3（本文方法）:基于本文所提算法求解模型M0（EACE,t和ΔFt的分段數(shù)均設(shè)置為15）。

算例系統(tǒng)的凈負(fù)荷（實(shí)際負(fù)荷功率扣除風(fēng)電功率）曲線如圖4 所示。

圖4 凈負(fù)荷曲線Fig.4 Curve of net load

應(yīng)用3 種方法對AGC 機(jī)組進(jìn)行調(diào)度,優(yōu)化結(jié)果如表1 所示。表中,“成本相對偏差”以方法1 的AGC 調(diào)節(jié)成本為參考,為正表示所得調(diào)節(jié)成本大于方法1；方法2 的調(diào)節(jié)成本和計(jì)算時(shí)間為120 次優(yōu)化計(jì)算的最小成本及平均用時(shí)。

表1 3 種方法的優(yōu)化結(jié)果及計(jì)算時(shí)間Table 1 Optimization results and computation time of three methods

由表1 可見,本文方法與參考方法（方法1）相比的相對偏差僅為0.01%,計(jì)算精度顯著高于方法2（成本相對偏差約13%）；此外,本文方法用時(shí)最短,與方法1 相比減少約30%,與方法2 相比,減少約50%。以上結(jié)果表明,與文獻(xiàn)［3,9-11］的進(jìn)化規(guī)劃方法比較,本文方法具有明顯的精度和速度優(yōu)勢。

本文方法的迭代過程如圖5 所示,圖中同時(shí)給出SCIP 求解原模型M0 所得調(diào)節(jié)成本和功率損耗。由圖5 可見,外層循環(huán)迭代4 次、每次外層迭代含3 次內(nèi)層迭代。在迭代過程中,M2 的調(diào)節(jié)成本始終低于M3,與前述理論分析一致；對于每次外層迭代的第1 次內(nèi)層迭代,M2 和M3 調(diào)節(jié)成本均比較接近,而隨著內(nèi)層迭代次數(shù)增加,兩者的差距明顯減小。除第1 次外層迭代基于功率損耗初始值（常數(shù)）求解M2 和M3 導(dǎo)致兩者調(diào)節(jié)成本與M0 偏差較大之外,其后各次外層迭代的第1 次內(nèi)層迭代,M2 和M3 的調(diào)節(jié)成本都比較接近M0,表明僅1 次內(nèi)層迭代就能在一定程度上保證M2 和M3 的求解精度；此后,隨著內(nèi)層迭代次數(shù)的增加,M2 和M3 的調(diào)節(jié)成本都趨近于M0,表明內(nèi)層迭代提升了M2 和M3 的求解精度。

此外,由圖5（a）可見,隨著外層迭代次數(shù)的增加,M3 與M0 調(diào)節(jié)成本的偏差進(jìn)一步縮小。由圖5（b）可見,第1 次外層迭代功率損耗約34.5 MW,與M0 功率損耗的偏差約為5%,表明初始展開點(diǎn)具有較高精度；第2 次外層迭代結(jié)束時(shí),線性化功率損耗的精度明顯改善（與M0 的偏差僅為0.2%）；此后,隨著外層迭代次數(shù)的增加,線性化損耗進(jìn)一步趨近M0,表明外層迭代能夠有效減少功率損耗的線性化誤差。

圖5 所提方法的迭代過程Fig.5 Iterative process of proposed method

綜合圖5（a）及圖5（b）可見,內(nèi)層迭代能夠有效降低M2 和M3 的差距,外層迭代能夠有效減少功率損耗的線性化誤差,兩者共同保證了AGC 調(diào)度模型的求解精度。

4.2 對不同負(fù)荷工況的適應(yīng)性

為驗(yàn)證本文方法對不同負(fù)荷工況的適應(yīng)性,以圖4 凈負(fù)荷曲線為基礎(chǔ),設(shè)置如表2 所示的6 種凈負(fù)荷變動(dòng)場景（各場景的凈負(fù)荷曲線詳見附錄D圖D1）。

表2 6 種負(fù)荷變動(dòng)場景Table 2 Six scenarios of load variations

應(yīng)用方法1 和本文方法分別對6 種場景下的AGC 機(jī)組優(yōu)化調(diào)度模型進(jìn)行求解（EACE,t和ΔFt的分段數(shù)均設(shè)置為15）,各場景的優(yōu)化結(jié)果及計(jì)算時(shí)間如表3 所示。其中,“成本相對偏差”以方法1 的調(diào)節(jié)成本為參考；“最大功率損耗偏差”為式（27）所得功率損耗相對于式（26）的偏差（取各時(shí)段相對偏差的最大值）,可評估功率損耗線性近似的精度。

表3 6 種場景的優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of six scenarios

由表3 可見,由于場景1 至場景4 的負(fù)荷按基礎(chǔ)負(fù)荷水平成比例變化,因此,隨負(fù)荷水平增加,凈負(fù)荷波動(dòng)幅度隨之增加,導(dǎo)致AGC 調(diào)節(jié)成本相應(yīng)增加。場景5 模擬負(fù)荷下降場景,其負(fù)荷波動(dòng)情況與場景3 一致（見附錄D 圖D1）,AGC 調(diào)節(jié)成本也與之相當(dāng)。場景6 通過不同程度降低場景3 中各時(shí)段的負(fù)荷變化幅度來模擬負(fù)荷緩變場景,負(fù)荷波動(dòng)幅度小于場景3 和4 而大于場景1 和2,其AGC 調(diào)節(jié)成本也介于兩者之間。在各種場景下,最大成本相對偏差小于0.03%,而最大功率損耗偏差小于0.004%,表明本文方法在各種負(fù)荷波動(dòng)場景下均能保證很高的計(jì)算精度；在計(jì)算時(shí)間方面,各場景平均用時(shí)約20 s,最長用時(shí)不到30 s,能夠滿足AGC 優(yōu)化調(diào)度要求。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法對持續(xù)負(fù)荷變化的適應(yīng)性,基于美國賓夕法尼亞-新澤西-馬里蘭（PJM）超短期負(fù)荷預(yù)測數(shù)據(jù)［32］構(gòu)造日凈負(fù)荷曲線（見附錄D圖D2）,以96 點(diǎn)日前計(jì)劃（間隔15 min）為基礎(chǔ),對算例系統(tǒng)的AGC 機(jī)組進(jìn)行優(yōu)化調(diào)度。結(jié)果顯示,對于全天96 個(gè)時(shí)段AGC 調(diào)度模型而言,外（內(nèi)）層循環(huán)迭代次數(shù)均為3（2）；全天AGC 機(jī)組調(diào)節(jié)成本的最大偏差小于0.03%、最大功率損耗偏差約0.01%；平均用時(shí)低于20 s、最長耗時(shí)約25 s（見附錄D 表D2）。

以上結(jié)果表明,本文方法對不同負(fù)荷工況具有良好的適應(yīng)性。

4.3 雙線性項(xiàng)McCormick 包絡(luò)分段數(shù)的影響

以IEEE 57 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為算例［31］進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法對更大規(guī)模算例的適應(yīng)性,并討論McCormick包絡(luò)分段數(shù)對本文方法性能的影響。

基于方法1 求解IEEE 57 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例,AGC機(jī)組的調(diào)節(jié)成本為6 774.21 元,計(jì)算用時(shí)259.75 s。本文方法在不同分段數(shù)設(shè)置方案下的優(yōu)化結(jié)果如表4 所示（EACE,t和ΔFt的分段數(shù)設(shè)置相同）?？梢?各種分段數(shù)下,本文方法的調(diào)節(jié)成本與方法1 基本一致,而平均用時(shí)僅為方法1 的10%。與IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例（平均用時(shí)約20 s）比較,本算例的計(jì)算時(shí)間有一定增加,但幅度不大,表明本文方法對于較大規(guī)模算例仍具有良好的計(jì)算精度和速度。

表4 不同雙線性變量分段數(shù)設(shè)置下的計(jì)算結(jié)果Table 4 Calculation results with different segment number settings of bilinear terms

進(jìn)一步分析分段數(shù)對內(nèi)、外層循環(huán)的影響可見:一方面,隨分段數(shù)增加,內(nèi)層平均迭代次數(shù)減少,但平均用時(shí)增加,這是因?yàn)榉侄螖?shù)增加使得相同迭代次數(shù)下McCormick 包絡(luò)的松弛間隙以及M2 與M3之間的優(yōu)化間隙相應(yīng)減少,內(nèi)層循環(huán)迭代次數(shù)隨之減少；另一方面,分段數(shù)增加導(dǎo)致McCormick 包絡(luò)的整數(shù)變量及約束條件增多,M2 的計(jì)算規(guī)模增加,內(nèi)層循環(huán)求解M2 的時(shí)間相應(yīng)增加。外層迭代更新功率損耗計(jì)算參數(shù),受分段數(shù)影響小。此外,由于外層迭代的終止判據(jù)為相鄰2 次迭代的目標(biāo)函數(shù)相對偏差足夠?。▍⒁?.3 節(jié)）,分段數(shù)設(shè)置對AGC 機(jī)組最終調(diào)度結(jié)果的影響較小,但會(huì)影響內(nèi)層循環(huán)的迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間,從而影響整個(gè)優(yōu)化計(jì)算的時(shí)間。

需要特別指出,本文算法所處理的雙線性項(xiàng)（EACE,tΔFt）數(shù)量僅與調(diào)度時(shí)段有關(guān),而與系統(tǒng)規(guī)模無關(guān)。因此,對于不同規(guī)模的系統(tǒng),同樣的分段數(shù)會(huì)引入相同數(shù)量的整數(shù)變量,盡管分段數(shù)增加會(huì)在一定程度上增加M2 的整數(shù)變量,但整數(shù)變量的數(shù)目并不會(huì)隨系統(tǒng)規(guī)模增大而增加。這一特點(diǎn)也表明本文算法對大規(guī)模系統(tǒng)具有良好的適應(yīng)性。

5 結(jié)語

本文基于雙線性項(xiàng)的分段McCormick 包絡(luò)和功率損耗的線性化,將AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度的原模型轉(zhuǎn)化為可高效求解的MILP 模型,并進(jìn)一步提出內(nèi)層循環(huán)收緊雙線性項(xiàng)松弛間隙、外層循環(huán)減小功率損耗線性化誤差的雙層迭代算法。得到以下結(jié)論:

1）與現(xiàn)有AGC 機(jī)組動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型廣泛采用的進(jìn)化規(guī)劃算法比較,本文方法在計(jì)算精度及速度方面具有明顯優(yōu)勢。

2）對不同負(fù)荷變動(dòng)場景,本文方法均能高效求解AGC 機(jī)組調(diào)度模型,對工況變化適應(yīng)良好。

3）McCormick 包絡(luò)分段數(shù)對AGC 機(jī)組最終的調(diào)度決策影響較小,表明本文方法對分段數(shù)的適應(yīng)性較強(qiáng)；但不同分段數(shù)會(huì)在一定程度上影響本文方法的計(jì)算時(shí)間。

后續(xù)將改進(jìn)分段McCormick 包絡(luò)的變量更新策略,并進(jìn)一步研究AGC 機(jī)組隨機(jī)調(diào)度模型的高效求解方法。

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