夏國鋒， 向鳳紅， 楊立煒

(昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，昆明 650000)

0 引言

板球系統(tǒng)是一個(gè)具有非線性、強(qiáng)耦合、參數(shù)不確定性和未知干涉的二維控制對(duì)象[1]，幾乎包含了復(fù)雜系統(tǒng)的所有特征,是控制理論研究的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái),優(yōu)化其控制算法可有效提高軌跡跟蹤的控制精度。經(jīng)典的板球控制算法都是基于PID進(jìn)行研究和改進(jìn)的，針對(duì)PID控制器參數(shù)的整定問題，常用的算法有臨界比例度法、模糊整定法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID等。

為解決常規(guī)PID參數(shù)整定的不足之處，相關(guān)學(xué)者做了以下改進(jìn)：文獻(xiàn)[2]提出了模糊PID控制器，雖然板球的動(dòng)靜性能有所改善，但響應(yīng)速度慢和超調(diào)較大；文獻(xiàn)[3]提出Backstepping方法和H∞控制理論控制板球，跟蹤誤差較大；文獻(xiàn)[4]為解決RBF-PID算法響應(yīng)速度慢而引入加速率，但是系統(tǒng)跟蹤精度較差；文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)嵌入式自適應(yīng)PID系統(tǒng)，雖然能夠自整定參數(shù)，但是小球在平板邊緣處滑出平板；文獻(xiàn)[6]為解決非線性系統(tǒng)不確定性和復(fù)雜性，將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(WNN)辨識(shí)與PID控制器相結(jié)合，獲得了很好的辨識(shí)性能；文獻(xiàn)[7]為了抑制次同步共振(SSR)，利用WNN自整定PID，獲得了很好的魯棒性；文獻(xiàn)[8]針對(duì)電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性和不確定性，提出WNN控制器，獲得了良好的頻率響應(yīng)和跟蹤精度。

以上常規(guī)PID改進(jìn)策略存在控制響應(yīng)慢、穩(wěn)定性差和魯棒性差的問題，本文結(jié)合小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂快、穩(wěn)定性和魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)，首次提出了一種基于板球系統(tǒng)的WNN辨識(shí)和WNN-PID控制相結(jié)合的策略，該策略結(jié)合小波理論和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，基于動(dòng)量梯度和AdaDec動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)速率，更新權(quán)值參數(shù)尋最優(yōu)的PID參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了PID參數(shù)的自整定。

1 板球系統(tǒng)建模

由于板球系統(tǒng)存在復(fù)雜非線性[1]，為此，假設(shè)具有以下約束條件：1) 不考慮所有摩擦力的影響；2) 球與板之間沒有滑動(dòng)和跳動(dòng)(任何時(shí)刻小球r=ωR，r為小球速度，ω為球板角速度，R為球板中心到小球的距離(即小球半徑)，滿足系統(tǒng)可積條件)； 3) 任何情況下球與板都接觸；4) 球繞Z軸及其平行軸的旋轉(zhuǎn)忽略不計(jì)； 5) 平板質(zhì)量分布均勻?qū)ΨQ，板在X和Y方向關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱，兩個(gè)軸機(jī)械條件相同。

板球系統(tǒng)二維結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 板球系統(tǒng)二維結(jié)構(gòu)Fig.1 Two-dimensional structure of ball and plate system

板球系統(tǒng)基于能量的拉格朗日方程[9]推導(dǎo)，即

(1)

式中：T是拉格朗日參數(shù);q=(qX,qY,qθ,qβ)T，代表4個(gè)自由度方向的坐標(biāo);V為勢(shì)能;L為耗散函數(shù);u(t)為作用于系統(tǒng)的外力向量。根據(jù)歐拉—拉格朗日方程，可分別推導(dǎo)出X和Y方向、θ和β方向的平衡方程為

(2)

從式(2)可以求得板球的狀態(tài)方程為

(3)

(4)

一般情況下，小球運(yùn)動(dòng)速度很低，θ，β很小[1,10-11]，不超過6°[2,12]可做近似處理，sinθ≈θ，sinβ≈β[13],將系統(tǒng)分解成X方向和Y方向2個(gè)解耦后的子系統(tǒng),其模型可分別表示為

(5)

由Ib=0.4mR2，整理可得

(6)

經(jīng)分析，通過拉格朗日方程建立了由兩部分組成的板球系統(tǒng)模型，可得X方向和Y方向的獨(dú)立系統(tǒng)。

2 WNN-PID控制器的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)的WNN-PID控制器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。其中，rin表示輸入，yout表示輸出。

圖2 WNN控制方案的總體控制框圖Fig.2 Overall control block diagram of WNN control scheme

其中被控對(duì)象由PID直接對(duì)其控制，控制器的3個(gè)參數(shù)Kp,Ki,Kd由WNN整定，WNN辨識(shí)器對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)，調(diào)整WNN的參數(shù)。

2.1 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

本文所設(shè)計(jì)的WNN-PID控制器采用3層結(jié)構(gòu)，各層節(jié)點(diǎn)數(shù)為3-5-3，結(jié)構(gòu)如圖3所示，其中，m為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)，p為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)，n為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)。

圖3 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of wavelet neural network

隱含層的輸入為

(7)

隱含層輸出為

(8)

選擇小波基函數(shù)為

h(x)=cos(1.75x)e-x2/2

(9)

輸出層激勵(lì)函數(shù)

(10)

輸出層輸入算式為

(11)

則可得網(wǎng)絡(luò)的輸出為

(12)

式中：K=[KpKiKd]T；xi=[rin(k)yout(k)e(k)]T；yn(k)=rin(k)，為小球目標(biāo)位置；y(k)=yout(k),為小球位置；e(k)為誤差；φl j為輸出層的第l個(gè)神經(jīng)元與隱含層第j個(gè)神經(jīng)元的連接權(quán)值；ωi j為隱含層的第j個(gè)神經(jīng)元與輸入層第i個(gè)神經(jīng)元的連接權(quán)值；θj為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元的閾值；βl為輸出層第l個(gè)神經(jīng)元的閾值。

為了推導(dǎo)WNN的權(quán)值更新規(guī)律，利用核最小均方(Kernel Least Mean Square,KLMS)算法定義WNN的誤差函數(shù)指標(biāo)E(k)[14]為

E(k)=0.5(yn(k)-y(k))2。

(13)

應(yīng)用動(dòng)量梯度下降法，得到權(quán)值的更新規(guī)律為

(14)

式中：η為學(xué)習(xí)速率，0<η<1；α為動(dòng)量，0<α<1；

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

通過WNN與PID控制器相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的跟蹤控制。增量式PID控制規(guī)律為

Δu(k)=(Kp+Ki+Kd)e(k)-(Kp+2Kd)e(k-1)+Kde(k-2)。

(20)

2.2 WNN辨識(shí)學(xué)習(xí)算法

WNN辨識(shí)部分采用2-5-1結(jié)構(gòu)，如圖4所示。

圖4 三層WNN辨識(shí)結(jié)構(gòu)Fig.4 Three-layer WNN identification structure

辨識(shí)部分的小波函數(shù)和WNN-PID所用一樣，其正向傳播算法如下所述。

隱含層輸入輸出

(21)

(22)

輸出層輸出

(23)

其中,xi=[u(k)y(k)]T。

定義誤差指標(biāo)函數(shù)為

(24)

其反向傳播權(quán)值調(diào)整算法為

(25)

式中:0<ηI<1，0<αI<1;

(26)

(27)

算法穩(wěn)定性分析如下。

取Lyapunov函數(shù)為

(28)

則

(29)

另外，令P=[wi jwjσjdj]，則

(30)

所以

(31)

2.3 AdaDec動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)速率

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速率要求，剛開始初始學(xué)習(xí)速率η(0)較大；隨著學(xué)習(xí)次數(shù)的增加，η(k)逐漸減小直到網(wǎng)絡(luò)更新到最優(yōu)解。指數(shù)衰減學(xué)習(xí)公式為

η(k)=η(0)(10)-k/r0。

(32)

AdaDec[15]是基于AdaGrad的改進(jìn)形式，原理如下

p(k)=η(0)(1+k/r0)-s

(33)

G(k)=γf2(k-1)+f2(k)

(34)

(35)

其中：r0為常數(shù)；p(k)為初始學(xué)習(xí)速率；G(k)為中間變量；s為無關(guān)常數(shù)，通常取1或0.75；c=1，以確保學(xué)習(xí)速率有界；f(k)=?E(k)/?w(k)，代表誤差函數(shù)對(duì)權(quán)值的導(dǎo)數(shù)；γ為調(diào)整量。

3 系統(tǒng)收斂性分析

根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)E(k)，在反向傳播方向上調(diào)整隱含層和輸出層的權(quán)重系數(shù)。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V(k)=0.5(yn(k)-y(k))2=0.5e2(k)

(36)

通過梯度下降法進(jìn)而可得

(37)

(38)

假設(shè)式(38)滿足以下條件：1) 0<η(k)<2；2)V(k)趨于V*；(3)g(0)=0。那么

(39)

如果z(k)是有界的，那么

(40)

定義V*=[v1v2v3]T=[KpKiKd]T,結(jié)合式(22)有

(41)

(42)

(43)

因此，可得

(44)

結(jié)合條件1)、式(39)和式(40)可知，ΔV(k)≤0，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證WNN-PID控制方案的可行性和有效性，本文引用文獻(xiàn)[16]中采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定PID參數(shù)相結(jié)合(BP-PID)策略作為對(duì)比，分別對(duì)常規(guī)PID，BP-PID和所提策略進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。

選取c=1,η(0)=0.2,s=1,γ=0.9,r0=6.6×108，α=0.01;ωi j,φl j,wj,wi j在[-1，1]隨機(jī)初始化,aj，bj,σj,dj在[0，1]隨機(jī)初始化。對(duì)單位階躍、正弦信號(hào)和圓形軌跡分別進(jìn)行跟蹤仿真。

圖5所示為單位階躍響應(yīng)曲線。

圖5 單位階躍響應(yīng)曲線Fig.5 Unit step response curve

由圖5 (a)可以看出，常規(guī)PID算法存在超調(diào)大、調(diào)節(jié)難、響應(yīng)慢的問題，相比于此，在超調(diào)和響應(yīng)速度指標(biāo)上，BP-PID策略更優(yōu)；相比于BP-PID算法，本文所提策略幾乎沒有超調(diào)，且穩(wěn)定性好，能快速跟蹤給定指令信號(hào)(Demand)。通過對(duì)比圖5(a)和圖5(b)，在響應(yīng)速度和穩(wěn)定性方面，以動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)速率訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法都優(yōu)于固定學(xué)習(xí)速率，進(jìn)一步可以看出所提策略具有更好的收斂性和魯棒性。

圖6所示為正弦跟蹤及誤差曲線。

圖6 正弦跟蹤曲線和誤差曲線Fig.6 Sinusoidal tracking curve and error curve

如圖6所示，在兩種PID控制器自整定的仿真結(jié)果中，輸出均能夠跟蹤輸入的變化。相較于此，常規(guī)PID和BP-PID在穩(wěn)定性和誤差上都不如WNN-PID控制策略。

圖7所示為WNN-PID正弦跟蹤誤差對(duì)比曲線。

圖7 WNN-PID正弦跟蹤誤差對(duì)比曲線Fig.7 Error comparison curve of WNN-PID sinusoidal tracking

由圖7可知，固定學(xué)習(xí)速率由于η固定，不能及時(shí)根據(jù)性能指標(biāo)函數(shù)調(diào)整大小，容易陷入局部最優(yōu)，所以在穩(wěn)定性上不如動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)速率。

圖8所示為WNN-PID圓形軌跡跟蹤。

圖8 WNN-PID圓形軌跡跟蹤Fig.8 WNN-PID circular trajectory tracking

由圖8的X和Y方向的圓形軌跡跟蹤可發(fā)現(xiàn)，動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)速率響應(yīng)和魯棒控制特性優(yōu)于固定學(xué)習(xí)速率。

5 結(jié)束語

本文針對(duì)板球系統(tǒng)非線性、PID控制效果差等問題，首次提出了WNN-PID控制策略應(yīng)用于板球系統(tǒng)。該策略利用WNN辨識(shí)板球系統(tǒng)模型，獲得Jacobian信息，然后利用辨識(shí)得到的?y(k)/?u(k)在線訓(xùn)練WNN辨識(shí)和WNN控制器的參數(shù)，WNN進(jìn)一步整定了PID參數(shù)。此外，為了加快網(wǎng)絡(luò)收斂速度，引入動(dòng)量梯度和AdaDec動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)速率更新WNN的參數(shù)。同時(shí)，結(jié)合Lyapunov驗(yàn)證了板球控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從而保證了誤差的收斂性。

經(jīng)拉格朗日建模仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文策略與傳統(tǒng)PID和BP-PID相比，具有較好穩(wěn)定性和魯棒性，并且?guī)缀鯖]有超調(diào)。在后續(xù)研究中，可結(jié)合模型參考以及結(jié)合模糊小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步研究板球系統(tǒng)的強(qiáng)耦合和未知干擾等特性。