李俊賢， 范軍芳

(北京信息科技大學(xué)高動(dòng)態(tài)導(dǎo)航技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100000)

0 引言

近年來的局部沖突、城市巷戰(zhàn)及2020年納卡沖突等實(shí)踐均表明，攻防各方的信息化與智能化水平顯著提升，攻擊彈藥、目標(biāo)以及目標(biāo)發(fā)射的防衛(wèi)彈藥在攻防對(duì)抗中符合智能體的內(nèi)涵。局部環(huán)境中導(dǎo)彈與目標(biāo)之間、防御彈和攻擊彈之間的博弈研究具有重要的理論與實(shí)際價(jià)值。

文獻(xiàn)[1]應(yīng)用強(qiáng)化學(xué)習(xí)的方法求解微分對(duì)策的問題；文獻(xiàn)[2]基于單神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的策略迭代算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)微小衛(wèi)星微分博弈均衡策略的逼近，但該算法計(jì)算復(fù)雜度高；文獻(xiàn)[3]針對(duì)目標(biāo)可以對(duì)攻擊彈進(jìn)行主動(dòng)防御的問題，設(shè)計(jì)了攻擊彈攔截主動(dòng)防御目標(biāo)的微分對(duì)策制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[4]針對(duì)飛行器逃避攔截器追蹤的問題，提出了基于最優(yōu)控制的目標(biāo)和防御彈協(xié)同躲避和追擊的策略，但是該制導(dǎo)律的實(shí)施需要已知來襲攻擊彈的制導(dǎo)律，不符合實(shí)際情況；文獻(xiàn)[5]針對(duì)攻防雙方分別設(shè)計(jì)了最優(yōu)規(guī)避策略和突防策略；文獻(xiàn)[6-7]考慮了交戰(zhàn)模型中的非線性情況，但是各方的控制方式較簡(jiǎn)單，未考慮到速度變化的情況；文獻(xiàn)[8]針對(duì)目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)，防御彈與目標(biāo)進(jìn)行非合作博弈，基于A-CLOS設(shè)計(jì)制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[9]針對(duì)無人機(jī)和無人車的追逃微分對(duì)策問題，考慮了對(duì)局中障礙物的影響，確定了其分界界柵。

文獻(xiàn)[10]針對(duì)控制能量作為制導(dǎo)性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)了飛機(jī)-導(dǎo)彈的雙方追逃模型，并采用梯度迭代法求解;文獻(xiàn)[11]針對(duì)視線傾角和視線偏角作為控制量，推導(dǎo)出了關(guān)于防御-攔截雙方的末制導(dǎo)律;文獻(xiàn)[12]針對(duì)三維空間三體追逃博弈問題，采用模糊評(píng)估的方法設(shè)計(jì)了目標(biāo)函數(shù)并推導(dǎo)出了相應(yīng)的控制策略;文獻(xiàn)[13-16]針對(duì)多彈協(xié)同攔截單一目標(biāo)進(jìn)行制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)，但是模型假設(shè)條件過于理想化，很難與實(shí)際情況相匹配;文獻(xiàn)[17]針對(duì)攔截彈、防衛(wèi)彈和攻擊彈的三體博弈問題，分析了攔截彈贏得博弈的不同情況;文獻(xiàn)[18]針對(duì)傳統(tǒng)最優(yōu)制導(dǎo)律的不足設(shè)計(jì)了最優(yōu)邊界制導(dǎo)律(OSBGL)，使得攻擊彈可以逃脫防御彈并攻擊飛行器;文獻(xiàn)[19]針對(duì)高階線性化攔截彈制導(dǎo)系統(tǒng)，研究了目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動(dòng)突防策略問題。

以上關(guān)于微分對(duì)策制導(dǎo)的研究大多數(shù)只關(guān)注末制導(dǎo)階段，但是末制導(dǎo)階段由于存在飛行器速度過快、對(duì)抗時(shí)間短等問題，難以體現(xiàn)出微分對(duì)策制導(dǎo)的優(yōu)勢(shì)。

本文針對(duì)攻擊彈如何有效打擊地面目標(biāo)的問題，建立了三體攻防博弈模型，提出了一種基于微分對(duì)策的制導(dǎo)策略，并且,該制導(dǎo)律在中制導(dǎo)階段就可以體現(xiàn)出其優(yōu)勢(shì)，在防御彈以三點(diǎn)法制導(dǎo)攔截的前提下，對(duì)比分析了攻擊彈分別以比例導(dǎo)引和微分對(duì)策制導(dǎo)的仿真結(jié)果，驗(yàn)證了微分對(duì)策制導(dǎo)相比于傳統(tǒng)制導(dǎo)策略的有效性。

1 問題描述與建模

本文考慮的是攻擊彈A如何有效打擊地面目標(biāo)T，并且可以躲避以三點(diǎn)法制導(dǎo)的防御彈D三者間的攻防博弈問題。3個(gè)參與者在三維空間內(nèi)的地面坐標(biāo)系中的幾何交戰(zhàn)關(guān)系如圖 1所示，假設(shè)地球?yàn)槠矫媲襶軸垂直向上為正，目標(biāo)為靜止?fàn)顟B(tài)。

圖1 交戰(zhàn)三體幾何關(guān)系Fig.1 Three-body engagement geometry

將地面目標(biāo)、防御彈和攻擊彈在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別設(shè)為(xT,yT,zT),(xD,yD,zD)和(xA,yA,zA)。速度矢量分別設(shè)為uT=[uxT，uyT，uzT],uD=[uxD，uyD，uzD]和uA=[uxA，uyA，uzA]；加速度矢量分別設(shè)為aT=[axT，ayT，azT],aD=[axD，ayD，azD],aA=[axA,ayA,azA]；飛行器間的相對(duì)位置矢量為ri j=[xi j，yi j，zi j]；相對(duì)速度矢量為ui j=[uxij，uyij，uzij]；相對(duì)加速度矢量為ai j=[axij，ayij，azij]。

根據(jù)圖1中定義的運(yùn)動(dòng)學(xué)變量，交戰(zhàn)三體在地面坐標(biāo)系下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可為

(1)

設(shè)狀態(tài)變量X=[ri j，ui j]T，因?yàn)槟繕?biāo)為靜止?fàn)顟B(tài)，所以狀態(tài)方程僅表示攻擊彈與防御彈之間的關(guān)系，則式(1)可寫為

(2)

2 制導(dǎo)回路設(shè)計(jì)

在構(gòu)建微分對(duì)策制導(dǎo)回路的問題時(shí)，分別采取了如下假設(shè)。

1) 系統(tǒng)獲取飛行器狀態(tài)是準(zhǔn)確的，即不考慮系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)誤差的情況。

2) 自動(dòng)駕駛儀為一階滯后環(huán)節(jié)[20]，即

(3)

針對(duì)上述問題及假設(shè)條件設(shè)計(jì)如圖2所示的制導(dǎo)框圖。

圖2 制導(dǎo)框圖Fig.2 Block diagram of the guidance

3 微分對(duì)策制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)

在防御彈與攻擊彈的攻防對(duì)抗中，防御彈總是力圖使其與攻擊彈的脫靶量達(dá)到最小值，而攻擊彈則力圖使其與防御彈的脫靶量達(dá)到最大，所以兩者的攻防問題是一種零和博弈問題，而對(duì)于攻擊彈和目標(biāo)的零和博弈問題，由于目標(biāo)靜止兩者間的問題就變成了攻擊彈單方的追擊問題，綜合這兩種情況可以得出防御彈以及攻擊彈的制導(dǎo)策略。本文選擇以最終的脫靶量和飛行器的需求過載作為綜合性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)了如下目標(biāo)函數(shù)

(4)

式中：t,t0,tend分別為當(dāng)前時(shí)刻、初始時(shí)刻和終止時(shí)刻；N∈R4×4,為半正定的終端性能加權(quán)矩陣;Q∈R4×4,為半正定的當(dāng)前狀態(tài)性能加權(quán)矩陣;RD∈R6×6,RA∈R6×6，均為飛行器控制性能正定矩陣。

(5)

式中，λ∈R6×1,為協(xié)態(tài)變量。

根據(jù)微分對(duì)策問題解得最優(yōu)解的必要條件并結(jié)合式(5)可得[21]

(6)

式中：X0,X(t0),X(tf)分別為狀態(tài)變量初值、起始時(shí)刻與終止時(shí)刻值;λ(tf)為協(xié)態(tài)變量終值。

對(duì)哈密頓函數(shù)求導(dǎo)使其等于零，可以得出三體追逃博弈中防御彈和攻擊彈各自的制導(dǎo)律如下

(7)

假定協(xié)態(tài)方程為

λ=PX

(8)

式中,P∈R6×6,是黎卡提微分方程的解。結(jié)合式(7)、式(8)可得

(9)

將式(6)代入式(2)可得黎卡提微分方程為

(10)

通過對(duì)黎卡提微分方程求解即可得到加速度控制指令的數(shù)值解，這里不對(duì)求解過程進(jìn)行具體推導(dǎo)。本文為了體現(xiàn)微分對(duì)策制導(dǎo)的特點(diǎn)做了如下簡(jiǎn)化：

1) 在攻防對(duì)抗的過程中，重點(diǎn)只關(guān)注制導(dǎo)終端時(shí)的狀態(tài)，所以可令當(dāng)前狀態(tài)性能指標(biāo)矩陣Q=0；

2) 由于終端性能指標(biāo)只表示終端時(shí)刻tend的性能，所以令終端性能指標(biāo)矩陣N為常數(shù)矩陣。

4 仿真試驗(yàn)及分析

仿真中需要的初始數(shù)據(jù)如表1所示，試驗(yàn)中地面目標(biāo)保持靜止?fàn)顟B(tài)。

表1 初始仿真參數(shù)Table 1 Initial simulation parameters

由于導(dǎo)彈在實(shí)際飛行的過程中，彈體上的各種儀器所能承受的載荷有限，以及彈體本身的氣動(dòng)布局，操縱機(jī)構(gòu)所能產(chǎn)生的舵偏角有限等因素，彈體上的過載往往達(dá)不到理想的設(shè)定值，因而對(duì)攻擊彈的過載進(jìn)行約束。

為了說明本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的有效性，可使防御彈以一個(gè)較大的過載值飛行，目的是為了使防御彈有更強(qiáng)的機(jī)動(dòng)性追蹤攻擊彈，以此來驗(yàn)證攻擊彈是否能在躲避防御彈的同時(shí)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行攔截，因此不對(duì)防御彈的過載進(jìn)行約束。

防御彈采用三點(diǎn)法導(dǎo)引，加速度控制指令為

(11)

式中：ηy,ηz分別為導(dǎo)彈控制指令與法相、側(cè)向控制力的關(guān)系;qA，qD分別為攻擊彈與防御彈的視線角;εA，εD分別為攻擊彈與防御彈的方位角。

4.1 比例導(dǎo)引

當(dāng)攻擊彈采用比例導(dǎo)引時(shí)，加速度控制指令為

(12)

(13)

式中：ωAD為防御彈與攻擊彈之間的相對(duì)視線旋轉(zhuǎn)角速率矢量;K=diag(0，Ky，Kz),Ky,Kz為導(dǎo)航比。

圖3所示為攻擊彈在采取比例導(dǎo)引的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖3 xoz和xoy平面運(yùn)動(dòng)軌跡(比例導(dǎo)引)Fig.3 The trajectory in xoz and xoy plane(proportional guidance)

從圖3中可看出,防御彈和攻擊彈在偏航方向上的軌跡變化不大，而從縱向平面的變化曲線可以看出,防御彈與攻擊彈的距離過近。

比例導(dǎo)引情況下的過載變化曲線如圖4所示。

圖4 z向和y向的過載變化曲線(比例導(dǎo)引)Fig.4 Acceleration variation in z and y direction(proportional guidance)

仿真結(jié)果表明,在攻擊彈采用比例導(dǎo)引時(shí)，由于不涉及逃避防御彈的策略，攻擊彈和防御彈的過載值都較為平穩(wěn)。

攻擊彈采取比例導(dǎo)引時(shí)，其三維空間示意圖見圖5。

圖5 比例導(dǎo)引的三維示意圖Fig.5 Three-dimensional schematic diagram of proportional guidance

4.2 微分對(duì)策制導(dǎo)

當(dāng)攻擊彈采用如式(6)所示的加速度控制指令時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示。

圖6 xoz和xoy平面運(yùn)動(dòng)軌跡(微分對(duì)策制導(dǎo))Fig.6 The trajectory in xoz and xoy plane(differential game guidance)

仿真結(jié)果表明,xoz平面的軌跡變化較小，xoy平面軌跡變化與比例導(dǎo)引時(shí)有明顯差異。

微分對(duì)策導(dǎo)引情況下的過載變化如圖7所示。

圖7 z向和y向的過載變化曲線(微分對(duì)策制導(dǎo))Fig.7 Acceleration variation in z and y direction(differential game guidance)

仿真結(jié)果表明，攻擊彈為了躲避防御彈的攔截,過載值會(huì)有較大的變化，而防御彈為了攔截攻擊彈,自身的過載也增大，這體現(xiàn)了微分對(duì)策制導(dǎo)的優(yōu)勢(shì)，既延長(zhǎng)兩者相對(duì)距離，又增大了防御彈的能量消耗。

圖8為攻擊彈采用微分對(duì)策制導(dǎo)時(shí)的三維空間示意圖。

圖8 微分對(duì)策三維空間示意圖Fig.8 Three-dimensional schematic diagram of differential game

4.3 仿真結(jié)果分析

當(dāng)攻擊彈分別采用比例導(dǎo)引和微分對(duì)策制導(dǎo)時(shí)，防御彈與攻擊彈的最小彈目距離，以及攻擊彈的最終脫靶量如表2所示。

表2 彈目距離與脫靶量仿真結(jié)果Table 2 Simulation results of missile-target distance and miss distance m

由表2中的仿真數(shù)據(jù)可以看出:若攻擊彈采取比例導(dǎo)引制導(dǎo)時(shí)，雖可打擊目標(biāo),但攻擊彈與防御彈之間的最小彈目距離較小，導(dǎo)致了在攻擊彈打擊目標(biāo)之前就可能被防御彈攔截;而當(dāng)攻擊彈采取微分對(duì)策制導(dǎo)時(shí),不僅可以減少與目標(biāo)間脫靶量，并且延長(zhǎng)了攻擊彈和防御彈之間的最小彈目距離，使得攻擊彈能在逃脫防御彈的同時(shí)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行打擊，展現(xiàn)了微分對(duì)策制導(dǎo)的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)束語

本文針對(duì)攻擊彈如何有效打擊地面目標(biāo)的問題，提出了一種在三方對(duì)抗博弈場(chǎng)景下的微分對(duì)策制導(dǎo)律，并且將其作為攻擊彈的制導(dǎo)方式，考慮了交戰(zhàn)參與者的理想情況及實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)參戰(zhàn)三方的運(yùn)動(dòng)軌跡和過載變化進(jìn)行了數(shù)值仿真，由仿真結(jié)果可得出,攻擊彈采取微分對(duì)策制導(dǎo)時(shí)與傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引制導(dǎo)方法對(duì)比有明顯的優(yōu)勢(shì)，因此仿真結(jié)果具有一定的有效性和實(shí)際性。