高考?jí)狠S題的結(jié)構(gòu)特征與突破路徑探析*
2022-09-19 10:16:46劉綠芹
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年9期
劉綠芹
(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004 江蘇省鹽城市教師發(fā)展學(xué)院 224001)
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版2020年修訂)中關(guān)于評(píng)價(jià)提出了“要有利于考查學(xué)生的思維過(guò)程、思維深度和思維廣度”的要求，而高考數(shù)學(xué)壓軸題正是體現(xiàn)該要求的載體之一.然而，從高三數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，突破壓軸題卻是學(xué)生最頭疼的問(wèn)題之一，主要表現(xiàn)為“一看答案就會(huì),不看不會(huì)”.之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題，主要是對(duì)壓軸題的內(nèi)在思維結(jié)構(gòu)水平要求沒(méi)有深刻的認(rèn)知，不同的問(wèn)題有著不同的思維結(jié)構(gòu)水平要求，同時(shí)，學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)，也能夠表現(xiàn)出其思維結(jié)構(gòu)水平.因此，我們可以從壓軸題的思維結(jié)構(gòu)水平方面，尋找突破壓軸題的路徑.
1 思維結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)與水平劃分
對(duì)于思維結(jié)構(gòu)，在不同的研究領(lǐng)域有著不同的闡釋、理解與劃分標(biāo)準(zhǔn).在高中數(shù)學(xué)壓軸題突破方面，我們以SOLO分類理論作為思維結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)，該理論是澳大利亞學(xué)者彼格斯(Biggs)和科利斯(Collis)兩位教授在皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段論的理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.SOLO分類理論認(rèn)為，學(xué)生回答具體問(wèn)題時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的思維結(jié)構(gòu)是可觀察的、可檢測(cè)的，稱為“可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)構(gòu)”(Structure of the Observed Learning Outcome).由此可見，雖然人們很難根據(jù)皮亞杰的分類法認(rèn)定學(xué)生處于哪一個(gè)發(fā)展階段，但卻可以根據(jù)SOLO分類理論，判斷學(xué)生在回答某一具體問(wèn)題時(shí)的思維結(jié)構(gòu)處于哪一層次.目前，SOLO分類理論不僅已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于理科，諸如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等，還應(yīng)用于歷史、地理、英語(yǔ)等文科類學(xué)科的教學(xué)和評(píng)價(jià)上.
學(xué)習(xí)是一個(gè)逐漸積累、不斷演進(jìn)的過(guò)程，學(xué)生對(duì)某一內(nèi)容的理解存在多個(gè)不同的中間水平.根據(jù)SOLO分類理論，可將思維結(jié)構(gòu)水平劃分為五個(gè)層次：前結(jié)構(gòu)水平(P)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(U)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(M)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)和抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平(E).在前結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生無(wú)法找到解決問(wèn)題的相關(guān)素材以及線索，只能用一些與問(wèn)題毫不相關(guān)的內(nèi)容來(lái)解答，解決不了具體問(wèn)題.在單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生只能夠找到解決問(wèn)題的線索和相關(guān)素材中的個(gè)別，依然無(wú)法解決相關(guān)問(wèn)題.在多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平上，學(xué)生找到了解決問(wèn)題的多個(gè)線索或多個(gè)孤立的相關(guān)素材，但未能有效整合這些素材，同樣無(wú)法真正解決問(wèn)題.在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生不僅能夠找到解決問(wèn)題所需的線索以及所需的相關(guān)素材，而且能夠?qū)⑦@些相關(guān)素材進(jìn)行整合與關(guān)聯(lián)，能夠解決相關(guān)問(wèn)題.在抽象擴(kuò)展水平結(jié)構(gòu)層次上，學(xué)生在找準(zhǔn)問(wèn)題線索的基礎(chǔ)上，不僅能夠?qū)⑾嚓P(guān)素材進(jìn)行關(guān)聯(lián)，同時(shí)還能夠結(jié)合相關(guān)假設(shè)，解決相關(guān)問(wèn)題，獲得新的解答、新的方法或新的結(jié)論.
思維結(jié)構(gòu)水平劃分針對(duì)的是學(xué)生回答或解決問(wèn)題時(shí)所反應(yīng)出來(lái)的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)，是對(duì)學(xué)生的思維水平進(jìn)行質(zhì)性劃分，其聚焦點(diǎn)為學(xué)生.而思維結(jié)構(gòu)水平要求是針對(duì)具體問(wèn)題而言，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，提出解決問(wèn)題時(shí)需要學(xué)生具備什么樣的結(jié)構(gòu)水平，其聚焦點(diǎn)為問(wèn)題.對(duì)于解決高考?jí)狠S題而言，需要根據(jù)試題進(jìn)展的不同階段，提出具體的思維結(jié)構(gòu)水平要求，并針對(duì)性地進(jìn)行突破，力求讓更多的學(xué)生達(dá)到更高的思維結(jié)構(gòu)水平.
2 壓軸題的思維結(jié)構(gòu)特征
高考數(shù)學(xué)壓軸題之所以難度大，是因?yàn)樗鼘?duì)思維結(jié)構(gòu)的要求有別于普通試題.在普通綜合類數(shù)學(xué)試題中，往往注重循序漸進(jìn)，思維結(jié)構(gòu)水平要求起點(diǎn)低，一般是從單一結(jié)構(gòu)水平(U)出發(fā)為主，終點(diǎn)多為關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R).在進(jìn)展過(guò)程中，逐步要求，逐級(jí)提升，呈線性狀態(tài).而高考數(shù)學(xué)壓軸題的思維結(jié)構(gòu)水平要求起點(diǎn)較高，多以多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(M)為起點(diǎn)，抽象擴(kuò)展水平(E)為終點(diǎn)，其思維結(jié)構(gòu)水平要求呈逐漸加速形態(tài)，如下圖.因此，探析壓軸題思維結(jié)構(gòu)水平要求特征將有助于進(jìn)一步明確突破路徑.
圖1 試題進(jìn)展與思維結(jié)構(gòu)水平要求的關(guān)系
2.1 單一結(jié)構(gòu)水平為表象，多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平為實(shí)質(zhì)
在高考?jí)狠S題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一類題設(shè)較短、知識(shí)背景看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，乍一看是單一結(jié)構(gòu)水平(U)要求，但實(shí)則是多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(M)要求.該類試題常常將以鮮明的單點(diǎn)知識(shí)為表象，但在試題解決的進(jìn)程中不知不覺(jué)地需要帶入其他知識(shí)點(diǎn)或解題方法，僅憑單一結(jié)構(gòu)水平無(wú)法解決相關(guān)問(wèn)題的.
例1
(2021年高考全國(guó)乙卷第19題)設(shè){a
}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列{b
}滿足已知a
,3a
,9a
成等差數(shù)列.
(1)求{a
}和{b
}的通項(xiàng)公式；(2)記S
,T
分別為{a
}和{b
}的前n
項(xiàng)和.
證明：從該題的表面條件來(lái)看，是等比數(shù)列問(wèn)題，然而數(shù)列{a
}中的a
,a
,a
間又有特殊的關(guān)聯(lián)關(guān)系，顯然，該問(wèn)題不得不引入等差數(shù)列的知識(shí)——等差中項(xiàng)，運(yùn)用a
+9a
=2×3a
,再結(jié)合a
=1，可解出進(jìn)而{a
},{b
}的通項(xiàng)公式不難得出.
根據(jù)第(1)問(wèn)可知從結(jié)構(gòu)上看，分子是等差數(shù)列，分母是等比數(shù)列，究竟用等差數(shù)列求和公式還是等比數(shù)列求和公式解決該問(wèn)題呢？顯然，T
既不是等差數(shù)列的求和，也不是等比數(shù)列的求和，單純靠一種方法已無(wú)法解決該問(wèn)題，需要引入新的解決問(wèn)題方法——錯(cuò)項(xiàng)相減法，即在兩邊同乘得再將兩式相減，得其中即為新轉(zhuǎn)化的等比數(shù)列求和問(wèn)題，至此，第(2)問(wèn)不難解決.
由此可見，該題僅靠單一的等比數(shù)列的公式或等差數(shù)列的公式是無(wú)法解決的，必須引入新的知識(shí)和方法，只有在多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的基礎(chǔ)上才能解決問(wèn)題.
2
.
2 多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平為臺(tái)階，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為核心
高考?jí)狠S題一般設(shè)置多問(wèn)，難度逐步遞進(jìn)，呈臺(tái)階式發(fā)展，知識(shí)方法的使用也呈現(xiàn)出多樣態(tài)，并相互關(guān)聯(lián).
此類問(wèn)題以多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平要求為基礎(chǔ)，搭建臺(tái)階，但徹底解決相關(guān)問(wèn)題則需要達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平要求.
例如，圓錐曲線問(wèn)題往往與直線一起出現(xiàn)，并以直線的變化為主線，主導(dǎo)著試題的變化與發(fā)展方向.
在實(shí)踐中，多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平能夠解決多個(gè)相對(duì)獨(dú)立的基本問(wèn)題，但由于直線的變化，導(dǎo)致相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系較為密切，問(wèn)題變得錯(cuò)綜復(fù)雜.
顯然，單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平無(wú)法解決相關(guān)問(wèn)題，這就需要關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平來(lái)解決問(wèn)題.
例2
(2019年全國(guó)卷Ⅱ第21題)已知點(diǎn)A
(-2,0),B
(2,0),動(dòng)點(diǎn)M
(x
,y
)滿足直線AM
與BM
的斜率之積為記M
的軌跡為曲線C.
(1)求C
的方程，并說(shuō)明C
是什么曲線.
(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C
于P
,Q
兩點(diǎn)，點(diǎn)P
在第一象限，PE
⊥x
軸，垂足為E
，連結(jié)QE
并延長(zhǎng)交C
于點(diǎn)G.
①證明：△PQG
是直角三角形；②求△PQG
面積的最大值.
該題的結(jié)構(gòu)是以橢圓為框架，以直線變化為核心，構(gòu)建圓錐曲線中的基本圖形——三角形.
第(1)問(wèn)中，僅需運(yùn)用斜率之積為和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可解決問(wèn)題，求得C
的方程為第(2)問(wèn)中，根據(jù)條件，由直線PQ
逐步演變至PE
,QE
及QG
,逐步形成△PQG
，并證明該三角形是直角三角形，求該三角形面積的最大值.
顯然，該題演變至此，已無(wú)法僅靠橢圓的知識(shí)和方法來(lái)解決問(wèn)題，需要將橢圓、直線、函數(shù)等關(guān)聯(lián)起來(lái)解決問(wèn)題.
第(2)問(wèn)中的第①小問(wèn)通過(guò)“設(shè)而不求”的方法，即設(shè)直線PQ
的方程為y
=kx
(k
>0)，將其與橢圓方程組成方程組，求得含參數(shù)的P
,Q
,E
點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(t
,tk
),(-t
, -tk
),(t
,0)，其中進(jìn)而將直線QG
與橢圓組成方程組，得到含參數(shù)的G
點(diǎn)坐標(biāo)，并求得PG
的斜率為至此，該小題得證.
對(duì)于第②問(wèn)，它是在第①問(wèn)的基礎(chǔ)上，得到故△PQG
的面積由此，該問(wèn)題演變成了函數(shù)求最值的問(wèn)題，即令可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本不等式問(wèn)題，從而求解出△PQG
的最大值.
從整體上看，該題一步一個(gè)臺(tái)階，拾級(jí)而上，逐步關(guān)聯(lián)各種數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法，最終解決問(wèn)題.
2
.
3 關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為基礎(chǔ)，抽象擴(kuò)展水平為目的
高考數(shù)學(xué)壓軸題之所以難，是因?yàn)閴狠S題不僅要求學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)，還要求能夠?qū)⒍喾N數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想等關(guān)聯(lián)、融合，并在此基礎(chǔ)上，跳出原有體系框架，進(jìn)行抽象擴(kuò)展，獲得新的解決問(wèn)題的途徑與方法.
擴(kuò)展抽象水平必須建立在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的基礎(chǔ)之上，它是思維結(jié)構(gòu)水平中的最高層次.
因此，高考的最后一道壓軸題主要以該水平為命題的出發(fā)點(diǎn)，考查學(xué)生的抽象擴(kuò)展能力.
例3
(2021年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f
(x
)=x
(1-lnx
).
(1)討論f
(x
)的單調(diào)性；(2)設(shè)a
,b
為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且b
lna
-a
lnb
=a
-b
，證明：該題的條件較為簡(jiǎn)潔，只有唯一的一個(gè)，即函數(shù)f
(x
)=x
(1-lnx
)，再無(wú)其他信息.
問(wèn)題也較為清晰，第(1)問(wèn)討論該函數(shù)的單調(diào)性，第(2)問(wèn)是在等式的基礎(chǔ)上，證明不等式.
該題的第(1)問(wèn)屬于基礎(chǔ)題，不難解得f
(x
)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞).
然而，該題的第(2)問(wèn)卻無(wú)法直接看出與條件函數(shù)f
(x
)=x
(1- lnx
)及第(1)問(wèn)的聯(lián)系，試題難度突然陡增，導(dǎo)致一些學(xué)生在此結(jié)束該題.
但一部分具備了關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生能夠繼續(xù)探索，他們想到了將第(2)問(wèn)中的條件“b
lna
-a
lnb
=a
-b
”與主題干中條件“函數(shù)f
(x
)=x
(1-lnx
)”相關(guān)聯(lián)，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，于是有了整理“同類項(xiàng)”，構(gòu)造函數(shù)的想法，將“b
lna
-a
lnb
=a
-b
”變形為隨后卻發(fā)現(xiàn)，不具備函數(shù)f
(x
)的結(jié)構(gòu)特征，不滿足f
(a
)=f
(b
)，于是一部分學(xué)生便束手無(wú)策.
到此，該題進(jìn)入了抽象擴(kuò)展水平要求階段，盡管該題f
(a
)≠f
(b
)，但若學(xué)生具備了抽象擴(kuò)展水平，能夠從a
擴(kuò)展到從b
擴(kuò)展到的話，即可獲得再令進(jìn)而將證明q
>2和p
+q
.
從該題的結(jié)構(gòu)來(lái)看，該是以關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為基礎(chǔ)，主要目的是考察學(xué)生的抽象擴(kuò)展水平.
3 壓軸題的突破路徑探析
突破壓軸題需要具備一定的基本知識(shí)和基本技能，僅僅處在前結(jié)構(gòu)水平和單一結(jié)構(gòu)水平上是無(wú)法有效突破壓軸題的，因此，壓軸題的突破路徑應(yīng)至少建立在多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平之上，否則無(wú)法實(shí)施.
3.1 注重核心內(nèi)容的周邊知識(shí)積累，提升多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平
作為綜合題的高考數(shù)學(xué)壓軸題，不可能僅僅由一種知識(shí)構(gòu)成，它往往是圍繞某一核心內(nèi)容做文章，并配以其他知識(shí)作為補(bǔ)充，以求達(dá)到綜合的效果.根據(jù)往年的高考試卷統(tǒng)計(jì)，在高中數(shù)學(xué)的眾多考點(diǎn)中，能夠設(shè)置為高考數(shù)學(xué)壓軸題的核心知識(shí)較為明確，一般為函數(shù)綜合、導(dǎo)數(shù)綜合、數(shù)列綜合和解析幾何綜合四大類.在突破這些壓軸題時(shí)，不僅需要對(duì)這些核心知識(shí)有較為深刻的掌握，同時(shí)，還要對(duì)周邊相關(guān)知識(shí)有一定量的積累，例如，解決函數(shù)類壓軸題需要用到的周邊知識(shí)有集合、方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等；解決導(dǎo)數(shù)類壓軸題需要用的周邊知識(shí)有函數(shù)及其性質(zhì)、幾何、不等式等；解決數(shù)列類壓軸需要用的周邊知識(shí)有函數(shù)、方程、不等式等；解決解析幾何類壓軸題需要用到函數(shù)、向量、方程、不等式等.
在探尋壓軸題突破路徑時(shí)，除了深入掌握核心知識(shí)外，要特別注重梳理核心內(nèi)容的周邊知識(shí)，它們往往就是突破壓軸題的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，缺少了任何一個(gè)都將影響問(wèn)題的解決.在實(shí)踐中，通過(guò)對(duì)周邊知識(shí)的梳理，我們往往能找到突破壓軸題的相關(guān)知識(shí).因此，扎扎實(shí)實(shí)的多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平是突破壓軸題的基礎(chǔ).
3.2 挖掘多種知識(shí)間的隱藏聯(lián)系，形成關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平
高考數(shù)學(xué)壓軸題中的多種知識(shí)是試題結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)之間通過(guò)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法構(gòu)成各種各樣的聯(lián)系，然而，聯(lián)系往往又是隱性的，并不表露于試題，因此，挖掘多種知識(shí)間的隱藏聯(lián)系是解決壓軸題的核心，挖掘出壓軸題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想是突破壓軸題的重要途徑.
一是函數(shù)綜合壓軸題中蘊(yùn)含著函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等數(shù)學(xué)思想與方法；二是導(dǎo)數(shù)綜合壓軸題中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、換元等數(shù)學(xué)思想與方法；三是數(shù)列綜合壓軸題中蘊(yùn)含著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法等數(shù)學(xué)思想與方法；四是解析幾何綜合類壓軸題中蘊(yùn)含著等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、待定系數(shù)法、參數(shù)法等數(shù)學(xué)思想與方法.由此可見，數(shù)學(xué)思想與方法并不固定屬于某一類壓軸題，它可以存在于不同的問(wèn)題類型里，這些隱藏著的數(shù)學(xué)思想與方法是多種知識(shí)間的紐帶，通過(guò)它們可以將壓軸題由繁化簡(jiǎn)、由難轉(zhuǎn)易.
因此，當(dāng)學(xué)生處在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次上時(shí)，能夠發(fā)現(xiàn)壓軸題中多種知識(shí)的隱藏聯(lián)系，并通過(guò)數(shù)學(xué)思想與方法，游刃有余地將不同類型的知識(shí)進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換、重新組合，將其轉(zhuǎn)變成熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而使壓軸題得到突破.
3.3 密集發(fā)散性思維觸角，突破抽象擴(kuò)展水平
突破高考?jí)狠S題除了需要具有廣泛的基礎(chǔ)知識(shí)、靈活的思想方法外，還需要具有密集的發(fā)散性思維觸角，能夠敏銳感知到與問(wèn)題相關(guān)的各種內(nèi)容、各種思路.發(fā)散性思維的觸角越多越敏銳，則突破抽象擴(kuò)展水平的可能性越大，解決壓軸題的可能性也將越大.
解決高考?jí)狠S類問(wèn)題時(shí)，需要思維由已知分別發(fā)散到高度相關(guān)的內(nèi)容、一般相關(guān)的內(nèi)容或較少相關(guān)的內(nèi)容.在平時(shí)的實(shí)踐過(guò)程中，要有意識(shí)地關(guān)注與提煉看似邊緣知識(shí)里的核心內(nèi)容，以此來(lái)密集發(fā)散性思維觸角，同時(shí)，要注重提煉其中的核心方法與核心思想，以提升發(fā)散性思維觸角的敏銳度，達(dá)到隨時(shí)抽象與擴(kuò)展的要求.然而，鑒于人的思維層次從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)提升到抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)需要付出巨大的努力，指望所有的學(xué)生達(dá)到更高層次是很不現(xiàn)實(shí)的.因此，在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中，教師要特別注重因材施教，盡量讓每個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)中得到最大可能的發(fā)展，但不勉強(qiáng)每一個(gè)學(xué)生都達(dá)到抽象擴(kuò)展水平.
4 結(jié)束語(yǔ)
高考?jí)狠S題千變?nèi)f化，在基于SOLO分類理論的思維結(jié)構(gòu)視域下，突破高考?jí)狠S題需要教師深入分析多種不同類型的高考?jí)狠S題，明確各種壓軸題的思維結(jié)構(gòu)要求，并由此選擇不同的思維結(jié)構(gòu)水平進(jìn)階路徑.同時(shí)，要?jiǎng)澐植煌瑢W(xué)生現(xiàn)有壓軸題思維結(jié)構(gòu)水平，并根據(jù)不同的學(xué)生給予不同的突破路徑及具體策略，在學(xué)生明確了自己的等級(jí)水平后，再進(jìn)一步激發(fā)其深入學(xué)習(xí)的欲望.當(dāng)壓軸題的思維結(jié)構(gòu)要求與學(xué)生的現(xiàn)有思維結(jié)構(gòu)水平相匹配時(shí)，突破高考?jí)狠S題將不再是可望而不可及的目標(biāo).
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