彭文斌

(四川省成都七中八一學(xué)校 610036)

蘇聯(lián)著名教育家贊可夫曾說(shuō)：“教會(huì)學(xué)生思考，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一生中最有價(jià)值的本錢(qián)．”數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，其核心是發(fā)展學(xué)生的思維能力，數(shù)學(xué)課堂要致力于讓學(xué)生思維真正發(fā)生．要到達(dá)這樣的目的，教師在教學(xué)中要設(shè)計(jì)富有情境的、有思考價(jià)值的問(wèn)題，在層層遞進(jìn)的生長(zhǎng)式問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)下，引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展深度學(xué)習(xí)與深度思考，在這樣的狀態(tài)下獲得的知識(shí)是自然生長(zhǎng)的、是終身的．

因此，在數(shù)學(xué)課堂中，教師要善于構(gòu)建具有生長(zhǎng)樣態(tài)的問(wèn)題串，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本源，感受數(shù)學(xué)獨(dú)特的思維方式，在知識(shí)形成和解決問(wèn)題的過(guò)程中，促進(jìn)理解、融會(huì)貫通、靈活遷移，從而獲得智慧、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．下面以“二次函數(shù)背景下的最值問(wèn)題”專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)勔I(lǐng)學(xué)生思維生長(zhǎng)、促進(jìn)學(xué)生理解的生長(zhǎng)式問(wèn)題串的設(shè)計(jì)策略．

1 確立核心問(wèn)題，找準(zhǔn)問(wèn)題起點(diǎn)

“二次函數(shù)背景下的最值問(wèn)題”這節(jié)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的核心問(wèn)題是在二次函數(shù)背景下，動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的有關(guān)線(xiàn)段或面積最值問(wèn)題的探究．在核心問(wèn)題大背景下，努力找到探尋的起點(diǎn)，讓學(xué)生比較容易入手．故此，設(shè)置本節(jié)課第一個(gè)基礎(chǔ)的起點(diǎn)問(wèn)題：

問(wèn)題1

拋物線(xiàn)

y

=-

x

-2

x

+3位于

x

軸上方的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)

P

，點(diǎn)

P

距離

x

軸最遠(yuǎn)時(shí)點(diǎn)

P

的位置在哪里？

圖1

這樣的問(wèn)題讓學(xué)生很容易入手，發(fā)現(xiàn)距離

x

軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)(圖1)．問(wèn)題1起點(diǎn)低，符合學(xué)生的已有知識(shí)基礎(chǔ)，這個(gè)問(wèn)題成了后續(xù)所有問(wèn)題的起點(diǎn)，我們就可以設(shè)置該問(wèn)題的一系列變式問(wèn)題．

2 明確生長(zhǎng)點(diǎn)位，構(gòu)建關(guān)聯(lián)變式

英國(guó)科學(xué)哲學(xué)家波普爾也曾說(shuō)過(guò)：“科學(xué)和知識(shí)的增長(zhǎng)永遠(yuǎn)始于問(wèn)題，終于問(wèn)題——越來(lái)越深化的問(wèn)題，越來(lái)越能啟發(fā)新問(wèn)題的問(wèn)題．”在問(wèn)題1的啟發(fā)下我們尋找關(guān)聯(lián)性極強(qiáng)的變式問(wèn)題，探尋起點(diǎn)問(wèn)題下的問(wèn)題生長(zhǎng)．因此，設(shè)計(jì)第二個(gè)引發(fā)深度思考的問(wèn)題：

圖2

問(wèn)題2

已知拋物線(xiàn)

y

=-

x

-2

x

+3與

x

軸交于點(diǎn)

A

,

C

，與

y

軸交于點(diǎn)

B

，點(diǎn)

D

(0,1)，點(diǎn)

P

是位于第二象限拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P

作

PH

⊥

x

軸交線(xiàn)段

CD

于

H

，當(dāng)

PH

取得最大值時(shí)，點(diǎn)

P

還是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)嗎(圖2)？問(wèn)題2與問(wèn)題1關(guān)聯(lián)性極強(qiáng)，直線(xiàn)

CD

可以看作是將

x

軸繞著點(diǎn)

C

旋轉(zhuǎn)得到，但卻不能直接回答使得

PH

最大時(shí)點(diǎn)

P

是否還是拋物線(xiàn)頂點(diǎn)．從而引發(fā)學(xué)生深度思考與深入探究．問(wèn)題2可以看作是由問(wèn)題1生長(zhǎng)出來(lái)的新問(wèn)題，其解決方法和策略需要學(xué)生更加理性地思考，嚴(yán)格論證．在師生的合作交流中得到問(wèn)題的解決：設(shè)點(diǎn)

P

(

m

,-

m

-2

m

+3)，易求得

CD

的表達(dá)式為故點(diǎn)

H

的坐標(biāo)為故當(dāng)時(shí)，

PH

取得最大值．通過(guò)嚴(yán)格論證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)

PH

取得最大值時(shí)，點(diǎn)

P

并不是拋物線(xiàn)頂點(diǎn)．這種構(gòu)建函數(shù)模型求線(xiàn)段最值的方法，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了問(wèn)題2與問(wèn)題1的關(guān)系——其核心都是求函數(shù)的最值．進(jìn)一步思考，問(wèn)題2并不是求拋物線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)

P

到直線(xiàn)

CD

距離的最大值，從而繼續(xù)生長(zhǎng)出了下面的問(wèn)題：

問(wèn)題3

已知拋物線(xiàn)

y

=-

x

-2

x

+3與

x

軸交于點(diǎn)

A

,

C

，與

y

軸交于點(diǎn)

B

，點(diǎn)

D

(0,1)，

P

是第二象限拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)

P

距離直線(xiàn)

CD

最遠(yuǎn)時(shí)，求點(diǎn)

P

坐標(biāo)(圖3)．

圖3

問(wèn)題3的提出是問(wèn)題2的進(jìn)一步探究，但學(xué)生想再直接建立點(diǎn)

P

到

CD

的距離

PG

的函數(shù)模型就更加困難了

.

解決這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)入深度思考，繼而想到平移直線(xiàn)

CD

與拋物線(xiàn)相切于第二象限，切點(diǎn)即為點(diǎn)

P

的位置．這一數(shù)形結(jié)合的方法自然而然地產(chǎn)生了．求切線(xiàn)和切點(diǎn)的方法背后的數(shù)形結(jié)合思想與方程思想可以讓學(xué)生徹底領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之美．對(duì)于這些方法的普適性更應(yīng)在教學(xué)中去滲透．問(wèn)題3還可以如何生長(zhǎng)？其實(shí)解答完問(wèn)題3之后學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題3和問(wèn)題2中的點(diǎn)

P

是同一點(diǎn)．由此生長(zhǎng)出下一個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題4

問(wèn)題3中點(diǎn)

P

的位置與問(wèn)題2中點(diǎn)

P

的位置是否相同？為什么？

圖4

問(wèn)題4的提出讓學(xué)生尋求前兩個(gè)問(wèn)題的關(guān)聯(lián)，從而對(duì)問(wèn)題有更深入的認(rèn)識(shí)：

PG

=

PH

cos∠

HPG

(∠

HPG

為定角，等于∠

DCO

)，將求

PG

的最大值轉(zhuǎn)化為求

PH

的最大值(圖4)．由此讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，感悟數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美．

3 遵循自然有道，把握生長(zhǎng)方向

“最近發(fā)展區(qū)”理論告訴我們，學(xué)生認(rèn)知的最大特性是“生長(zhǎng)性”

.

如何讓學(xué)生在問(wèn)題情境中自然而有力地獲得知識(shí)的生長(zhǎng)，得到思維提升，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)特有的魅力，激發(fā)自由創(chuàng)造的潛能，滋養(yǎng)數(shù)學(xué)內(nèi)在的理性精神，需要教師的精鋪巧設(shè)與智慧引領(lǐng)．

在完成了問(wèn)題2～4的探究之后，問(wèn)題還有哪些值得挖掘、變式的地方應(yīng)該往哪個(gè)方向去研究，需要教師精心設(shè)計(jì)問(wèn)題變式．可考慮往三角形面積最值方面去變式，設(shè)計(jì)中提供以下三個(gè)問(wèn)題，為后續(xù)研究提供參考：

問(wèn)題5

已知拋物線(xiàn)

y

=-

x

-2

x

+3與

x

軸交于點(diǎn)

A

,

C

，與

y

軸交于點(diǎn)

B

，點(diǎn)

D

(0,1)，

P

是第二象限拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，

PG

⊥

CD

，

PH

⊥

x

軸，當(dāng)

PG

與

PH

取得最大時(shí)，△

PHG

的周長(zhǎng)是否最大？此時(shí)△

PHG

的面積是否最大(圖4)？

圖5

問(wèn)題6

已知拋物線(xiàn)

y

= -

x

-2

x

+3與

x

軸交于點(diǎn)

A

,

C

，與

y

軸交于點(diǎn)

B

，點(diǎn)

D

(0,1)，

P

是第二象限拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求△

PCD

面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)

P

的坐標(biāo)(圖5)．

問(wèn)題7

△

PCD

面積取得最大值時(shí)，與問(wèn)題2、問(wèn)題3有沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別？

問(wèn)題5是問(wèn)題4的延續(xù)，關(guān)聯(lián)性強(qiáng)，探究顯得自然流暢；問(wèn)題6是問(wèn)題5的進(jìn)一步變式，將線(xiàn)段最值問(wèn)題變式為與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的三角形面積最值問(wèn)題．前面問(wèn)題的鋪墊，讓問(wèn)題5～6的探究迎刃而解，一切的探究活動(dòng)的開(kāi)展都顯得自然有道．對(duì)其中的方法、思想、內(nèi)涵，學(xué)生在回答完問(wèn)題7后得到了認(rèn)識(shí)上的升華，大大促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．

4 構(gòu)建階梯變式，引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)

問(wèn)題情境設(shè)計(jì)注重層次性、遞進(jìn)性、階梯性等基本原則，這同樣符合最近發(fā)展區(qū)理論．教師始終有意識(shí)地挖掘?qū)W生的認(rèn)知需要與已有水平之間的矛盾，不斷地培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的求知欲望，讓其始終處于“憤悱”狀態(tài)中．在探究完前七個(gè)關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)的問(wèn)題之后，課堂探究活動(dòng)應(yīng)該步入深層次學(xué)習(xí)．因此，考慮設(shè)計(jì)具有一定挑戰(zhàn)性的問(wèn)題：

圖6

問(wèn)題8

已知拋物線(xiàn)

y

= -

x

-2

x

+3與

x

軸交于點(diǎn)

A

,

C

，與

y

軸交于點(diǎn)

B

，點(diǎn)

D

(0,1)，

P

是第二象限拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，

OP

與線(xiàn)段

CD

相交于點(diǎn)

E

，求的最大值(圖6)．問(wèn)題8變?yōu)榱饲蟮淖畲笾?，需要利用相似轉(zhuǎn)化，具有一定挑戰(zhàn)性．師生充分交流，得出解決方案：過(guò)點(diǎn)

P

作

PH

⊥

x

軸交

CD

于

H

，易知△

PEH

∽△

OED

，故又因?yàn)?p>OD

=1，所以求的最大值即為求

PH

的最大值，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題2．

從問(wèn)題1至問(wèn)題8，始終遵循了問(wèn)題變式的層次性和階梯性，遵循了問(wèn)題發(fā)生的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，符合學(xué)生已有認(rèn)知能力，滿(mǎn)足了學(xué)生求知的需求，引領(lǐng)著學(xué)生逐步進(jìn)入深度思考、深度學(xué)習(xí)．在問(wèn)題8探究結(jié)束后，設(shè)置了一個(gè)與此節(jié)課相關(guān)性極強(qiáng)的問(wèn)題9(2020年成都中考試題)：

圖7

問(wèn)題9

如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)

y

=

ax

+

bx

+

c

與

x

軸交于

A

(-1,0),

B

(4,0)兩點(diǎn)，與

y

軸交于點(diǎn)

C

(0,-2)．(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)

D

為第四象限拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，連結(jié)

AD

,

BC

交于點(diǎn)

E

，連結(jié)

BD

，記△

BDE

的面積為

S

，△

ABE

的面積為

S

，求的最大值．

問(wèn)題9是本節(jié)課所學(xué)方法的應(yīng)用，更是對(duì)內(nèi)容理解的升華．這一成都中考題的解答，讓學(xué)生感知復(fù)雜題目的產(chǎn)生就是立足于基本方法、基本技巧．將面積之比的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最大值問(wèn)題，從而回到了與問(wèn)題8類(lèi)似的問(wèn)題．通過(guò)對(duì)問(wèn)題9的交流分享，及時(shí)反饋學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)方法的理解與掌握，學(xué)生真正進(jìn)入了深度學(xué)習(xí)．隨著一個(gè)個(gè)生長(zhǎng)性問(wèn)題的提出和解決，在探究過(guò)程中學(xué)生思維得到了培養(yǎng)，能力得到了提升．課堂最后可以試著讓學(xué)生提出一個(gè)二次函數(shù)背景下的最值問(wèn)題，并嘗試解答．

美國(guó)教育心理學(xué)家加涅曾指出“教學(xué)設(shè)計(jì)必須以幫助學(xué)習(xí)過(guò)程而不是教學(xué)過(guò)程為目的．”讓“生成式問(wèn)題串”引領(lǐng)、驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，只是教師優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的一種重要方式和途徑．在建構(gòu)主義理論指引下，在生成性視野中，教學(xué)的過(guò)程是研究、傾聽(tīng)、對(duì)話(huà)的過(guò)程．因此，在重視問(wèn)題串設(shè)計(jì)的同時(shí)還要讓課堂教學(xué)實(shí)施走向民主化、開(kāi)放化，重視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)注、對(duì)過(guò)程的關(guān)注，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．