周德春

(江蘇省射陽中學 224300)

1 基本情況

授課對象 學生來自四星級省重點高中普通班，基礎(chǔ)良好．

教材分析 “空間向量基本定理”是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(選修2-1)》(蘇教版)第3章“空間向量與立體幾何”中的第1節(jié)“空間向量及其運算”的第3小節(jié)內(nèi)容，是空間向量線性表示、坐標表示的基礎(chǔ)，是向量法解決立體幾何問題的重要工具，是本章的核心知識點之一．

設(shè)計思想 在學習了平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，基于類比思想來研究空間向量基本定理．由于從平面到空間需要空間想象能力作為支撐，對于空間想象能力薄弱的部分學生學習起來還是有困難的，故在此教學設(shè)計中采取了“合作探究”的教學方法和“四問驅(qū)動”的教學范式，突出啟發(fā)式教學、突出問題引領(lǐng)、突出數(shù)形結(jié)合、突出類比過程，以實現(xiàn)對空間向量基本定理的全面理解、猜想證明和簡單運用．

教學目標 (1)運用類比的方法理解空間向量基本定理及其推論，體會空間任意一個向量可以用不共面的三個已知向量線性表示，而且這種表示是惟一的；(2)了解空間中基底的含義，并在簡單問題中能用給出的一個基底來表示已知向量，初步感悟向量是研究幾何問題的工具；(3)提升數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng)．

教學重點 空間向量基本定理的理解．

教學難點 空間向量基本定理的證明．

2 過程設(shè)計

2.1 問題情境

師：在數(shù)學中，我們常用類比法研究數(shù)學問題，比如類比集合來研究向量，類比指數(shù)函數(shù)來研究對數(shù)函數(shù)，類比橢圓來研究雙曲線等．今天將類比平面向量基本定理來研究空間向量基本定理．(點題：空間向量基本定理)

2.2 探究建構(gòu)

●通過類比得到的空間向量基本定理的內(nèi)容是什么？如何證明這個定理？這個定理有什么用處？

說明

前面標注●的問題稱為“啟問”．所謂啟問就是依據(jù)教學目標，提出問題．

問題1

如何通過類比得到空間向量基本定理的？

師：請問同學們，平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？

生：如果,是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(

x

,

y

)，使=

x

+

y

．

師：定理中有哪些關(guān)鍵詞？

生：平面內(nèi)，,不共線，任一向量，存在，惟一．

師：類比平面向量基本定理，結(jié)合關(guān)鍵詞，請猜想出空間向量基本定理的具體內(nèi)容．

生：平面內(nèi)→空間中；,不共線→,,不共面；任一向量→任一向量，存在惟一→存在惟一，(

x

,

y

)→(

x

,

y

,

z

)，=

x

+

y

→=

x

+

y

+

z

．

(在學生回答的基礎(chǔ)上給出下面的定理)

空間向量基本定理 如果三個向量,,

不共面

，那么對于空間

任一向量

，

存在惟一

的有序?qū)崝?shù)組(

x

,

y

,

z

)，使=

x

+

y

+

z

．(用著重號標出關(guān)鍵詞)

追問 猜想出來的結(jié)論可靠嗎？

生：不可靠！需要證明．

師：證明的大致思路是什么？

生：可類比平面向量基本定理，分存在性和惟一性來證明．

問題2

如何證明空間向量基本定理中的存在性？

圖1

師：如圖1，設(shè),,是三個共點且不共面的向量，其中對于空間任一向量，設(shè)=．如何將線性表示成的形式？生：過點

P

作

PP

∥

OC

，交平面

AOB

于點

P

．師：這點

P

具體在什么位置？生：點

P

既在平面

POC

內(nèi)，又在平面

AOB

內(nèi)，故點

P

在平面

POC

和平面

AOB

的交線上．師：很好．記上述交線為直線

OD

，則點

P

在直線

OD

上(此時教師在圖中作出直線

OD

，

PP

和

OD

的交點就是

P

)，這樣

P

的位置就確定了，于是接下來怎么辦？生：在平面

AOB

內(nèi)，作平行四邊形

OA

P

B

，滿足

A

,

B

分別在直線

OA

,

OB

上，于是所以師：很好！接下來根據(jù)共線向量的條件，存在三個確定的實數(shù)

x

,

y

,

z

，使得所以=

x

+

y

+

z

．這就證明了存在性．

追問 上述證明存在性用的是什么方法？

生：構(gòu)造圖形法．

提煉 證明存在性的問題，一般都用構(gòu)造法．

問題3

如何證明空間向量基本定理中的惟一性？

師：證明惟一性常用什么方法？

生：反證法．

師：下面用反證法試一試如何證明？

生：假設(shè)有兩種不同的表示，分別為=

x

+

y

+

z

，=

x

+

y

+

z

，其中(

x

,

y

,

z

)≠(

x

,

y

,

z

)，則有

x

+

y

+

z

=

x

+

y

+

z

，移項整理得(

x

-

x

)+(

y

-

y

)+(

z

-

z

)=

0

．不妨設(shè)

x

≠

x

，則進而,,共面，這與已知條件,,不共面矛盾，因此只有惟一的一種表示，即有序數(shù)組(

x

,

y

,

z

)是惟一的．

師：說得非常棒！這就證明了惟一性．至此完成了對空間向量基本定理的完整證明．

練習 已知,,不共面，且

x

+

y

+

z

=

0

，則

x

=

y

=

z

=

．

提煉 空間向量基本定理告訴我們，空間中任意一個向量只需用三個不共面的向量就能線性表示，而且這種表示是惟一的．

追問1 空間向量基本定理中的三個不共面向量可以構(gòu)成空間的一個

，這三個向量叫作

．追問2 如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作

．追問3 如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直而且都是單位向量，那么這個基底叫作

，通常用

表示．

(在學生回答的基礎(chǔ)上給出下面的概念)

基底、基向量、正交基底和單位正交基底 如果三個向量,,不共面，那么{,,}稱為空間的一個基底，,,叫基向量．如果空間一個基底的三個基向量兩兩垂直，那么這個基底叫正交基底．特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{,,}表示．追問4 如果把空間向量基本定理中的基向量{,,}改用任意一個向量改用會有一個什么樣的結(jié)論呢？

(在學生回答的基礎(chǔ)上給出下列推論)

推論 設(shè)

O

,

A

,

B

,

C

是不共面的四點，則對空間任意一點

P

，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(

x

,

y

,

z

)，使

問題4

如何運用空間向量基本定理解決問題？

2

.

3 數(shù)學運用

例1

如圖2，在正方體

OADB

-

CA

D

B

中，點

E

是

AB

和

OD

的交點，

M

是

OD

與

CE

的交點，試分別用向量表示和

圖2 圖3

(學生口答，教師板書)

變式 該正方體為平行六面體(圖3)，其余條件不變，結(jié)果怎樣？

生：結(jié)論也不變．

追問 上述圖中點

M

是△

ABC

的

心(從外、內(nèi)、重、垂中選一個)．

提煉1 上述正方體或平行六面體中的任意一個確定的向量都可以用惟一表示．

提煉2 在三棱錐

O

-

ABC

中，若點

M

是底面△

ABC

的重心，則

例2

已知{,,}為空間一個基底，能否以作為空間的一個基底？

分析 三個向量能否作為一個基底，關(guān)鍵看它們是否不共面．

解

假設(shè)共面．由于顯然有與不共線，據(jù)共面向量定理可設(shè)于是+=

x

(-)+

y

(-)=

x

+

y

-(

x

+

y

)．因為{,,}為空間一個基底，所以依據(jù)空間向量基本定理中惟一性，得此方程無解，矛盾！所以不共面，故能作為空間的一個基底．

追問 能用上述基底表示向量嗎？

生：能．

師：那又如何表示呢？

生：利用待定系數(shù)法，設(shè)即有4+-=(

m

+

n

)+(

m

+

k

)-(

n

+

k

)．因為{,,}為空間一個基底，所以解之得因此，

2

.

4 課堂小結(jié)

■本節(jié)課是如何研究空間向量基本定理的？(類比法猜想，構(gòu)造法、反證法證明，運算法則法、待定系數(shù)法應用)

■空間向量基本定理、平面向量基本定理、共線向量定理有什么區(qū)別和聯(lián)系？(略)

說明

前面標注■的問題稱為“回問”．所謂“回問”就是反思提煉，總結(jié)提升．

3 教學反思

本節(jié)課的教學設(shè)計沒有采用新課程倡導的“問題情境—知識建構(gòu)—知識運用—課堂小結(jié)”的模式，而是采用了原創(chuàng)的“四問驅(qū)動”的教學范式，主要基于以下兩個原因：一是筆者目前主持的一項省規(guī)劃辦課題就是關(guān)于“四問驅(qū)動”范式的課題，所以采用“四問驅(qū)動”的教學范式進行授課可以豐富課題研究成果；二是倡導用“四問驅(qū)動”的范式培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，因為“四問驅(qū)動”范式就是為聚焦上述“四能”而設(shè)計的教學范式．

由于“四問驅(qū)動”教學范式有相對固定的模式，所以在教學設(shè)計時如何設(shè)計“四問”就顯得非常重要．那么本節(jié)課是如何設(shè)計“四問”的呢？

第一、設(shè)計啟問時要依據(jù)教學目標，并注意將啟問前的問題情境設(shè)計得新穎簡潔明了有趣．設(shè)計探問時要依據(jù)啟問，并注意各探問之間呈并列或遞進關(guān)系．設(shè)計追問時要依據(jù)探問，并注意讓追問的思維量適當小一些，讓思維的靈動在此能體現(xiàn)出來．設(shè)計回問時要把握課堂立意，把握深度學習，做到既有一般性的梳理歸納，又有畫龍點睛式的拔高．而本節(jié)課在設(shè)計“四問”時，就是遵循上面的設(shè)計思路來進行的．在設(shè)計啟問、追問和回問時都比較順利，唯獨在設(shè)計探問時出現(xiàn)了一個糾結(jié)，就是“基底概念和定理的推論”這個內(nèi)容是作為探問給出來還是作為追問給出來，最終是把它們作為追問給出來．其原因是堅持探問之間的關(guān)系是并列或遞進關(guān)系．

第二、根據(jù)“四問驅(qū)動”的含義，“四問驅(qū)動”中的問題應該具有驅(qū)動性，那么在進行“四問”設(shè)計時，如何體現(xiàn)驅(qū)動性？主要做法是：一方面讓所有設(shè)計出來的問題都要有一定的思維量，而且問題之間要連貫并形成一個體系；另一方面，在授課時要留有時間讓學生思考或演算，而不總是教師自問自答．

總之，運用“四問驅(qū)動”教學范式進行教學是一種新的嘗試，其基本特征是：教學目標明確，教學內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，課堂立意較高；制作課件時重視情境設(shè)計和四問設(shè)計，課堂實施時重視合作探究和“四能”培養(yǎng)等．本節(jié)課不足之處表現(xiàn)在學生動手依然偏少，變式訓練還有待加強．