王會(huì)明，張 揚(yáng)，王雪闖

(重慶郵電大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)與仿生控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

1 引言

當(dāng)前移動(dòng)機(jī)器人已被廣泛地應(yīng)用于航天航空、機(jī)場服務(wù)、倉儲(chǔ)物流等各種重要領(lǐng)域，軌跡跟蹤問題一直是移動(dòng)機(jī)器人控制研究的熱點(diǎn)之一[1-3].為了讓移動(dòng)機(jī)器人達(dá)到高精度的跟蹤目的，學(xué)者們提出了很多有效的控制方法，如，反步法控制[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[5-6]、滑?？刂芠7-8]、自適應(yīng)控制[9]等.然而上面提到的這些控制算法都是建立在“純滾動(dòng)無滑動(dòng)”理想條件下的，并沒有考慮實(shí)際運(yùn)行中擾動(dòng)對移動(dòng)機(jī)器人控制性能的影響.因此當(dāng)移動(dòng)機(jī)器人遭受各種嚴(yán)重?cái)_動(dòng)時(shí)，將會(huì)不可避免地影響其控制性能[10].

為了解決上述存在的問題，文獻(xiàn)[11]針對車輪存在縱向滑動(dòng)，提出了一種自適應(yīng)非線性反饋控制器，以補(bǔ)償擾動(dòng)影響實(shí)現(xiàn)了軌跡跟蹤的目的.文獻(xiàn)[12]提出了一種級(jí)聯(lián)的控制器結(jié)構(gòu)，解決了在有界外擾和參數(shù)不確定性條件下的輪式移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤問題，并且通過仿真驗(yàn)證了所提控制方法的魯棒性和有效性.文獻(xiàn)[13]討論了輪式移動(dòng)機(jī)器人存在外部擾動(dòng)和慣性不確定性情況下的自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制問題.文獻(xiàn)[14]針對具有側(cè)向和縱向滑動(dòng)下的非線性離散時(shí)間移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，提出了一種基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制跟蹤算法.上述提到的控制策略都在一定程度上提高了控制系統(tǒng)的跟蹤性能，具有良好的擾動(dòng)抑制能力.但是，上述方法普遍存在以下問題:1)控制器參數(shù)多，調(diào)參困難;2)算法計(jì)算量大，需要高性能的設(shè)備來配合，增加了硬件成本.

近些年來，基于觀測器的抗擾控制方法由于具有眾多優(yōu)點(diǎn)得到了廣泛關(guān)注[15-17].常用的觀測器主要有滑模觀測器、擾動(dòng)觀測器、廣義比例積分觀測器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器等.文獻(xiàn)[18]提出了一種基于擾動(dòng)觀測器的自適應(yīng)跟蹤控制器，解決了輪式移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型中存在不確定擾動(dòng)的問題，有效地提高了控制系統(tǒng)的抗干擾能力.文獻(xiàn)[19]設(shè)計(jì)了一種魯棒跟蹤控制策略，該方法由基于滑模觀測器設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器和非線性擾動(dòng)觀測器設(shè)計(jì)的動(dòng)力學(xué)控制器組成，解決了輸入干擾以及縱向與側(cè)向滑動(dòng)干擾下移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問題.應(yīng)該指出的是上述提到的這些擾動(dòng)觀測器都可以用來觀測系統(tǒng)擾動(dòng)，使用時(shí)可以根據(jù)所研究系統(tǒng)實(shí)際情況來選擇合適的觀測器.

本文主要研究不確定擾動(dòng)情況下輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問題.首先，建立在車輪縱向和側(cè)向滑動(dòng)情況下移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型;然后，利用該模型設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器來估計(jì)移動(dòng)機(jī)器人受到的各種擾動(dòng);接著，利用擾動(dòng)估計(jì)構(gòu)建軌跡跟蹤控制器，同時(shí)，給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明過程;最后，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的控制器能夠有效地抑制干擾對系統(tǒng)性能造成的不利影響，使移動(dòng)機(jī)器人快速準(zhǔn)確地跟蹤上其參考軌跡.

2 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型描述

如圖1所示，定義XOY坐標(biāo)系為固定參考坐標(biāo)系，移動(dòng)機(jī)器人配備了兩個(gè)主動(dòng)輪和一個(gè)從動(dòng)輪.主動(dòng)輪通過電機(jī)給移動(dòng)機(jī)器人提供動(dòng)力，可通過改變電機(jī)的輸入電壓調(diào)節(jié)速度，達(dá)到調(diào)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人位姿的目的.從動(dòng)輪主要起到維持機(jī)器人平衡的作用.關(guān)于圖中的符號(hào)做如下說明:r表示車輪的半徑，b表示車輪之間距離的一半(輪距)，P表示車輪之間距離的幾何中心，C為移動(dòng)機(jī)器人的質(zhì)心，d表示P，C兩點(diǎn)之間的距離.

圖1 輪式移動(dòng)機(jī)器人模型Fig.1 Model of wheeled mobile robot

定義移動(dòng)機(jī)器人的完整位姿為q[x y θ φr φl]T，考慮其在實(shí)際運(yùn)行時(shí)由于地面濕滑、摩擦等原因受到縱向和側(cè)向滑動(dòng)擾動(dòng)影響，輪式移動(dòng)機(jī)器人滿足下列非完整約束方程[20]:

式中:x和y表示移動(dòng)機(jī)器人在固定參考坐標(biāo)系(XOY坐標(biāo)系)下的坐標(biāo)，θ表示方向角，ζ表示側(cè)向滑動(dòng)線速度，φr和φl表示兩主動(dòng)輪的角位移，ηr和ηl表示兩主動(dòng)輪的縱向滑動(dòng)角速度.

則受到車輪縱向和側(cè)向滑動(dòng)擾動(dòng)影響的輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可描述為

式中:

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

定義跟蹤誤差exx-xr，eyy-yr，結(jié)合公式(2)可得

式中

假設(shè)1假設(shè)系統(tǒng)(3)中擾動(dòng)d1，d2的一階導(dǎo)數(shù)存在，且滿足條件≤μ，μ ∈R+.

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)計(jì)

定義x1ex，x2ey，系統(tǒng)(3)可擴(kuò)張為如下形式:

根據(jù)上式可設(shè)計(jì)如下所示的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO):

基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的擾動(dòng)估計(jì)，可設(shè)計(jì)線性自抗擾控制器為(LADRC)[21-22]

式中kx，ky ＞0為控制器增益.然后根據(jù)下式:

可得系統(tǒng)(2)中的v和ω.

3.2 穩(wěn)定性分析

將控制律(6)帶入到系統(tǒng)(3)中，在設(shè)計(jì)的控制器作用下，跟蹤誤差的動(dòng)態(tài)方程可寫為

式中:

由于A為Hurwitz矩陣，因此存在對稱正定矩陣P∈R6×6，使得ATP+P A-I條件成立.

定理1對于受擾移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)(2)，在擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(5)和控制器(7)中參數(shù)選擇合適的情況下，若系統(tǒng)(2)中的擾動(dòng)滿足假設(shè)1，則系統(tǒng)跟蹤誤差將會(huì)漸近收斂至下面的有界區(qū)域

證定義Lyapunov函數(shù)V(E)ETP E，對該函數(shù)求導(dǎo)可得

將上式帶入到式(12)中可得

根據(jù)假設(shè)1可得上式的解

則系統(tǒng)跟蹤誤差將會(huì)漸近收斂至有界區(qū)域(11).證畢.

注1針對移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制問題，本文貢獻(xiàn)主要有3點(diǎn):1)建立了系統(tǒng)在各類擾動(dòng)影響下的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型;2)給出了包括控制器(6)和觀測器(5)在內(nèi)的整個(gè)機(jī)器人閉環(huán)系統(tǒng)的詳細(xì)穩(wěn)定性證明過程;3)后續(xù)的仿真和實(shí)驗(yàn)測試驗(yàn)證了所提控制方法的有效性.

4 仿真與實(shí)驗(yàn)測試

為了顯示所推薦控制方法的優(yōu)點(diǎn)，本文給出了其與傳統(tǒng)PI控制方法的仿真和實(shí)驗(yàn)對比結(jié)果.測試中用到的PI控制器設(shè)計(jì)如下:

4.1 仿真測試

假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人在前30 s未受到外界擾動(dòng)影響，30 s之后受到如下形式的外加擾動(dòng):

在該仿真實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人的初始位姿為q(0)[-0.2 0.2 0 0 0]T，推薦控制器的增益選為kxky0.5，β0γ0ρ2，β1γ12ρ，ρ2.5;PI控制器參數(shù)設(shè)置為:仿真步長設(shè)置為0.01 s.

仿真結(jié)果如圖2-3所示，圖2分別描述了在所推薦控制方法和傳統(tǒng)PI控制方法作用下移動(dòng)機(jī)器人的參考位置和實(shí)際位置，位置跟蹤誤差，航向角跟蹤以及線速度和角速度變化曲線，圖3給出了所提控制方法中擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對擾動(dòng)的估計(jì)曲線.從圖2(b1)與圖2(b2)中可以看到，當(dāng)移動(dòng)機(jī)器人受到外部擾動(dòng)影響時(shí)，與傳統(tǒng)的PI控制算法相比，本文提出的控制算法可以使機(jī)器人獲得更小的跟蹤誤差，這表明所提的控制算法具有很好的跟蹤性能和較強(qiáng)的干擾抑制能力.

圖2 在所推薦控制(第1列)和PI控制(第2列)下的跟蹤曲線(仿真)Fig.2 Tracking curves(simulation results)under the proposed control(the 1st column)and PI method(the 2nd column)

圖3 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對擾動(dòng)的估計(jì)曲線(仿真)Fig.3 Disturbance estimations based on extended state observer(simulation results)

需要指出的是由于本文研究的移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)是一個(gè)微分平坦的系統(tǒng)，根據(jù)微分同胚映射，狀態(tài)θ可以由系統(tǒng)的平坦輸出(x，y)來表示.因此只要能夠保證實(shí)際位置(x，y)跟蹤上其參考位置(xr，yr)，狀態(tài)θ就可以在一定誤差范圍內(nèi)跟蹤上θr，這一點(diǎn)也可以通過圖2c的測試結(jié)果得到驗(yàn)證.關(guān)于移動(dòng)機(jī)器人微分平坦屬性的詳細(xì)介紹及相應(yīng)的控制器設(shè)計(jì)思路，可以參考文獻(xiàn)[24].

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖4是用于算法驗(yàn)證的移動(dòng)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，該移動(dòng)機(jī)器人主要由微控制器、直流減速電機(jī)、電池、車輪以及鋁合金的車身組成.微控制器的型號(hào)為STM32F 103RCT6，該控制器運(yùn)行底層電機(jī)速度控制算法.兩臺(tái)24 V直流減速電機(jī)為機(jī)器人提供動(dòng)力，可通過500線光電編碼器測量轉(zhuǎn)速信息.圖5是系統(tǒng)整體框架圖，該系統(tǒng)主要由搭載微控制器的移動(dòng)機(jī)器人和執(zhí)行MATLAB/Simulink的計(jì)算機(jī)兩部分組成.首先，微控制器利用串口外設(shè)接收MATLAB/Simulink發(fā)來的控制指令(線速度和角速度)，并隨即將控制指令轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的左，右輪直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速指令，同時(shí)又可以利用定時(shí)器外設(shè)以定時(shí)采樣的方式得到兩編碼器的增量值，計(jì)算兩臺(tái)直流電機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)速;然后，通過兩直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速信息可計(jì)算出當(dāng)前時(shí)刻的線速度和角速度，并且采用基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的里程計(jì)算法推算出當(dāng)前位置(通過串口發(fā)送到MATLAB/Simulink);最后，運(yùn)行底層電機(jī)控制算法的微控制器利用直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速指令和實(shí)際轉(zhuǎn)速之間的差值計(jì)算出PWM信號(hào)，將該信號(hào)作用到直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)器上，實(shí)現(xiàn)速度調(diào)節(jié)的功能.

圖4 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.4 Experimental test platform

圖5 系統(tǒng)整體框架圖Fig.5 System structure diagram

在該實(shí)驗(yàn)測試中，移動(dòng)機(jī)器人的初始位姿設(shè)置為q(0)[0 0 0 0 0]T，實(shí)驗(yàn)中推薦控制器和PI控制器的參數(shù)設(shè)置分別與仿真測試時(shí)相同.兩種控制方法的采樣控制周期都設(shè)置為0.01 s.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6-7所示，分別描述了在兩種控制方法下移動(dòng)機(jī)器人在X軸和Y軸方向的軌跡跟蹤效果，線速度和角速度的跟蹤效果以及對擾動(dòng)的估計(jì)結(jié)果.根據(jù)圖6(b1)和圖6(b2)的位置跟蹤誤差曲線可以看出，在機(jī)器人穩(wěn)態(tài)運(yùn)行至30 s時(shí)施加擾動(dòng)，所推薦控制方法的跟蹤誤差范圍±0.05 m明顯小于PI控制方法的跟蹤誤差范圍±0.1 m.結(jié)果表明本文提出的控制方法具有較好的抗干擾能力.

圖6 所推薦控制(第1列)和PI控制(第2列)下的跟蹤曲線(實(shí)驗(yàn))Fig.6 Tracking curves(experiment results)under the proposed control(the 1st column)and PI method(the 2nd column)

圖7 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對擾動(dòng)的估計(jì)曲線(實(shí)驗(yàn))Fig.7 Disturbance estimations based on extended state observer(experiment results)

注2通過比較本文所推薦的控制器(4)-(7)和PI控制器(13)可以看出，本文所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡單，調(diào)參數(shù)量少(調(diào)參數(shù)量與PI控制器的數(shù)量相同都只有兩個(gè)).同時(shí)與已有研究成果[11-14]相比，所推薦方法由于使用ESO來實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)的估計(jì)系統(tǒng)干擾，不需要設(shè)計(jì)計(jì)算量較大的自適應(yīng)或者強(qiáng)化學(xué)習(xí)機(jī)制，因而可以有效降低系統(tǒng)計(jì)算負(fù)擔(dān).

5 結(jié)語

為了解決移動(dòng)機(jī)器人在干擾情況下的軌跡跟蹤控制問題，首先，建立起移動(dòng)機(jī)器人在車輪縱向和側(cè)向滑動(dòng)情況下的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型;其次，根據(jù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對擾動(dòng)的估計(jì)，提出了一種基于線性自抗擾的軌跡跟蹤控制方法;然后，通過定義的Lyapunov函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性;最后，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都驗(yàn)證了所提控制方法的有效性和魯棒性.為了進(jìn)一步提高移動(dòng)機(jī)器人的跟蹤性能，接下來作者將利用高性能的微控制器來設(shè)計(jì)和驗(yàn)證基于非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自抗擾控制算法和滑?？刂扑惴?