張文君，韓偉，明森，杜嘉儀

（中北大學(xué)理學(xué)院，山西 太原 030051）

0 引言及主要結(jié)論

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，偏微分方程作為一門重要的學(xué)科被廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域。波動(dòng)方程是偏微分方程的重要分支，常被用于研究波的傳播及弦的微小振動(dòng)等物理現(xiàn)象。波動(dòng)方程是一類典型的雙曲型方程，具有重要的物理背景、理論意義和應(yīng)用價(jià)值。波動(dòng)方程已成為非線性發(fā)展方程研究的熱點(diǎn)問題之一，非線性波動(dòng)方程的穩(wěn)定性理論、散射理論及其破裂性態(tài)的研究可以更好地揭示波的傳播規(guī)律等。由于非線性項(xiàng)的影響，波在傳播過程中會(huì)變得陡峭直到破裂。由于現(xiàn)實(shí)中存在摩擦現(xiàn)象，因而阻尼等因素會(huì)影響物理系統(tǒng)的能量，結(jié)合非線性外力作用會(huì)影響解的破裂性態(tài)與生命跨度估計(jì)。然而，由于阻尼項(xiàng)系數(shù)依賴于時(shí)間變量，從而會(huì)對(duì)物理系統(tǒng)的能量以及振幅產(chǎn)生更為復(fù)雜的影響。因此，本文研究帶阻尼項(xiàng)波動(dòng)方程解的破裂性態(tài)，更深刻和全面地認(rèn)識(shí)波傳播理論中的物理現(xiàn)象，為數(shù)值模擬和實(shí)際應(yīng)用提供理論支撐，具有重要的意義。

近來，許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)波動(dòng)方程的解的破裂及其生命跨度的上界估計(jì)與非線性項(xiàng)指數(shù)和空間維數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了大量的研究［1-20］。Strauss W A［1］得到波動(dòng)方程utt-Δu=|u|p的初值問題具有Strauss臨界指數(shù)pc(n)。當(dāng)n≥2時(shí)，pc(n)是二次方程

的正根；當(dāng)1＜p≤pc(n)時(shí)，問題的解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂；當(dāng)p＞pc(n)時(shí)，問題存在整體解。文獻(xiàn)［2］研究了變系數(shù)波動(dòng)方程的初邊值問題，其中非線性項(xiàng)為|u|p。文獻(xiàn)［4］研究了帶導(dǎo)數(shù)非線性項(xiàng)的波動(dòng)方程ut-Δu=a2|ut|p+b2|?u|p(a2+b2＞0)具有Glassey臨界指數(shù)pG(n)=1+2(n-1)。文獻(xiàn)［5］在n維全空間中研究了次臨界指數(shù)帶散射阻尼項(xiàng)μ(1+t)-βut(β＞1)的波動(dòng)方程，其中非線性項(xiàng)為|u|p。文獻(xiàn)［6］研究了帶散射阻尼項(xiàng)與尺度不變阻尼項(xiàng)的波動(dòng)方程，其中非線性項(xiàng)為|ut|p。文獻(xiàn)［7］在次臨界指數(shù)時(shí)研究了帶散射阻尼項(xiàng)與組合非線性項(xiàng)的波動(dòng)方程。利用檢驗(yàn)函數(shù)方法和迭代方法得到解的生命跨度的上界估計(jì)。文獻(xiàn)［12］研究了帶散射阻尼項(xiàng)和負(fù)質(zhì)量項(xiàng)的波動(dòng)方程，得到解的生命跨度的上界估計(jì)。文獻(xiàn)［18］在Rn中研究了半線性波動(dòng)方程耦合系統(tǒng)解的破裂。

本文在外區(qū)域上研究如下變系數(shù)波動(dòng)方程的初邊值問題

其 中μ＞0，β＞1，Ωc=RnB1(0)。supp(f，g)?BR(0)∩Ωc，其 中BR(0)={x||x|≤R}，R＞2。f(x)，g(x)≥0且f(x)，g(x)不恒等于0。A(x)={aij(x)}n i，j=1表示光滑實(shí)對(duì)稱n×n矩陣，并且存在正常數(shù)C使得C-1|ξ|2≤aij(x)ξi ξj≤C|ξ|2，?ξ∈Rn，x∈Ωc。此處采用愛因斯坦記號(hào)，重復(fù)指標(biāo)i，j表示求和。當(dāng)|x|＞R＞2時(shí)，aij(x)=δij，其中δij為Kroneckerδ函數(shù)。V(x)表示位勢(shì)。

本文擬結(jié)合文獻(xiàn)［7，12］，在外區(qū)域上研究變系數(shù)問題（1）。主要結(jié)果如下。

定理1設(shè)n≥1，V(x)＞0，且V(x)≤C(1+|x|2+δ)-1，C＞0，δ＞0均為常數(shù)。aij(x)=δij。假設(shè)問題（1）的解滿足suppu?{(x，t)∈Ωc×[0，T)||x|≤t+R}。若p＞1且

則解u會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂，且生命跨度T(ε)的上界估計(jì)為T(ε)≤Cε-2p()q-1[2q+2-(n-1)p(q-1)]，其 中C是與ε無關(guān)的正常數(shù)。

定理2設(shè)n≥2，V(x)＞0，且V(x)≤C(1+|x|2+δ)-1，C＞0，δ＞0均為常數(shù)。aij(x)=δij。設(shè)問題（1）的解滿足與定理1相同的條件。當(dāng)p＞2n(n-1)，1＜q＜(n+1)(n-1)時(shí)，解u會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂，且生命跨度T(ε)的上界估計(jì)為

定理3設(shè)n≥1，V(x)＞0，且V(x)≤C(1+|x|2+δ)-1，C＞0，δ＞0均為常數(shù)。aij(x)=δij。假設(shè)問題（1）的解滿足與定理1相同的條件。則解的生命跨度上界估計(jì)為

定理4設(shè)n=1時(shí)p＞1，n≥2時(shí)1＜p＜pG(n)，V(x)≤-K0，其中K0＞0。若問題（1）的解滿足與定理1相同的條件，則解u會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂，且生命跨度的上界估計(jì)為T(ε)≤Cε-2p(p-1)r(p，n)。

注1當(dāng)V(x)=0時(shí)，問題（1）為帶散射阻尼項(xiàng)的變系數(shù)波動(dòng)方程的初邊值問題。類似于文獻(xiàn)［7］的證明過程，可知定理1-3的結(jié)論仍成立。

注2文獻(xiàn)［5-6］在全空間中研究波動(dòng)方程的初值問題，其中非線性項(xiàng)分別為|u|p，|ut|p。本文在外區(qū)域上研究帶組合非線性項(xiàng)的變系數(shù)問題（1）。通過構(gòu)造乘子，利用檢驗(yàn)函數(shù)方法與迭代方法，得到問題（1）解的生命跨度的上界估計(jì)。當(dāng)V(x)＞0時(shí)將文獻(xiàn)［7］中研究的問題推廣至外區(qū)域上帶位勢(shì)項(xiàng)的變系數(shù)問題。當(dāng)V(x)=0時(shí)將文獻(xiàn)［7］研究的問題推廣至外區(qū)域上變系數(shù)問題。當(dāng)V(x)≤-K0時(shí)將文獻(xiàn)［12］中研究的問題推廣至外區(qū)域上帶負(fù)位勢(shì)項(xiàng)的變系數(shù)問題。

1 一些引理

引理1［3］當(dāng)V(x)≥0時(shí)，存在檢驗(yàn)函數(shù)φ0(x)，φ1(x)∈C2(Ωc)滿足

其中C0，C1為正常數(shù)。特別地，當(dāng)V(x)=0時(shí)，有

現(xiàn)記ψ(x，t)=e-tφ1(x)，其中φ1(x)如引理1中所述。

引理2［2］設(shè)p＞1，φ0(x)與φ1(x)滿足引理1中的條件。則?t≥0，有

其中C為正常數(shù)。

令m(t)=exp(μ(1+t)1-β(1-β)，則有m(0)≤m(t)≤1。

引理3［7］設(shè)ψ(x，t)滿足引理，u是問題（1）在[0，T)上的弱解。記

則對(duì)?t≥0，有

引理4［2］設(shè)φ0(x)，φ1(x)滿足引理1中的條件，并且

其中φ0(x)滿足x∈Ωc，0＜φ0(x)＜1。

并且存在常數(shù)C1＞0，使得0＜φ1(x)≤C1(1+|x|)-(n-1)2e|x|，?x∈Ωc。

引理5［7］設(shè)ψ(x，t)滿足引理1所述，u是問題（1）在[0，T)上的弱解。記

則對(duì)?t≥0，有

首先，給出問題（1）的弱解的定義。

定義1當(dāng)V(x)＞0，aij=δij時(shí)，問題（1）的弱解滿足

并且

定義2當(dāng)V(x)≤-K0時(shí)，問題（1）的弱解滿足

并且

其中φ∈C∞0(Ωc×[0，T))，t∈[0，T)。

2 定理1的證明

引入如下函數(shù)

其中u是問題（1）在[0，T)上的解，φ1(x)如引理1所述，ψ(x，t)=φ1(x)e-t。

當(dāng)V(x)＞0時(shí)，利用aij(x)=δij，在式（1）兩邊同乘以φ0(x)，并積分計(jì)算可知

由引理1可得

從而

下面建立F0(t)的估計(jì)。

在式（4）中令φ(x，s)=φ0(x)，其中|x|≤s+R，結(jié)合引理1和式（8），得到

兩邊同乘以m(t)，利用F0(0)＞0，F(xiàn)′0(0)≥0，m(0)≤m(t)≤1，則?t≥0，計(jì)算可得

類似于文獻(xiàn)［7］中的計(jì)算，可知F1(t)的估計(jì)滿足引理3中的式（2）。

下面建立F2(t)的估計(jì)。

由引理2，引理5以及H?lder不等式得

其中C3=m(0)C2[n(n+1)]。利用H?lder不等式可知

下面利用迭代方法建立問題（1）解的生命跨度T(ε)的上界估計(jì)。假設(shè)F0(t)滿足

且D1=C3εp，a1=(n-1)p2，b1=n+1。將式（12）代入式（11）得到

當(dāng)t≥1時(shí)，J(t)≥log(D1t1+2(q-1)-(n-1)p2)-C6，C6=((n-1)p2+n)log 2+Sq(∞)。所以若t≥，則有J(t)≥1。在式（14）中令j→∞，可知F0(t)→∞，從而得到定理1中生命跨度的上界估計(jì)。定理1證畢。

3 定理2-3的證明

定理2的證明根據(jù)式（9）可得

利用1＜q＜(n+1)(n-1)，可得定理2中生命跨度的上界估計(jì)。定理2證畢。

定理3的證明結(jié)合文獻(xiàn)［6］和定理1的證明，令

根據(jù)m(0)≤m(t)≤1可知，m1-p(t)≥1。利用引理2，結(jié)合G(t)＞0，得到

其中H(0)=(m(0)C0，g2)ε＞0。通過求解常微分不等式（17），即得定理3中的生命跨度估計(jì)。定理3證畢。

4 定理4的證明

首先建立F0(t)的估計(jì)。當(dāng)V(x)≤-K0時(shí)，在式（5）中令φ(x，s)=φ0(x)，由引理4得到

利用V(x)≤-K0，在式（18）兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，計(jì)算得到

在式（19）兩邊同乘以m(t)，并在[0，t]上積分可得

類似于文獻(xiàn)［12］中的分析，可得F0(t)＞0，進(jìn)而得到F′0(t)≥0。

下面建立F1(t)的估計(jì)。對(duì)式（5）求導(dǎo)并且兩邊同乘以m(t)并在[0，t]上積分，可知

在式（21）中令φ(x，t)=ψ(x，t)=e-tφ1(t)，則φt=-φ，φtt=?i(aij(x)?jφ(x，s))。于是

計(jì)算得到

從而F1(t)＞(1-e-2)2m(0)Cf，0ε，t≥1。根據(jù)引理2，引理5及式（9）得到式（11）。

類似于利用迭代方法證明定理1的過程，即可得到定理4中解的生命跨度估計(jì)，此處略之。定理4證畢。