溫曉蕾，李妙玲，陳智勇,，徐穎強，姚永玉

(1.河南水利與環(huán)境職業(yè)學院 土木工程系，鄭州 450008；2.洛陽理工學院 智能制造學院，河南 洛陽 471023；3.西北工業(yè)大學 機電學院，西安 710072)

隨著科學技術的發(fā)展，對軸承的振動質量提出了更高要求。如何降低工作中軸承的振動，是軸承應用領域的重要技術難題。利用吸振技術對配套主機進行振動控制是有效的振動抑制手段，但目前傳統(tǒng)吸振器吸振頻帶狹窄，對寬轉速軸承減振效果不明顯。

國內外學者針對基于能量阱的減振控制進行了大量的研究：20世紀中葉，文獻[1]提出吸振器添加非線性剛度元件——非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink，NES)進行振動控制，非線性能量阱可有效拓寬減振頻帶，且附加質量小，穩(wěn)定性好；文獻[2]對NES靶能量傳遞進行了深入研究，證明系統(tǒng)能量可單向傳遞至NES中，且其具備附加質量小，減振頻帶寬，可靠性高等優(yōu)點；文獻[3]證明能量阱可以快速吸收耗散梁的大部分振動能量，并基于能量耗散率優(yōu)化了能量阱在梁上的安裝位置；文獻[4]將能量阱附加在機械臂上，利用數(shù)值法分析了能量阱的工作性能；文獻[5]研究表明，能量阱可以有效抑制星載飛輪在瞬態(tài)激勵和穩(wěn)態(tài)激勵下的振動；文獻[6]利用振子內部旋轉設計了一種能量阱，與純立方剛度能量阱的對比表明該結構具備更好的減振性能及穩(wěn)定性；文獻[7]研究了沖擊載荷下能量阱的減振性能，結果表明能量阱能使船艦快速減振，但能量阱對沖擊強度較為敏感，只有達到觸發(fā)閾值時才可高效減振；文獻[8]將能量阱安裝在夾層梁內，研究能量阱對梁的振動抑制，結果表明減小能量阱阻尼可提高其工作性能；文獻[9]研究了受控系統(tǒng)在附加能量阱后產生高分支響應的條件，并通過串聯(lián)能量阱在一定范圍內消除高分支響應，提高了能量阱在不同激勵強度下的減振穩(wěn)定性；文獻[10]基于分段線性構造了非光滑非線性恢復力，建立了軸承系統(tǒng)耦合NES的力學模型，利用遺傳算法對NES的結構參數(shù)進行了優(yōu)化，分析了多自由度系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化問題，試驗結果表明，優(yōu)化后的NES可在更寬的頻帶內對軸進行振動抑制；文獻[11]以能量阱耗散為工作性能指標，分析了能量阱在沖擊激勵下的減振性能，并研究了能量阱結構參數(shù)對觸發(fā)閾值的影響，結果表明提高非線性剛度可以降低能量阱觸發(fā)閾值，但非線性剛度過大，會造成強激勵下能量阱性能下降；文獻[12]研究了在諧波激勵下受控系統(tǒng)安裝能量阱及壓電俘能器時振動控制與能量收獲的集成問題，并分析了共振附近的準周期運動對振幅、能量收集帶寬的影響；文獻[13]利用數(shù)值仿真分析了雙穩(wěn)態(tài)能量阱各個結構參數(shù)對其減振性能的影響，通過對能量阱結構參數(shù)的逐次優(yōu)化，得到了質量比以及調諧頻率比的最佳區(qū)間，同時兼顧了能量阱減振性能及能量俘獲，且只有當外界激勵強度達到一定程度時，能量阱才能高效工作。

綜上分析，如何降低NES觸發(fā)閾值，提高NES在低擾動工況下的工作性能具有重要研究意義。雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱(Bistable Nonlinear Energy Sink，BNES)的非線性剛度由立方剛度及負剛度構成，可降低能量阱的觸發(fā)閾值，提高其在低擾動下的工作性能。本文利用線性剛度元件，通過非線性幾何關系構建BNES，并耦合于懸臂梁系統(tǒng)進行減振分析；通過數(shù)值計算，利用勢能函數(shù)分析NES觸發(fā)閾值與非線性剛度比的關系，研究BNES的瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)工作性能。

1 軸承系統(tǒng)耦合BNES模型構建

BNES由質量單元、阻尼單元、非線性剛度及負剛度組成。文中利用線性元件，通過幾何非線性關系構造非線性恢復力以實現(xiàn)非線性剛度，如圖1所示。

圖1 非線性剛度實現(xiàn)

振子在位置3利用2個剛度系數(shù)相同的線性彈簧連接，此時為預緊狀態(tài)；位置1，2為兩彈簧自由狀態(tài)。當振子離開位置3時，可得恢復力F與位移x的關系為

(1)

式中：F為位移x方向的恢復力；k為彈簧的剛度系數(shù)；x為偏離位置3的位移；L為彈簧原長；s為振子位于位置3時，彈簧處于壓縮狀態(tài)下的長度。利用麥克勞林公式把(1)式展開為

(2)

F≈-K1x+K3x3，

(3)

當振子的位移滿足|x|≤0.4s時，(3)式的誤差不高于5%[14]。

將上述BNES安裝于軸承系統(tǒng)(即主系統(tǒng))中，如圖2a所示，并將系統(tǒng)簡化為如圖2b所示的二自由度模型。

(a)軸承系統(tǒng)安裝能量阱示意圖

外界激勵下系統(tǒng)的動力學方程為

，(4)

式中：mn，m分別為能量阱和軸的等效質量；Cn，C分別為能量阱和軸的等效阻尼；K1，K3分別為能量阱負剛度和立方剛度；K為軸的等效剛度；X，Y分別為能量阱和軸的位移；F(t)為激勵。

諧波激勵Fcos(ωt)下，對(4)式進行量綱一化得

，(5)

ζn=Cn/(2mnωn)，ζ=C/(2mωn)，

τ=ωnt，k1=K1/K，k3=L2K3/K，

x=X/L，y=Y/L，f=F/(KL)，μ=mn/m，

式中：ω，ωn分別為外界激勵頻率、主系統(tǒng)固有頻率；t為時間。

2 平衡點穩(wěn)定性分析

本節(jié)利用勞斯-赫爾維茨法則對系統(tǒng)的平衡點進行分析。

首先，取x1=x，x2=y，x3=x′，x4=y′，則(5)式的一階微分形式表示為

(6)

由(5)式可知

(7)

令

(8)

由(5)式可求得平衡點(0,0,0,0)對應的雅可比矩陣為

(9)

對應的特征方程為det(J1-λI)=0，則

a0λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0，

(10)

a0=1，a1=2ζ+4ζn，

根據(jù)勞斯-赫爾維茨可知，(8)式由上述特征系數(shù)組成的勞斯-赫爾維茨行列式為

(11)

對應的特征方程為det(J2-λI)=0，則

b0λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4=0，

(12)

b0=1，b1=2ζ+4ζn，

Δ1=b1=2ζ+4ζn>0，

圖3 非線性剛度比對勢能函數(shù)的影響

由圖3可知，勢能函數(shù)存在1個勢壘和2個勢阱，在BNES跨過勢壘做阱間大幅振蕩時，BNES高效減振，且勢阱深度隨非線性剛度比α的變大而降低，故通過調節(jié)非線性剛度比可以控制勢阱深度，進而改變BNES的觸發(fā)閾值。

3 BNES減振性能分析

3.1 瞬態(tài)減振性能分析

利用集中參數(shù)模型，根據(jù)(5)式建立的二自由度動力學方程，分析BNES的減振性能。系統(tǒng)中參數(shù)設置為：μ=0.05，ζn=0.01，k1=0.1，k3=1，ζ=0.05，ωn=2rad/s，主系統(tǒng)初始條件為x(0)=y(0)=x′(0)=0，y′(0)=0.45，對所有物理量進行量綱一化處理，并利用四階龍格庫塔法進行數(shù)值分析。

為表明BNES的減振性能，對比分析了有無安裝能量阱時主系統(tǒng)的時域響應，結果如圖4、圖5所示。由圖4可知，在初始條件下，主系統(tǒng)隨時間做衰減振動，利用本身阻尼耗散初始能量，至τ=100時，主系統(tǒng)仍有較大振幅。由圖5可知，在BNES作用下，主系統(tǒng)振動快速衰減，在約τ=50時，振幅趨于0。

圖4 無BNES時主系統(tǒng)的時域圖

(a)主系統(tǒng)的時域圖

主系統(tǒng)與BNES的小波圖如圖6所示，τ=0至τ=19間主系統(tǒng)和BNES發(fā)生1∶1共振及諧波共振，在τ=36時主系統(tǒng)振幅接近零。

(a)主系統(tǒng)小波圖

為對比分析BNES與NES在相同工況下的減振效果，取相同系統(tǒng)參數(shù)和初始條件，分析NES作用時主系統(tǒng)和NES的振動情況，結果如圖7所示。由圖可知，對同一系統(tǒng)，在相同激勵條件下，NES對主系統(tǒng)有一定減振作用，系統(tǒng)部分振動能量在NES中消耗，但由小波圖可知，主系統(tǒng)在τ=60附近仍有較大能量，因此BNES的減振效果更好。

(a)主系統(tǒng)的時域圖

3.2 穩(wěn)態(tài)減振性能分析

利用四階龍格庫塔法，在諧波激勵下對BNES進行穩(wěn)態(tài)性能分析。分析中系統(tǒng)參數(shù)與之前保持一致，激勵為F(t)=0.1cos(1.5τ)，初始條件為x(0)=y(0)=x′(0)=y′(0)=0，仿真結果如圖8所示。同時，為對比BNES和NES的減振效果，相同條件下分析NES作用時的運動情況，結果如圖9所示。BNES及NES在相同系統(tǒng)參數(shù)及外界激勵條件下與主系統(tǒng)的相對速度關系如圖10所示。

圖8 BNES減振性能

圖9 NES減振性能

圖10 BNES及NES在相同系統(tǒng)參數(shù)及外界激勵條件下與主系統(tǒng)的相對速度

對比圖8和圖9可知，在相同系統(tǒng)參數(shù)及外界激勵條件下，BNES振動幅度遠遠大于NES；由圖10可知，BNES與主系統(tǒng)相對速度極值約為NES與主系統(tǒng)相對速度極值的3.2倍。因為能量阱消耗能量P正比于能量阱與主系統(tǒng)的相對速度Δv的平方[13]，而BNES與主系統(tǒng)相對運動劇烈，可保證能量通過能量阱阻尼耗散。

4 BNES觸發(fā)閾值分析

基于能量傳遞率分析BNES在諧波激勵下的觸發(fā)閾值，系統(tǒng)參數(shù)仍保持不變，激勵為F(t)=fcos(2τ)，初始條件為x(0)=y(0)=x′(0)=y′(0)=0。定義能量傳遞率為[7]

T(τ)={μx′2(τ)+k1[x(τ)-y(τ)]2+

(13)

式中：T(τ)為BNES在不同時刻存儲的總瞬態(tài)動能及勢能與系統(tǒng)瞬態(tài)總能量的比值。

分析不同激勵幅值f下BNES的能量傳遞率，結果如圖11所示:在諧波激勵幅值f=0.25時，系統(tǒng)能量傳遞至BNES的不足2%，絕大部分能量仍在主系統(tǒng)里被阻尼消耗；而在激勵幅值為f=0.30時，主系統(tǒng)傳至BNES的能量接近90%，大部分能量在BNES消耗。

圖 11 不同激勵強度下BNES的能量傳遞率

不同激勵強度下能量傳遞率的Colormap圖如圖12所示，非線性能量阱的觸發(fā)閾值為0.29，當諧波激勵幅值不小于0.29時，BNES發(fā)生共振俘獲，實現(xiàn)高效減振。

圖12 BNES能量傳遞率Colormap圖

此外，由圖12可知在非線性剛度比一定時，當激勵強度超過閾值后，隨著激勵的進一步增加，能量傳遞率相應降低。進一步做如下定義[7]

(14)

式中：En(τ)為各時刻能量阱的能量耗散率；En為穩(wěn)定后能量阱的能量耗散占比；p為沖擊作用下軸的初速度，沖擊下系統(tǒng)總能量可表示為E=p2/2。

由(14)式可得不同非線性剛度比下BNES的能量耗散率，如圖13所示；隨著非線性剛度比的增加，觸發(fā)閾值降低，但隨著軸的初速度(激勵強度)增加，能量耗散率降低；非線性剛度比較小時，觸發(fā)閾值較大，但隨軸的初速度(激勵強度)增加，能量耗散率可保持在較高水平。

圖13 非線性剛度比對觸發(fā)閾值影響

5 結論

利用線性剛度元件，通過幾何非線性構建了BNES，得到以下結論：

1)通過勞斯-赫爾維茨法則，對平衡點進行穩(wěn)定性分析，發(fā)現(xiàn)BNES存在1個不穩(wěn)定平衡點和2個穩(wěn)定平衡點。

2)通過數(shù)值方法分析了BNES的工作性能，發(fā)現(xiàn)相比于普通NES，BNES在低擾動下減振性能更好，更適合高精儀器低擾動下的振動控制。

3)利用能量傳遞率及能量耗散率分析了BNES的觸發(fā)閾值，發(fā)現(xiàn)觸發(fā)閾值與非線性剛度比存在反比例關系，在觸發(fā)閾值附近BNES能量傳遞率及能量耗散率最高，之后隨著激勵強度的增加，兩者逐漸降低。