楊桃麗 李進(jìn)金,2 李招文 金 銘 周銀鳳 林藝東,2

知識(shí)空間理論(Knowledge Space Theory, KS-T)[1-3]是一種用于評(píng)估個(gè)體知識(shí)水平和指導(dǎo)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)心理框架,目前，已應(yīng)用在ALEKS系統(tǒng)和自適應(yīng)輔導(dǎo)系統(tǒng)[4]，并在其它領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值[2]．

知識(shí)狀態(tài)是KST的基本概念之一．在非空有限的問(wèn)題域中，個(gè)體的知識(shí)狀態(tài)表示為個(gè)體在理想狀態(tài)下能正確解決問(wèn)題的集合[1-2]．在很多情況下，可從個(gè)體對(duì)不同問(wèn)題的回答中推斷個(gè)體的知識(shí)狀態(tài)，即通過(guò)檢測(cè)個(gè)體對(duì)問(wèn)題的回答情況，評(píng)估個(gè)體的知識(shí)掌握情況．知識(shí)結(jié)構(gòu)是評(píng)估個(gè)體知識(shí)水平的重要工具，表示為序?qū)?Q,K).其中K是至少包含?和全集Q的知識(shí)狀態(tài)的集合，一般地，習(xí)慣直接使用K表示知識(shí)結(jié)構(gòu)．

構(gòu)建一個(gè)準(zhǔn)確的知識(shí)結(jié)構(gòu)的方法是知識(shí)空間理論的重要研究?jī)?nèi)容.圍繞這一問(wèn)題，學(xué)者們結(jié)合其它學(xué)科以構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)．形式概念分析(Formal Con-cept Analysis, FCA)可與KST結(jié)合.Rusch等[5]討論由形式背景構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的方法，為概念知識(shí)的獲取提供一種新的途徑．李進(jìn)金等[6]基于知識(shí)基，提出由形式背景構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的方法，進(jìn)一步加強(qiáng)FCA與KST之間的聯(lián)系．受粗糙集近似思想的啟發(fā)，Yao等[7]利用粗糙集理論(Rough Set Theory, RST)中的近似思想構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，有效地在同一環(huán)境下研究RST與KST．

但是，上述方法僅停留在獲得個(gè)體可能的知識(shí)狀態(tài)，并未評(píng)價(jià)個(gè)體的知識(shí)掌握情況.針對(duì)這一問(wèn)題，已有多位研究者將KST推廣到基于能力的知識(shí)空間理論(Competency-Based KST, Cb-KST)[8-11].在一般的KST中，構(gòu)建知識(shí)狀態(tài)和知識(shí)結(jié)構(gòu)常用的方法是分析問(wèn)題和技能之間的關(guān)系[12-14]，而技能概念的引入為個(gè)體知識(shí)評(píng)價(jià)提供一種切入手段.Doignon[15]提出技能映射的析取模型和合取模型及技能多映射的能力模型，并討論由其誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，但忽視個(gè)體掌握與解決問(wèn)題有關(guān)的技能個(gè)數(shù)情況.周銀鳳等[16]給出技能背景的概念，討論由技能背景構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)及技能評(píng)估等問(wèn)題，考慮個(gè)體技能的評(píng)價(jià)問(wèn)題，在教育教學(xué)方面具有一定的參考性意義，但未考慮技能函數(shù)等技能評(píng)估問(wèn)題.Stefanutti等[11]和周銀鳳等[17]就技能函數(shù)與技能評(píng)估的問(wèn)題，研究個(gè)體能力水平與表現(xiàn)水平,建立一一對(duì)應(yīng)的條件問(wèn)題，但要實(shí)現(xiàn)兩者的一一對(duì)應(yīng)，還有待進(jìn)一步改進(jìn)條件.

特別地，在Doignon[15]提出的析取模型、合取模型和能力模型中，由技能映射誘導(dǎo)知識(shí)結(jié)構(gòu)的條件過(guò)于寬松或苛刻.這是因?yàn)?，在析取模型中，一旦個(gè)體掌握與解決問(wèn)題有關(guān)的某個(gè)技能，便足以解決該問(wèn)題，這將導(dǎo)致無(wú)論個(gè)體掌握多少個(gè)與解決問(wèn)題相關(guān)的技能，最終個(gè)體的知識(shí)結(jié)構(gòu)都是相同的.在合取模型中，個(gè)體需掌握與解決問(wèn)題有關(guān)的所有技能，才能解決該問(wèn)題.實(shí)際上，個(gè)體不一定要掌握所有技能才有能力解決相應(yīng)的問(wèn)題.在能力模型中，對(duì)于解決問(wèn)題的所有能力，個(gè)體掌握其中某個(gè)能力就足以解決該問(wèn)題，而一個(gè)能力是由多種技能形成的，即個(gè)體需掌握這個(gè)能力中的所有技能才能解決此問(wèn)題.因此，這些評(píng)價(jià)個(gè)體知識(shí)情況的方法都集中于個(gè)體所能解決的問(wèn)題，無(wú)法解釋不同個(gè)體解決相同問(wèn)題背后卻有不同知識(shí)結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象.

然而，在解決問(wèn)題的所有方法中，可能會(huì)存在冗余的技能．為此，Düntsch等[8]研究技能多映射的極小形式，定義技能函數(shù)和問(wèn)題函數(shù)的概念.孫曉燕等[18]基于項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，將問(wèn)題空間推廣到多分情形.Xu等[19]結(jié)合粗糙集屬性約簡(jiǎn)的方法，尋找極小技能集.Sun等[20]提出極小模糊技能映射的概念.Heller等[9]指出技能函數(shù)具有兩種特殊的情形，即析取技能函數(shù)和合取技能函數(shù)．在現(xiàn)實(shí)生活中，不同的個(gè)體具有不同的技能或能力，不同的技能或能力可能解決相同的問(wèn)題，于是出現(xiàn)等價(jià)的技能或能力．基于上述考慮的問(wèn)題，可根據(jù)個(gè)體的知識(shí)狀態(tài)規(guī)劃其下一步需要學(xué)習(xí)的技能．

總之，由技能映射或技能函數(shù)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)是KST的熱點(diǎn)研究問(wèn)題，在教育教學(xué)方面具有較大的應(yīng)用前景和理論研究?jī)r(jià)值．因此，本文引入技能包含度和能力包含度的概念，建立構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的變精度α-模型和變精度α-能力模型.再討論誘導(dǎo)良級(jí)知識(shí)結(jié)構(gòu)時(shí)技能映射需滿足的條件，得到良好技能映射誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)均為良級(jí)知識(shí)結(jié)構(gòu)的結(jié)果.然后，針對(duì)技能映射和技能函數(shù)存在等價(jià)技能子集的情況，分別考慮保持知識(shí)結(jié)構(gòu)不變的技能子集約簡(jiǎn)及學(xué)習(xí)路徑選擇的問(wèn)題，并給出獲取極小技能子集族和知識(shí)結(jié)構(gòu)的算法.最后，在6個(gè)數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文算法的可行性和有效性.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

本文僅在理想狀態(tài)下考慮非空有限的問(wèn)題域和非空有限的技能域. 這里的理想狀態(tài)是指?jìng)€(gè)體在回答問(wèn)題時(shí)沒(méi)有粗心答錯(cuò)或僥幸答對(duì)的情況.

知識(shí)結(jié)構(gòu)是KST的重要概念之一.個(gè)體知識(shí)狀態(tài)的集合是一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)(Q,K)．若知識(shí)結(jié)構(gòu)K保持并封閉，即對(duì)K中的任意兩個(gè)元素Ki和Kj，有Ki∪Kj∈K，則稱K是一個(gè)知識(shí)空間．若知識(shí)結(jié)構(gòu)K保持交封閉，即對(duì)K中的任意兩個(gè)元素Ki,Kj，有Ki∩Kj∈K，則稱K是一個(gè)簡(jiǎn)單閉包空間．若知識(shí)結(jié)構(gòu)K同時(shí)保持交、并封閉，則稱K是一個(gè)擬序空間.

設(shè)(Q,K)是一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)q∈Q，Kq是知識(shí)結(jié)構(gòu)K中包含問(wèn)題q的所有知識(shí)狀態(tài)的集合．對(duì)q∈Q，

[q]={p∈Q|Kq=Kp}

表示與q同時(shí)出現(xiàn)在某些知識(shí)狀態(tài)中的問(wèn)題集合．若對(duì)?q∈Q，[q]為單點(diǎn)集，則稱(Q,K)是一個(gè)可辨識(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．若一個(gè)擬序空間(Q,K)是可辨識(shí)的，則稱(Q,K)是一個(gè)序空間.

定義1[2]三元組(Q,S,τ)稱為一個(gè)技能映射，其中,Q為非空有限問(wèn)題集，S為非空有限技能集，τ為由Q到2S{?}的映射.

在問(wèn)題集和技能集給定的情況下，直接稱τ為一個(gè)技能映射.

設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射，對(duì)T?S，定義

K={q∈Q|τ(q)∩T≠?}，

稱K是由T通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)．當(dāng)T取遍S的所有子集時(shí)，所得知識(shí)狀態(tài)的集合K稱為由技能映射τ通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的知識(shí)空間．對(duì)T?S，定義

K={q∈Q|τ(q)?T}，

稱K是由T通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)．當(dāng)T取遍S的所有子集時(shí)，所得知識(shí)狀態(tài)的集合K稱為由技能映射τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的簡(jiǎn)單閉包空間.

定義2[8]三元組(Q,S,μ)稱為一個(gè)技能多映射，其中，Q為非空有限問(wèn)題集，S為非空有限技能集，μ為由Q到22S{?}{?}的映射．

在技能多映射(Q,S,μ)中，對(duì)?q∈Q，若滿足

1)μ(q)≠?,

2)對(duì)?M∈μ(q),M≠?,

3)μ(q)中的能力關(guān)于集合的包含關(guān)系兩兩不可比較，

則稱(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)．

在問(wèn)題集和技能集給定的情況下，直接稱μ為一個(gè)技能函數(shù)．此時(shí)，對(duì)?q∈Q，稱C∈μ(q)為解決問(wèn)題q的一個(gè)極小能力．

對(duì)T?S，定義

K={q∈Q|?C∈μ(q)∶C?T}，

稱K是由T通過(guò)技能函數(shù)μ誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)．當(dāng)取遍S的所有子集時(shí)，所得知識(shí)狀態(tài)的集合K稱為由μ誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

技能函數(shù)有兩種特殊的類型，即析取技能函數(shù)和合取技能函數(shù).

設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)，若對(duì)?q∈Q，有μ(q)={M}，其中??M?S，則稱(Q,S,μ)為一個(gè)合取技能函數(shù)．若對(duì)?q∈Q，有

μ(q)={{s}∶s∈M}，

其中??M?S，則稱(Q,S,μ)為一個(gè)析取技能函數(shù)．合取技能函數(shù)為每個(gè)問(wèn)題分配一個(gè)非空的技能子集，誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)保持交封閉，是一個(gè)簡(jiǎn)單閉包空間.析取技能函數(shù)為每個(gè)問(wèn)題分配單點(diǎn)的技能子集，誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)保持并封閉，是一個(gè)知識(shí)空間.

定義3[2]設(shè)F是一個(gè)有限的集族，若對(duì)

?K∈F,L∈F，

存在有限序列

K=K0,K1,…,Kn=L，

使得

d(Ki,Ki+1)=|Ki△Ki+1|=
|(KiKi+1)∪(Ki+1Ki)|=1，

其中，i∈[0,n-1]，d(K,L)=n，則稱F是良級(jí)的．

滿足定義3的有限序列

K=K0,K1,…,Kn=L

稱為由K到L的緊路徑．

2 技能包含度與能力包含度

定義4設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射．對(duì)q∈Q，T?S，稱

為τ的技能包含度集．對(duì)q∈Q，將

稱為關(guān)于問(wèn)題q的技能包含度集．

推論1設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射．對(duì)q∈Q，

為關(guān)于問(wèn)題q的技能包含度集，則有

由技能包含度的定義可知，對(duì)于兩個(gè)不相交的技能子集Ti?S,Tj?S和T?S，不難驗(yàn)證它們的技能包含度滿足可加性和互補(bǔ)性，即

對(duì)α∈(0,1]，根據(jù)定義5，顯然有

遍歷S的子集T,通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的所有知識(shí)狀態(tài)的集合構(gòu)成知識(shí)結(jié)構(gòu)

為了方便起見(jiàn)，不妨將技能包含度集記為

D(τ)={β1,β2,…,βn}，

其中

0=β1<β2<…<βn=1．

假設(shè)

α∈(βi,βi+1],i=1,2,…,n-1，

在βi和βi+1之間沒(méi)有別的技能包含度，所以技能映射在這樣一個(gè)區(qū)間誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)就是在區(qū)間右端點(diǎn)誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，即Kα=Kβi+1．

若一個(gè)技能映射(Q,S,τ)確定的技能包含度集為D(τ)={β1,β2,…,βn}，除了β1以外，對(duì)于β2,β3,…,βn，技能映射(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型可誘導(dǎo)n-1個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)．容易驗(yàn)證，對(duì)α∈(β1,β2]，變精度α-模型為析取模型，技能映射(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是一個(gè)知識(shí)空間．對(duì)α∈(βn-1,βn]，變精度α-模型為合取模型，技能映射(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是一個(gè)簡(jiǎn)單閉包空間．

下面考慮更一般的情形，即結(jié)合技能函數(shù)與包含度，討論構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的另一種方法．

定義6設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)．對(duì)q∈Q，C∈μ(q)，T?S，稱

稱為μ的能力包含度集．對(duì)q∈Q，

稱為關(guān)于問(wèn)題q的能力包含度集．

推論2設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)．對(duì)q∈Q，

為關(guān)于問(wèn)題q的能力包含度集，則有

同樣地，由能力包含度的定義可知，對(duì)于兩個(gè)不相交的技能子集Ti?S,Tj?S和T?S，它們的能力包含度滿足可加性和互補(bǔ)性．于是可得如下命題 1．

命題1設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)．對(duì)?q∈Q，C∈μ(q)，T1?S,T2?S，T1∩T2=?，則有

證明由定義6，對(duì)q∈Q，C∈μ(q)，T1?S,T2?S，T1∩T2=?，有

命題2設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)，則有如下性質(zhì)：

證明由定義6和命題1即證．

由于D(μ)為一個(gè)有限集，為了方便起見(jiàn)，不妨將能力包含度集表示為D(μ)={β1,β2,…,βn}，其中

0=β1<β2<…<βn=1,βi+βn-i+1=1．

即

命題3設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)，其中Q={q1,q2,…,qm}．設(shè)D(μ)={β1,β2,…,βn}為能力包含度集，則下述成立：

3)對(duì)?qi∈Q，i=1,2,…,m，若|D(μqi)|為偶數(shù)，則

為偶數(shù)；

4)若存在qi∈Q，i=1,2,…,m，使得|D(μqi)|為奇數(shù)，則

為奇數(shù)．

證明先證1).對(duì)qi∈Q，設(shè)

D(μqi)={ε1,ε2,…,εn}．

若|D(μqi)|為偶數(shù)，由

εj+εn-j+1=1，j=1,2，…,n，

即

這與假設(shè)矛盾，因此|D(μqi)|為偶數(shù)．

再證2).類似于1)，容易證明2)是成立的．

于是有

故D(μ)為奇數(shù)．

注意到,因?yàn)?/p>

定義8設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)．對(duì)α∈ (0,1]，稱

為由μ通過(guò)變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

定理1設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)．

D(μ)= {β1,β2,…,βn}

為μ的能力包含度集．對(duì)α∈(βi,βi+1]，i=1,2，…,n-1，有Kα=Kβi+1.

證明對(duì)α∈(βi,βi+1]，設(shè)Kα為由技能函數(shù)μ通過(guò)變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．對(duì)?T?S，有

由于βi與βi+1之間不存在其它的能力包含度，因此

故Kα=Kβi+1．

定理2設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)，

D(μ)= {β1,β2,…,βn}

為μ的能力包含度集．對(duì)α∈(βn-1,βn]，由μ通過(guò)變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是由μ通過(guò)能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

因?yàn)?/p>

所以有C?T，即

于是Kβn事實(shí)上是由技能函數(shù)(Q,S,μ)通過(guò)能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

由于技能函數(shù)具有析取技能函數(shù)和合取技能函數(shù)兩種特殊情形，可對(duì)這兩種特殊情形進(jìn)行討論．

推論3設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)析取技能函數(shù)，則D(μ)={0,1}．對(duì)α∈(0,1]，技能函數(shù)μ通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是由μ通過(guò)能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

當(dāng)(Q,S,μ)為合取技能函數(shù)時(shí)，此時(shí)變精度α-能力模型退化為變精度α-模型．需要注意的是在技能映射(Q,S,τ)中，

τ(q)=C∈μ(q)，

于是有定理3.

定理3設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)合取技能函數(shù)，(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射，且對(duì)q∈Q，

μ(q)={C|??C?S}，τ(q)=C．

對(duì)α∈(βi,βi+1]，由μ通過(guò)變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是由技能映射(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

證明設(shè)(Q,Kα)是由μ通過(guò)變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．對(duì)?T?S，由定義7可得

由于合取技能函數(shù)中只為每個(gè)問(wèn)題q分配一個(gè)能力且τ(q)=C，于是

變精度α-模型包括析取模型和合取模型，而技能函數(shù)的變精度α-能力模型包含能力模型和變精度α-模型，于是本文的變精度α-能力模型比文獻(xiàn)[15]中的能力模型適用性更廣．下面繼續(xù)討論合取技能函數(shù)下變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)的一些性質(zhì)．

定理4設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)合取技能函數(shù)，D(μ)={β1,β2,…,βn}為μ的技能包含度集,則由μ通過(guò)變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)Kβi+1與Kβn-i+1(i=1,2，…,n-1)互為對(duì)偶．

證明設(shè)(Q,Kβi+1)為由μ通過(guò)變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．對(duì)?T?S，α=βi+1，i=1,2，…,n-1，知識(shí)結(jié)構(gòu)Kβi+1中的元素

由于μ為合取技能函數(shù)，于是

由于在能力包含度1-βi+1和1-βi之間不存在其它的能力包含度，從而

又

βi+βn-i+1=1，

則

于是知識(shí)結(jié)構(gòu)Kβi+1與Kβn-i+1(i=1,2，…,n-1)互為對(duì)偶．

例1設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)合取技能函數(shù)，其中

Q={q1,q2,q3,q4}，S={s1,s2,s3}，
μ(q1)={{s1,s2}}，μ(q2)={{s3}}，
μ(q3)={{s2,s3}}，μ(q4)= {{s2}}．

表1 例1中能力包含度

由表1可得，能力包含度集

表2 例1中知識(shí)狀態(tài)

3 良級(jí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)

一個(gè)技能映射通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的所有知識(shí)結(jié)構(gòu)中不一定存在擬序空間．如例1中的兩個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)都不能同時(shí)滿足交、并封閉．本節(jié)討論在滿足什么條件下，技能映射通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的所有知識(shí)結(jié)構(gòu)都是擬序空間．

Spoto等[21]指出在技能函數(shù)中，對(duì)某個(gè)問(wèn)題存在專屬技能和專屬能力．

定義9[22]設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射．對(duì)q∈Q，若如下條件成立：

1)對(duì)所有p∈Q{q}，有s?τ(p)，

2)s∈τ(q)，

則技能s∈S稱為一個(gè)專屬技能．

定義10設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射．對(duì)q∈Q，若s為問(wèn)題q的專屬技能，則記為s?q．

命題4設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射．對(duì)不同的q∈Q,q′∈Q，若τ(q)?τ(q′)，則不存在s?q．若

τ(q)?τ(q′)，τ(q′)?τ(q)，

則存在

t∈τ(q)τ(q′)，u∈τ(q′)τ(q)，

使得t?q,u?q′．

證明由定義10顯然得證．

定義11設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射．若τ滿足下面兩個(gè)條件：

1)至少存在一個(gè)q∈Q，有s?q，

2)存在q∈Q,q′∈Q，有

τ(q)?τ(q′)， |τ(q′)τ(q)|=1，

則稱τ為良好的技能映射．

例2設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射，其中

Q= {q1,q2,q3,q4,q5}，S={s1,s2,s3,s4,s5}，

τ(q1)={s2}，τ(q2)={s4}，τ(q3)={s1,s2}，

τ(q4)={s3,s4}，τ(q5)={s1,s2,s5}．

根據(jù)定義11，對(duì)?q∈Q，有s3?q4，s5?q5，且有

τ(q1)?τ(q3)?τ(q5),τ(q2)?τ(q4)．

可發(fā)現(xiàn)

|τ(q3)τ(q1)|=|τ(q5)τ(q3)|=

|τ(q4)τ(q2)|=1，

于是τ為一個(gè)良好的技能映射．

定理5設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射．對(duì)α∈ (0,1]，(Q,Kα)為由(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．(Q,Kα)為擬序空間，當(dāng)且僅當(dāng)τ為一個(gè)良好的技能映射．

于是T1∪T2誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)為

T1∩T2誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)為

若T1?T2，則

T1∩T2=?， |(T1∪T2)(T1∩T2)|>1．

若T1?T2，則

|(T1∪T2) (T1∩T2)|≥1.

不妨設(shè)

τ(q)=T1∩T2，τ(q′)=T1∪T2，

存在s∈τ(q′)τ(q),使得

|τ(q′)τ(q)|=|s|=1，

于是s?q′．

反過(guò)來(lái)，令

誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)為

于是對(duì)?K?Kα，有

∩K∈Kα, ∪K∈Kα，

故Kα為一個(gè)擬序空間．

推論4[2]任意有限的序空間是學(xué)習(xí)空間，而學(xué)習(xí)空間是良級(jí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

由推論3，有如下定理6．

定理6設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射．對(duì)α∈ (0,1]，(Q,Kα)是由(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，(Q,Kα)為擬序空間當(dāng)且僅當(dāng)(Q,Kα)是良級(jí)的．

證明因?yàn)閷?duì)?τ(q)?τ(q′)，有

|τ(q′)τ(q)|=1，

則有Kq≠Kq′，于是由技能映射(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)均是可辨識(shí)的，即(Q,Kα)是序空間．故由定理5和推論3可知，(Q,Kα)是良級(jí)的．

反之，由定理5顯然得證．

定理7設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射．對(duì)α∈(0,1]，(Q,Kα)是由(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，(Q,Kα)是良級(jí)的當(dāng)且僅當(dāng)τ是一個(gè)良好的技能映射．

證明由定理5和定理6可證．

例3設(shè)

Q={q1,q2,q3,q4}，S={s1,s2,s3,s4,s5}
τ(q1)={s2,s3}，τ(q2)={s3,s5}，
τ(q3)={s1,s2,s3}，τ(q4)={s3,s4,s5}．

通過(guò)計(jì)算可得到τ的技能包含度集為

且由技能映射(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)分別為

K1={?,{q1},{q2},{q1,q2},{q1,q3},{q2,q4},
{q1,q2,q3},{q1,q2,q4},Q}．

可發(fā)現(xiàn)所有的知識(shí)結(jié)構(gòu)都是滿足交并封閉的，于是為良級(jí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

例4設(shè)

Q={q1,q2,q3}，S={s1,s2,s3,s4,s5}，

定義技能映射τ:

τ(q1)={s1,s2,s5}，τ(q2)={s1,s3,s4}，
τ(q3)={s2,s4}．

τ的技能包含度集為

顯然，τ不滿足良好技能映射的條件2)．對(duì)α∈(βi,βi+1]，i=1,2，3,4，由τ通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)分別為

{q2,q3},Q}，

{q2,q3},Q}，

K1={?,{q1},{q2},{q3},{q1,q3},{q2,q3},Q}．

通過(guò)上述知識(shí)結(jié)構(gòu)可發(fā)現(xiàn)，由τ誘導(dǎo)的所有知識(shí)結(jié)構(gòu)中至少有一個(gè)不為擬序空間．

4 極小技能子集族與學(xué)習(xí)路徑

在現(xiàn)實(shí)生活中，不同個(gè)體具有不同的技能或能力，不同的技能或能力可能解決相同問(wèn)題，于是出現(xiàn)等價(jià)的技能或能力，可根據(jù)個(gè)體的知識(shí)狀態(tài)對(duì)其下一步需要學(xué)習(xí)的技能進(jìn)行規(guī)劃．從概念認(rèn)知[23，25]的角度上看，個(gè)體學(xué)習(xí)技能是一種概念認(rèn)知更新的過(guò)程，即使在學(xué)習(xí)某個(gè)技能的過(guò)程中沒(méi)有使個(gè)體的知識(shí)狀態(tài)發(fā)生改變，但個(gè)體的認(rèn)知是有細(xì)微更新的．因此，若要對(duì)個(gè)體的學(xué)習(xí)進(jìn)行指導(dǎo)，對(duì)其技能學(xué)習(xí)的縮減和學(xué)習(xí)路徑的規(guī)劃尤為重要．

4.1 基于技能映射τ的極小技能子集族

是T的一個(gè)等價(jià)類．對(duì)任意[T]，任取一個(gè)T′∈[T]，所有T′構(gòu)成的集族Y被稱為關(guān)于技能映射τ的一個(gè)極小技能子集族．

對(duì)于技能映射(Q,S,τ)，對(duì)?q∈Q，取遍Y中元素計(jì)算得到的技能包含度集記為

對(duì)q∈Q的技能包含度集記為

顯然

D′(τ)=∪D′(τq)．

例5設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射，其中

Q={q1,q2,q3}，S={s1,s2,s3,s4,s5}，
τ(q1)={s1,s2}，τ(q2)={s4,s5}，τ(q3)={s2,s3}．

表3 例5中技能包含度

由表3和定義4可知，技能包含度集

對(duì)?q∈Q，有

根據(jù)定義12和表3，顯然可將2S分為21個(gè)等價(jià)類，從而關(guān)于τ的一個(gè)極小技能子集族為

Y={?,{s1},{s2},{s3},{s4},{s1,s2},{s1,s4},
{s2,s3},{s2,s4},{s3,s4},{s4,s5},{s1,s2,s3},
{s1,s2,s4},{s1,s4,s5},{s2,s3,s4},{s2,s4,s5},
{s3,s4,s5},{s1,s2,s3,s4},{s1,s2,s4,s5},
{s2,s3,s4,s5},S}．

由表4可知,技能包含度集

因此約去冗余的技能子集，對(duì)技能包含度集并不產(chǎn)生影響．根據(jù)表4和定義2，對(duì)α=βi+1,i=1,2，由技能映射τ通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)分別為

表4 例5中極小技能子集族的技能包含度

定理8設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射，Y為關(guān)于τ的一個(gè)極小技能子集族. 若對(duì)q∈Q，取遍Y中元素計(jì)算得到的技能包含度集為D′(τ)，則

D′(τ)=D(τ)．

即

定理9設(shè)(Q,Kα)為由技能映射(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，

D′(τ)={β1,β2,…,βn}

為Y的技能包含度集，其中Y為關(guān)于τ的一個(gè)極小技能子集族．對(duì)于α∈(βi,βi+1]，i=1,2，…,n-1，由τ通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)為(Q,Kα)．

于是對(duì)任意[T]，任取一個(gè)T′∈[T]，Y是由所有的T′構(gòu)成的技能子集族，α∈(βi,βi+1]，技能映射(Q,S,τ)通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)為Kα．

推論5設(shè)(Q,S,τ)為一個(gè)技能映射，則保持Kα不變的技能子集的約簡(jiǎn)必是保持D(τ)不變的技能子集的約簡(jiǎn)．

下面討論保持技能包含度集不變的技能子集的約簡(jiǎn)是否是保持知識(shí)結(jié)構(gòu)不變的技能子集的約簡(jiǎn)，二者之間是否存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．給定技能映射(Q,S,τ)，對(duì)于q∈Q，由于

于是可保持D(τq)不變，進(jìn)而保持D(τ)不變．

例如，在例5中，

[?,{s3},{s4},{s3,s4},{s4,s5},{s3,s4,s5}]，

[{s1},{s2},{s2,s4},{s2,s3},{s2,s4},{s1,s4,s5},

{s2,s3,s4},{s2,s4,s5},{s2,s3,s4,s5}]，

[{s1,s2},{s1,s2,s3},{s1,s2,s4},{s1,s2,s3,s4},

{s1,s2,s4,s5},S]，

則對(duì)任意[T]，任取一個(gè)T′∈[T]，計(jì)算所得技能包含度集的極小技能子集族為

Y1={?,{s1},{s1,s2}}，

于是

{?,{s1},{s2},{s4},{s1,s2},{s1,s3},{s4,s5}}．

因?yàn)閅中沒(méi)有包含全集S，遍歷Y中的元素，由τ確定的并不是知識(shí)結(jié)構(gòu),從而保持技能包含度集不變的技能子集的約簡(jiǎn)并不一定是保持知識(shí)結(jié)構(gòu)不變的技能子集的約簡(jiǎn)．

根據(jù)上述結(jié)果，下面給出尋找極小技能子集族及獲取知識(shí)結(jié)構(gòu)的算法．

算法1基于技能映射，獲取極小技能子集族及知

識(shí)結(jié)構(gòu)

輸入技能映射(Q,S,τ)

輸出關(guān)于τ的極小技能子集族Y,

知識(shí)結(jié)構(gòu)(Q,Kα)

step 1 令D(τ)=?,Y=?,Kα=?,ta=?；

step 2 計(jì)算B=2S，其中B為S的冪集；

step 3 遍歷問(wèn)題集Q的問(wèn)題q和S的冪集B中的元素T；

對(duì)D(τ)進(jìn)行去重并按從小到大排列；

step 5 遍歷問(wèn)題集Q的問(wèn)題q和S的冪集B中的元素T；

Y←Y∪(B-B(t))；

step 7 令β=D(τ)(2∶end)；

step 8 遍歷β中的元素α和Y中的元素T′；

step 10 根據(jù)上述獲得鄰接表ta并生成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

算法1尋找技能映射的極小技能子集族的步驟是一個(gè)啟發(fā)式搜索過(guò)程．step 3和step 4為找到技能包含度集，step 5和step 6為獲取一個(gè)極小技能子集族，step 8～step 10為生成知識(shí)結(jié)構(gòu)．step 3和step 4的時(shí)間復(fù)雜度及空間復(fù)雜度最大為O(|Q||2S|)，step 5和step 6的時(shí)間復(fù)雜度及空間復(fù)雜度最大為O(|Q||2S|)，step 8～step 10的時(shí)間復(fù)雜度及空間復(fù)雜度最大為O(|Q||2S||Y|)．因此，算法1的最大時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度均為

O(|Q||2S||Y|)．

4.2 基于技能函數(shù)μ的極小技能子集族

是T的一個(gè)等價(jià)類．對(duì)任意[T]，任取一個(gè)T′∈[T]，所有T′構(gòu)成的集族M稱為關(guān)于技能函數(shù)μ的一個(gè)極小技能子集族．

設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)，對(duì)每個(gè)qi∈Q，取遍M中元素計(jì)算得到的能力包含度集記為

對(duì)某個(gè)問(wèn)題qi∈Q的能力包含度集記為

顯然

定理10設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)，M為一個(gè)極小技能子集族．若對(duì)q∈Q，取遍M中元素計(jì)算得到的技能包含度集為D′(μ)，則D′(μ)=D(μ)．

證明類似于定理8即證．

定理11設(shè)(Q,Kα)是由技能函數(shù)(Q,S,μ)通過(guò)變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，

D′(μ)= {β1,β2,…,βn}

為M的能力包含度集，其中M為關(guān)于μ的一個(gè)極小技能子集族．對(duì)α∈(βi,βi+1]，i=1,2， …,n-1，由μ通過(guò)變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)為(Q,Kα)．

證明類似于定理9即證．

推論6設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)，則保持Kα不變的技能子集的約簡(jiǎn)必是保持D(μ)不變的技能子集的約簡(jiǎn)，反之不成立．

基于上述結(jié)論，下面給出獲取極小技能子集族和知識(shí)結(jié)構(gòu)的算法．

算法2基于技能函數(shù)，獲取極小技能子集族和知

識(shí)結(jié)構(gòu)

輸入技能函數(shù)(Q,S,μ)

輸出關(guān)于μ的極小技能子集族M,

知識(shí)結(jié)構(gòu)(Q,Kα)

step 1 令D(μ)=?,M=?,Kα=?,ta=?；

step 2 計(jì)算B=2S，其中B為S的冪集；

step 3 遍歷每個(gè)μ(q)中的能力C和B中的元素T；

對(duì)D(μ)進(jìn)行去重并按從小到大進(jìn)行排列；

step 5 遍歷每個(gè)μ(q)中的能力C和B中的元素T；

M←M∪(B-B(U))；

step 7 令β=D(μ)(2∶end)；

step 9 根據(jù)上述步驟獲得鄰接表ta并生成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖．

算法2尋找技能函數(shù)的極小技能子集族的步驟也是一個(gè)啟發(fā)式搜索過(guò)程．step 3和step 4為獲得一個(gè)能力包含度集，step 5和step 6為獲得一個(gè)極小技能子集族，step 8和step 9為生成知識(shí)結(jié)構(gòu)．step 3和step 4的時(shí)間復(fù)雜度及空間復(fù)雜度最大為

O(|Q′||μ(q)||2S′|)，

step 5和step 6的時(shí)間復(fù)雜度及空間復(fù)雜度最大為

O(|Q′||μ(q)||2S′|)，

step 8和step 9的時(shí)間復(fù)雜度及空間復(fù)雜度最大為

O(|Q′||μ(q)||2S′||M|)．

因此，算法2的最大時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度均為

O(|Q′||μ(q)||2S′||M|)．

例6設(shè)(Q,S,μ)為一個(gè)技能函數(shù)，其中，

Q= {q1,q2,q3}，S={s1,s2,s3,s4}，
μ(q1)={{s2,s4}}，μ(q2)={{s1,s3},{s2,s4}}，
μ(q3)={{s1,s2,s3},{s2,s4}}．

由表5可發(fā)現(xiàn)，

表5 例6中能力包含度

于是由step 3從2S中刪去技能子集{s3},{s2,s3},{s3,s4},{s2,s3,s4}，得到一個(gè)極小技能子集族

M={?,{s1},{s2},{s4},{s1,s2}, {s1,s3},{s1,s4},

{s2,s4},{s1,s2,s3},{s1,s2,s4},{s1,s3,s4},S}．

由M計(jì)算得到的技能包含度集

根據(jù)step 4，對(duì)于

α=βi+1,i=1,2,3,4，

技能函數(shù)μ通過(guò)變精度α-能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)分別為

4.3 技能與學(xué)習(xí)路徑選擇

定義14給定技能映射(Q,S,τ)或技能函數(shù)(Q,S,μ)．對(duì)?[Ti],[Tj]，取T′∈[Ti]，T″∈[Tj]且T′?T″，則稱T′?T″?…為有效技能學(xué)習(xí)鏈．

若個(gè)體在[{s1},{s3}]中選擇學(xué)習(xí){s1}，則在[{s1,s2},{s2,s3}]中選擇學(xué)習(xí){s1,s2}，依此類推．

根據(jù)定義14，針對(duì)個(gè)體的學(xué)習(xí)情況，可規(guī)劃個(gè)體的學(xué)習(xí)路徑，即從?到Q的一條學(xué)習(xí)路徑所需學(xué)習(xí)的技能子集都具有包含關(guān)系.

例7對(duì)于例5中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，

K1={?,{q1},{q2},{q3},{q1,q2},{q1,q3},
{q2,q3},Q}．

根據(jù)上述描述規(guī)劃個(gè)體的學(xué)習(xí)路徑，如圖1所示.在圖中：將知識(shí)狀態(tài){q1}簡(jiǎn)記為q1，其它知識(shí)狀態(tài)也是如此；箭頭表示知識(shí)狀態(tài)之間的包含關(guān)系，一個(gè)把知識(shí)狀態(tài)K和K′連接起來(lái)并指向K′的箭頭表示K?K′，并且不存在K″,使得K?K″?K′成立．當(dāng)從圖的左邊往右看時(shí)，它表示一種學(xué)習(xí)路徑：一個(gè)個(gè)體開(kāi)始時(shí)什么都不知道，即知識(shí)狀態(tài)為?，通過(guò)某一條學(xué)習(xí)路徑可從某一狀態(tài)向另一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移，最終可達(dá)到知識(shí)狀態(tài)Q．

(b)K1

由圖1可發(fā)現(xiàn)，同一知識(shí)結(jié)構(gòu)不管個(gè)體選擇哪條學(xué)習(xí)路徑學(xué)習(xí)，其知識(shí)狀態(tài)從?到Q所需學(xué)習(xí)的技能都是一樣的，只是學(xué)習(xí)的先后順序不一樣．因此，根據(jù)個(gè)體的學(xué)習(xí)路徑圖，可通過(guò)個(gè)體知識(shí)狀態(tài)的變化趨勢(shì)指導(dǎo)下一步需要學(xué)習(xí)的技能．

5 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文兩種算法的有效性，在6個(gè)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析．

所有實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境為Windows 7操作系統(tǒng)，硬件環(huán)境為Inter(R)Core(TM) i7-6700 CPU @3.40 GHz和8.00 GB內(nèi)存，軟件環(huán)境為MATLAB(R2013a)和RStudio(1.1.463)．

5.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集

從UCI數(shù)據(jù)庫(kù)(http://archive.ics.uci.edu/ml/

datasets.php)中選取Shuttle-landing-control、Adult、Lenses、StoneFlakes、Hayes、Post這6個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，具體如表6所示．

表6 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集

表7 技能映射(Q1,S1,τ1)

表8 技能映射(Q2,S2,τ2)

表9 技能映射(Q3,S3,τ3)

表10 技能函數(shù)

表11 技能函數(shù)

表12 技能函數(shù)

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)算法1，可求出每個(gè)技能映射的技能包含度和知識(shí)結(jié)構(gòu)，如表13所示．根據(jù)算法2，可求出每個(gè)技能函數(shù)的能力包含度和知識(shí)結(jié)構(gòu)，如表14所示．

表13 不同技能映射的技能包含度和知識(shí)結(jié)構(gòu)

表14 不同技能函數(shù)的能力包含度和知識(shí)結(jié)構(gòu)

由表13和表14可知，根據(jù)本文算法，技能子集得到明顯縮減．技能映射和技能函數(shù)通過(guò)極小技能子集族獲得知識(shí)結(jié)構(gòu)，相對(duì)于遍歷所有技能子集，分別減少32,4,28,32,4,88個(gè)技能子集.這不僅為求解知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程提供很大的便利，還可根據(jù)個(gè)體的自身情況幫助其縮小學(xué)習(xí)范圍，降低大腦的存儲(chǔ)成本．

對(duì)于技能映射(Qi,Si,τi):當(dāng)α=β2時(shí)，由τi通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)與由τi通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)；當(dāng)α=βn時(shí)，由τi通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)與由τi通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)．而當(dāng)α≠β1,β2,βn時(shí)，在由τi通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，至少存在一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)包含Kβ2，且至少存在一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)包含于Kβn．注意，這里所說(shuō)的包含均指集族之間的包含關(guān)系．例如，由τ2通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)為：

{q21,q22,q24,q25,q26,q28},{q21,q23,q24,q25,q27,q28},{q21,q24,q25,q26,q27,q28},{q22,q23,q24,q26,q27,q28},

{q23,q24,q25,q26,q27,q28},{q21,q22,q24,q25,q26,q27,q28},{q21,q23,q24,q25,q26,q27,q28},

{q22,q23,q24,q25,q26,q27,q28},Q2}，

{q22,q23,q24,q26,q27},{q21,q23,q24,q25,q27,q28},{q21,q24,q25,q26,q27,q28},{q22,q23,q24,q26,q27,q28},

{q23,q24,q25,q26,q27,q28},{q21,q22,q24,q25,q26,q27,q28},{q21,q23,q24,q25,q26,q27,q28},

{q22,q23,q24,q25,q26,q27,q28},Q}，

K1={?,{q21},{q22},{q23},{q21,q22},{q21,q25},{q22,q23},{q22,q26},{q23,q27},{q21,q23,q24},

{q21,q22,q23,q24},{q21,q22,q25,q26},{q22,q23,q26,q27},{q21,q23,q24,q25,q27,q28},Q}.

因此，變精度α-模型和變精度α-能力模型均克服誘導(dǎo)知識(shí)結(jié)構(gòu)過(guò)于寬松或苛刻的條件，使得對(duì)于不同的個(gè)體，知識(shí)結(jié)構(gòu)更合理．

為了使結(jié)果更可觀，使用(a)～(c)表示技能映射的變精度α-模型與析取模型和合取模型的關(guān)系，(d)～(f)表示技能函數(shù)的變精度α-能力模型與能力模型的關(guān)系．

由圖2可知，變精度α-模型既包含析取模型，又包含合取模型，并具有析取模型和合取模型不能誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu).而變精度α-能力模型包含能力模型，并具有能力模型不能誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．由此說(shuō)明本文算法可解決文獻(xiàn)[15]中存在條件過(guò)于寬松或苛刻的問(wèn)題．

圖2 不同模型下誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中知識(shí)狀態(tài)個(gè)數(shù)

在圖3和圖4中，節(jié)點(diǎn)均表示知識(shí)狀態(tài)．圖3中節(jié)點(diǎn)“1”表示知識(shí)狀態(tài)為?，節(jié)點(diǎn)“31”表示知識(shí)狀態(tài)為Q．圖4中節(jié)點(diǎn)“1”也表示知識(shí)狀態(tài)為?，節(jié)點(diǎn)“21”表示知識(shí)狀態(tài)為Q．連接2個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊表示大的節(jié)點(diǎn)包含小的節(jié)點(diǎn)．

圖3 τ1通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

圖4 μ1通過(guò)變精度α-能力模型(α=1)誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

6 結(jié) 束 語(yǔ)

本文將技能映射和技能函數(shù)與包含度結(jié)合，研究技能映射和技能函數(shù)誘導(dǎo)知識(shí)結(jié)構(gòu)的另一種方法,還討論技能映射在滿足什么條件時(shí)，通過(guò)變精度α-模型可誘導(dǎo)擬序空間．為了降低構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度，考慮對(duì)技能子集進(jìn)行約簡(jiǎn)，得到技能集S的一個(gè)極小技能子集族．遍歷極小技能子集族中的元素，技能映射(技能函數(shù))通過(guò)變精度α-模型(變精度α-能力模型)誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)保持不變．本文提出兩種算法：1)基于技能映射，尋找極小技能子集族和生成知識(shí)結(jié)構(gòu)的算法;2)基于技能函數(shù)，尋找極小技能子集族和生成知識(shí)結(jié)構(gòu)的算法．UCI數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)表明對(duì)技能子集的約簡(jiǎn)算法是可行的，這不僅使誘導(dǎo)知識(shí)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度得以降低，還涉及到個(gè)體技能選擇和知識(shí)評(píng)估的問(wèn)題．Sun等[20]將模糊集的思想融入技能映射中，研究個(gè)體技能的熟練程度，為評(píng)估個(gè)體的知識(shí)掌握情況提供另一種思路．因此，在今后的研究中:一方面考慮把文獻(xiàn)[20]中模糊技能映射結(jié)合到本文考慮的問(wèn)題中，繼續(xù)研究個(gè)體的技能選擇與知識(shí)評(píng)估的問(wèn)題；另一方面將考慮技能映射通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中至少存在一個(gè)擬序空間的條件．