郭亞楠，肖 菡，宋 帆

（1.許昌電氣職業(yè)學(xué)院，河南 許昌 461000；2.鄭州大學(xué)軟件與應(yīng)用科技學(xué)院，鄭州 450000）

0 引言

欠驅(qū)動(dòng)指的是控制量數(shù)目小于系統(tǒng)自由度數(shù)量，欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)已經(jīng)在工業(yè)生產(chǎn)生活中越來(lái)越普遍。其中，欠驅(qū)動(dòng)地面車(chē)輛的軌跡跟蹤控制已經(jīng)成為一個(gè)熱點(diǎn)研究方向。如何實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)地面車(chē)輛的軌跡跟蹤控制將對(duì)航空航天技術(shù)、車(chē)輛控制領(lǐng)域以及航海領(lǐng)域均具有重要的意義。針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，已經(jīng)產(chǎn)生了一系列研究，見(jiàn)文獻(xiàn)［4-11］。

本文提出了一種基于有限時(shí)間未知觀測(cè)器的欠驅(qū)動(dòng)水面艇交互式軌跡跟蹤控制（FUO-based interactive trajectory tracking control，F(xiàn)UO-ITTC）。有限時(shí)間未知觀測(cè)器（FUO）可以在短時(shí)間內(nèi)精確識(shí)別未知項(xiàng)，并且通過(guò)復(fù)合坐標(biāo)變換（composite coordinate transformation，CCT）來(lái)建立解耦軌跡跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)，采用高階滑模技術(shù)設(shè)計(jì)了FUO，實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜未知量的精確觀測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了提出方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

本文考慮一種配備有兩個(gè)螺旋槳的USV，這兩個(gè)螺旋槳通常是前后不對(duì)稱(chēng)的，非對(duì)稱(chēng)欠驅(qū)動(dòng)水面艇（AUSV）的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)可以描述如下：

式（8）中所需的偏航動(dòng)力學(xué)涵蓋了一大類(lèi)典型軌跡，包括直線(xiàn)、圓和漸開(kāi)線(xiàn)螺旋，從而完全消除了要求的持續(xù)激勵(lì)條件。

2 復(fù)合坐標(biāo)變換

由于慣性不對(duì)稱(chēng)和系統(tǒng)式（1）和式（3）固有的欠驅(qū)動(dòng)約束，需要一系列坐標(biāo)變換來(lái)解耦搖擺和偏航動(dòng)力學(xué)。在序列中設(shè)計(jì)了CCT，定義復(fù)合運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)跟蹤誤差，如下所示：

3 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

3.1 有限時(shí)間未知觀測(cè)器

3.2 偏航控制

在整個(gè)控制方案中，基于由式（15）～ 式（22）控制的FUO 的偏航控制器在第一步合成如下：

是全局一致漸近穩(wěn)定，證明結(jié)束。

3.3 喘振控制

考慮∑系統(tǒng)（28）的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：

使用式（15）和式（22）中的FUO 設(shè)計(jì)喘振控制器，如下所示：

交互搖擺和偏航動(dòng)力學(xué)：

定理3：使用基于FUO 的喘振控制式（36），以及交互動(dòng)力學(xué)式（37）和式（38），閉環(huán)∑系統(tǒng)如下：

是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：加上式（35）和式（39），可以得到

考慮Lyapunov 函數(shù)如下：

系統(tǒng)（42）對(duì)于V的微分：

將式（36）～ 式（38）和式（40）代入式（44）中，通過(guò)定理1，可以得到：

4 級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)

在這種情況下，可以確保整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)式（49）的全局漸近穩(wěn)定性。

定理4：方案（33）和（36）可以全局漸近地跟蹤AUSV（1）到（3）所控制的期望軌跡，具有交互動(dòng)力學(xué)（37）和（38），即整個(gè)閉環(huán)跟蹤誤差系統(tǒng)（49）是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：由定理2 和3，需要檢查是否滿(mǎn)足非線(xiàn)性上的線(xiàn)性G增長(zhǎng)條件。從式（40），可以得出

式中，

5 仿真研究與比較

表1 主要參數(shù)

表2 FUO-ITTC 的用戶(hù)定義參數(shù)

5.1 非零常數(shù)期望橫擺角速度

5.2 零期望橫擺角速度

如圖1（b）所示，直線(xiàn)軌跡由具有恒定期望航向的虛擬AUSV 交互生成，即零期望橫擺角速度r=0。圖1（b）所示的軌跡跟蹤結(jié)果表明，所提出的FUOITTC 方案即使在復(fù)雜未知情況下也能夠使AUSV精確地跟蹤直線(xiàn)軌跡。如圖3（a）所示，可以同時(shí)精確地實(shí)現(xiàn)位置跟蹤和姿態(tài)保持。此外，圖3（b）所示的喘振、搖擺和偏航動(dòng)力學(xué)的跟蹤誤差也可以通過(guò)圖3（c）所示的基于FUO 的喘振和偏航控制輸入，使其全局漸近穩(wěn)定。另外，除了交互搖擺行為外，動(dòng)力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的顯著跟蹤性能還得益于對(duì)復(fù)雜未知項(xiàng)的精確觀測(cè)，如圖3（d）所示。

圖1 交互式軌跡跟蹤性能

圖2 非零常數(shù)DYR 情形的仿真結(jié)果

圖3 零動(dòng)態(tài)情況下的仿真結(jié)果

5.3 漸開(kāi)線(xiàn)螺旋軌跡

如圖1（c）所示，虛擬AUSV 交互生成具有漸近期望橫擺角速度的漸開(kāi)線(xiàn)螺旋軌跡，并可使用FUO-ITTC 方案由AUSV 精確跟蹤。因此，可以同時(shí)使用圖4（a）所示的漸近跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)來(lái)精確跟蹤所需的位置和方向。此外，如圖4（b）所示，所需的平移和旋轉(zhuǎn)速度也可以精確跟蹤。由于期望橫擺角速度漸近收斂到非零常數(shù)，如圖4（c）所示，AUSV 要求增加偏航控制扭矩，以確保所需航向能夠被跟蹤，而喘振控制輸入同時(shí)為喘振和搖擺動(dòng)力學(xué)提供力。在這種復(fù)雜情況下，除了基于FUO 的復(fù)雜未知的精確識(shí)別外，還可以跟蹤漸開(kāi)線(xiàn)螺旋控制扭矩，以確保所需航向的跟蹤，而喘振控制輸入同時(shí)為喘振和搖擺動(dòng)力學(xué)提供力。結(jié)合圖4（d）所示的基于FUO 的復(fù)雜未知量精確辨識(shí)，在這種復(fù)雜情況下，具有復(fù)雜未知量的AUSV 可以通過(guò)速度跟蹤精確跟蹤漸開(kāi)線(xiàn)螺旋軌跡。

圖4 漸近DYR 情形的仿真結(jié)果

5.4 性能比較

此外，為了定量地證明FUO-ITTC 框架的優(yōu)越性，本節(jié)分別對(duì)積分絕對(duì)誤差（IAE）和積分時(shí)間加權(quán)絕對(duì)誤差（ITAE）指標(biāo)測(cè)量的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)軌跡跟蹤性能進(jìn)行了比較。當(dāng)交互動(dòng)力學(xué)和FUO 技術(shù)都從本文框架中移除時(shí)，F(xiàn)UO-ITTC 方法將退化為所謂的級(jí)聯(lián)反推（CB）方法。在本文中，通過(guò)通用用戶(hù)定義參數(shù)，可以與CB 方法及其基于FUO 的變體（FUO-CB）進(jìn)行比較。實(shí)際上，由于所提出的CCT方法，CB 方法不能處理非對(duì)稱(chēng)慣性質(zhì)量，因此，CB方法適用于AUSV。下頁(yè)表3 和表4 分別總結(jié)了非零常數(shù)、零動(dòng)態(tài)和漸近動(dòng)態(tài)的性能比較結(jié)果，從中可以看出，F(xiàn)UO-ITTC 方法在IAE 和ITAE 度量方面都達(dá)到了最高的軌跡跟蹤精度，而FUO-CB 和CB方法在所有情況下都明顯低于FUO-ITTC 和ITTC（其中不使用FUO）方法。在這種情況下，ITTC 方法的優(yōu)越性可以從瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能兩方面得以證明。此外，可以觀察到，無(wú)論ITTC 和CB 方法如何，F(xiàn)UO都能準(zhǔn)確地識(shí)別復(fù)雜的未知量，從而在提高軌跡跟蹤性能方面起到關(guān)鍵作用。

表3 軌跡跟蹤性能比較

表4 軌跡跟蹤性能比較（零動(dòng)態(tài)）

表5 軌跡跟蹤性能比較（漸進(jìn)期望橫擺角速度）

6 結(jié)論

為了提升跟蹤精度與魯棒性，有效解決欠驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，提出了一種基于有限時(shí)間未知觀測(cè)器的欠驅(qū)動(dòng)水面艇交互式軌跡跟蹤控制方法。在一個(gè)基準(zhǔn)欠驅(qū)動(dòng)水面艇上進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)可以證明如下結(jié)論：1）提出的方法能夠準(zhǔn)確地識(shí)別復(fù)雜的未知量，從而在提高軌跡跟蹤性能；2）提出的方法即使在復(fù)雜未知情況下也能夠使AUSV 精確地跟蹤直線(xiàn)軌跡與漸開(kāi)線(xiàn)螺旋控制扭矩，并且可以同時(shí)精確地實(shí)現(xiàn)位置跟蹤和姿態(tài)保持；3）提出的方法對(duì)于可能出現(xiàn)的外部干擾和不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，從而滿(mǎn)足各種復(fù)雜條件下的控制要求。