劉凱磊，劉榮升，康紹鵬，強(qiáng)紅賓,2，陶揚(yáng)

(1.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇常州 213001；2.國機(jī)重工集團(tuán)常林有限公司，江蘇常州 213136；3.江蘇大學(xué)國家水泵及系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，江蘇鎮(zhèn)江 212013；4.河南工學(xué)院智能工程學(xué)院，河南新鄉(xiāng) 453000)

0 前言

混凝土泵車是一種利用壓力將混凝土沿管道連續(xù)輸送的工程機(jī)械，廣泛應(yīng)用于國家基礎(chǔ)設(shè)施及軍工國防建設(shè)。目前，混凝土泵車的使用主要由人工操作來完成，操作者的操作水平直接影響澆筑精度，加之長時(shí)間的重復(fù)操作容易引起疲勞，會(huì)進(jìn)一步影響到澆筑精度進(jìn)而使工作效率降低。因此，為了提高澆筑效率、改善工作環(huán)境以及減輕操作者勞動(dòng)強(qiáng)度，智能化自動(dòng)澆筑作業(yè)已成為該領(lǐng)域國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。

國外內(nèi)學(xué)者主要從操控系統(tǒng)設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、柔性動(dòng)力學(xué)分析、臂架振動(dòng)機(jī)制、電液技術(shù)開發(fā)等方面展開研究，并取得了一定成果。為實(shí)現(xiàn)智能化自動(dòng)澆筑作業(yè)，必須對混凝土泵車臂架系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，然后對澆筑軌跡進(jìn)行規(guī)劃，從而為后續(xù)澆筑軌跡運(yùn)動(dòng)控制提供理論支撐。然而，混凝土泵車臂架系統(tǒng)是一組多自由度的串聯(lián)機(jī)構(gòu)，一般多自由度串聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解是機(jī)器人領(lǐng)域研究的難點(diǎn)。LEE和LIANG利用14個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解方程和解析方法，得到一般6R機(jī)器人的16組反解。RAGHAVAN和ROTH利用分離變量消元的方法將運(yùn)動(dòng)學(xué)反解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)變量半角正切的一元十六次方程求根問題等。對于混凝土泵車臂架而言，運(yùn)動(dòng)學(xué)反解是實(shí)現(xiàn)自動(dòng)澆筑的最基本前提，現(xiàn)階段的研究多采用反變換法、幾何法、最小關(guān)節(jié)范數(shù)法等。反變換法是機(jī)器人研究領(lǐng)域常用的反解算法，即左乘逆矩陣代數(shù)法直接求解6個(gè)一元方程，求得多組逆解，需要反復(fù)左乘逆矩陣，尋求合適的求解方程，其計(jì)算過程復(fù)雜，耗時(shí)長。澆筑過程中，只有臂架末端位置已知，姿態(tài)未知，因此更增大了求解的難度，而且根據(jù)通用方法反解出的角度隨意性大，短時(shí)間內(nèi)變化跨度大，使得臂架跟蹤性能差，易產(chǎn)生振動(dòng)。

因此，為克服目前串聯(lián)機(jī)器人反解算法計(jì)算過程復(fù)雜、耗時(shí)長，不適于工程應(yīng)用的困難，以五節(jié)臂混凝土泵車為研究對象，對混凝土泵車臂架系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。利用區(qū)域軌跡規(guī)劃法將臂架系統(tǒng)的工作空間進(jìn)行細(xì)分，研究基于區(qū)域規(guī)劃法的泵車臂架系統(tǒng)反解算法；利用插補(bǔ)算法，根據(jù)實(shí)際澆筑工況，對典型的自動(dòng)澆筑軌跡進(jìn)行規(guī)劃，從而為后續(xù)自動(dòng)澆筑軌跡運(yùn)動(dòng)控制提供參考。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析

1.1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)坐標(biāo)模型

混凝土泵車臂架系統(tǒng)是一組空間六自由度開環(huán)串聯(lián)機(jī)構(gòu)。根據(jù)D-H法建立混凝土泵車臂架機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 混凝土泵車臂架機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系

結(jié)合各節(jié)臂架的結(jié)構(gòu)尺寸，可以得到D-H矩陣的連桿參數(shù)，如表1所示。其中，表示從到+1沿測量的距離；表示從到+1繞旋轉(zhuǎn)的角度；表示從-1到沿測量的距離；表示-1到繞旋轉(zhuǎn)的角度。

表1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)的連桿參數(shù)

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

(1)

(2)

式中:=cos;=sin;=cos;=sin;=cos(+);=sin(+)，以此類推。

由式(2)可以看出臂架末端點(diǎn)的坐標(biāo)(，，)是關(guān)于、、、、、的函數(shù)。因此，確定關(guān)節(jié)變量～，可以確定臂架末端點(diǎn)在基坐標(biāo)系中的位置，所以針對關(guān)節(jié)變量的精確控制可實(shí)現(xiàn)在機(jī)械機(jī)構(gòu)允許范圍內(nèi)的任意澆筑軌跡。

2 基于區(qū)域規(guī)劃法的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)反解工況分析

五節(jié)臂泵車臂架系統(tǒng)是一組空間六自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)，根據(jù)空間機(jī)構(gòu)學(xué)原理，該機(jī)構(gòu)有2個(gè)或3個(gè)冗余自由度，所以當(dāng)澆筑軌跡確定時(shí)，會(huì)有很多冗余反解。一般的求解方法不能求解出唯一的各相對轉(zhuǎn)角，因而無法實(shí)現(xiàn)智能化自動(dòng)澆筑。為解決這一問題，將凝土泵車臂架系統(tǒng)的工作空間進(jìn)行分區(qū)域規(guī)劃，根據(jù)臂架位姿及其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在區(qū)域內(nèi)設(shè)定相關(guān)臂架的關(guān)節(jié)變量，可使運(yùn)動(dòng)學(xué)反解具有唯一性，從而為泵車臂架系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制奠定基礎(chǔ)。分析混凝土泵車臂架結(jié)構(gòu)，可知混凝土泵車臂架末端的可達(dá)區(qū)域是一個(gè)空間半球形區(qū)域，如圖2所示。

圖2 混凝土泵車臂架末端空間半球形可達(dá)區(qū)域

回轉(zhuǎn)角可根據(jù)公式(3)推導(dǎo)求出：

(3)

由式(3)可知，回轉(zhuǎn)角是關(guān)于末端位置點(diǎn)坐標(biāo)和的函數(shù)，當(dāng)點(diǎn)位置確定時(shí)，可以求出唯一回轉(zhuǎn)角。

基于的唯一性，在區(qū)域劃分時(shí)，可將回轉(zhuǎn)角忽略，即將半球刨切成平面，將空間逆解問題限定為平面逆解問題。在平面區(qū)域上僅有和坐標(biāo)，從而簡化逆解計(jì)算過程。

在唯一確定后，尚有～5個(gè)未知數(shù)待解，而已知參數(shù)只有點(diǎn)的和坐標(biāo)，仍無法唯一確定各相對轉(zhuǎn)角，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)軌跡控制。

根據(jù)臂架結(jié)構(gòu)特性，在確定的情況下，若確定～，則僅剩下和兩個(gè)未知數(shù)，進(jìn)而可根據(jù)坐標(biāo)和，求出唯一解和。

在、、、、和確定時(shí)，根據(jù)公式(1)和(2)，可求出和：

(4)

式中:、、和為簡化公式所定義的參數(shù)，其他參數(shù)定義與式(2)相同。

2.2 臂架運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的區(qū)域軌跡規(guī)劃原理

根據(jù)上述求解思想，本文作者提出基于區(qū)域規(guī)劃的反解算法，其核心是將整個(gè)平面操作區(qū)域劃分為多個(gè)規(guī)則的求解區(qū)域。為快速、準(zhǔn)確求得唯一解，每個(gè)區(qū)域有固定的坐標(biāo)和關(guān)節(jié)參數(shù)、、供查詢，對于澆筑軌跡上的任何一點(diǎn)都可快速求得一組目標(biāo)關(guān)節(jié)變量，避免了繁瑣、費(fèi)時(shí)的多次迭代。

澆筑過程中，臂架結(jié)構(gòu)若呈現(xiàn)如圖3所示的“非正包絡(luò)”形式，各臂連接處在混凝土泵送時(shí)容易受到?jīng)_擊而造成臂架振動(dòng)。相反，若呈現(xiàn)如圖4所示的“正包絡(luò)”形式，可以大大減小臂架振動(dòng)。

圖3 泵車臂架“非 圖4 泵車臂架“正正包絡(luò)”形式 包絡(luò)”形式

因此，將“正包絡(luò)”引入到區(qū)域規(guī)劃法中。以“正包絡(luò)”澆筑形式確定每一組關(guān)節(jié)變量～及、的變化范圍，則臂架末端點(diǎn)在平面中的可達(dá)區(qū)域可由正解公式(2)求得。例如，選取出一組關(guān)節(jié)變量=0°、=75°、=165°、=160°、=160°～ 240°、=30°～ 170°，經(jīng)計(jì)算，臂架末端點(diǎn)的可達(dá)區(qū)域如圖5所示。

圖5 特定角度時(shí)臂架末端點(diǎn)P可達(dá)區(qū)域

按上述方法，將臂架的整個(gè)工作空間進(jìn)行區(qū)域規(guī)劃：

(1)把臂架工作空間等分成若干個(gè)正方形區(qū)域，依據(jù)實(shí)際澆筑工況及臂架結(jié)構(gòu)特性確定正方形區(qū)域邊長為5 m；

(2)通過選取不同關(guān)節(jié)變量、、的值，按照前面所述方法確定臂架末端的可達(dá)區(qū)域，但每個(gè)區(qū)域并不是規(guī)則的幾何圖形，如圖5所示，不符合正方形的條件，所以對可達(dá)區(qū)域所能完全覆蓋的正方形進(jìn)行標(biāo)記，并記錄當(dāng)前關(guān)節(jié)變量、、的值，依此類推，規(guī)劃出每一個(gè)新區(qū)域；

(3)臂架在跨區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于不同區(qū)域關(guān)節(jié)變量、、的值不同，瞬間的角度變化會(huì)導(dǎo)致臂架控制不穩(wěn)定，控制精度變差并出現(xiàn)振動(dòng)，因此在相鄰正方形區(qū)域內(nèi)，各自設(shè)置1 m的過渡區(qū)，、、以連續(xù)性變化實(shí)現(xiàn)過渡；

(4) 由于臂架結(jié)構(gòu)的缺陷及“正包絡(luò)”的限制，臂架自動(dòng)澆筑的工作空間即上述區(qū)域規(guī)劃的范圍，略小于臂架系統(tǒng)可達(dá)空間，但滿足澆筑工況需求。

通過上述規(guī)劃方法可將臂架自動(dòng)澆筑的工作空間劃分為42個(gè)區(qū)域，如圖6所示。

圖6 泵車臂架末端可達(dá)區(qū)域平面劃分圖

依據(jù)劃分的區(qū)域，結(jié)合實(shí)際澆筑軌跡，可快速計(jì)算出澆筑軌跡上各臂架的相對轉(zhuǎn)角，為臂架的智能控制建立基礎(chǔ)。

3 自動(dòng)澆筑軌跡規(guī)劃

3.1 自動(dòng)澆筑軌跡實(shí)現(xiàn)

依據(jù)區(qū)域劃分，建立臂架澆筑末端坐標(biāo)與各關(guān)節(jié)變量之間的一一對應(yīng)關(guān)系。在澆筑軌跡已知的情況下，運(yùn)用插補(bǔ)算法將軌跡曲線離散成一系列的澆筑點(diǎn)。利用區(qū)域規(guī)劃法求出每個(gè)澆筑點(diǎn)所對應(yīng)的一組關(guān)節(jié)變量，當(dāng)求出相鄰兩個(gè)澆筑點(diǎn)所對應(yīng)關(guān)節(jié)變量以后，利用控制系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)各臂架的執(zhí)行液壓缸，使得各臂同步達(dá)到同一組關(guān)節(jié)變量，使臂架澆筑末端從軌跡的一個(gè)離散點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)離散點(diǎn)，依次循環(huán)，臂架澆筑末端從軌跡的起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)澆筑功能。

3.2 直線軌跡實(shí)時(shí)插補(bǔ)算法

為保證澆筑過程的平穩(wěn)性，在澆筑起點(diǎn)與終點(diǎn)之間采用插補(bǔ)算法，插入中間點(diǎn)，再用運(yùn)動(dòng)學(xué)反解算法求出各個(gè)關(guān)節(jié)的角度，通過控制系統(tǒng)對泵車臂架進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，具體流程如圖7 所示。

圖7 直線軌跡控制流程

空間直線插補(bǔ)是串聯(lián)機(jī)構(gòu)理論中不可缺少的基本插補(bǔ)算法，在已知該直線始末兩點(diǎn)的位置和姿態(tài)下，求各軌跡插補(bǔ)點(diǎn)的位置和姿態(tài)。當(dāng)給定直線始末兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(，，)和(，，)，臂架末端從點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在固定插補(bǔ)步長Δ的條件下，確定插補(bǔ)次數(shù)，進(jìn)而算出插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)。

綜合考慮澆筑過程的穩(wěn)定性與控制器計(jì)算精度，取插補(bǔ)步長Δ為100 mm，則插補(bǔ)直線長度為

(5)

插補(bǔ)總步數(shù)為

(6)

則可以實(shí)時(shí)計(jì)算出各插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)：

(7)

式中：為插補(bǔ)次數(shù)，在0～之間變化；、、為第次插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)值。

3.3 自動(dòng)澆筑直線軌跡控制流程

混凝土泵車由于其露天工況，控制系統(tǒng)采用的是16位工程機(jī)械運(yùn)動(dòng)控制器，控制器的CPU、內(nèi)存等參數(shù)遠(yuǎn)低于工業(yè)控制器，但是工作溫度、防護(hù)等級均高于工業(yè)控制器，因此，其計(jì)算能力有限。為滿足控制系統(tǒng)自動(dòng)澆筑直線過程中實(shí)時(shí)性自動(dòng)控制的要求，設(shè)計(jì)基于插補(bǔ)算法的控制流程圖，如圖8所示。

具體步驟如下：

(1)確定直線運(yùn)動(dòng)軌跡。在當(dāng)前狀態(tài)，通過裝在回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)之間、臂架與臂架之間的6個(gè)角度傳感器在線實(shí)時(shí)測量6個(gè)關(guān)節(jié)變量，通過公式(2)計(jì)算出臂架末端點(diǎn)當(dāng)前坐標(biāo)，根據(jù)直線軌跡的終點(diǎn)坐標(biāo)，判斷它是否超出臂架末端點(diǎn)工作范圍，若沒有超出則確定該點(diǎn)為直接軌跡終點(diǎn)坐標(biāo)；若超出范圍，則以臂架末端點(diǎn)的最遠(yuǎn)點(diǎn)為終點(diǎn)坐標(biāo)。

(2)直線運(yùn)動(dòng)軌跡離散。通過直線軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算直線長度，根據(jù)插補(bǔ)步長Δ，利用式(5)—(7)計(jì)算直線軌跡上的插補(bǔ)點(diǎn)，最終確定每個(gè)離散點(diǎn)的坐標(biāo)。

(3)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解計(jì)算與實(shí)時(shí)控制。確定臂架末端點(diǎn)當(dāng)前坐標(biāo)后，根據(jù)下一離散點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷它是否處于過渡區(qū)，若不處于過渡區(qū)，根據(jù)所在區(qū)域標(biāo)號，查出關(guān)節(jié)變量、和，并根據(jù)式(3)(4)反解計(jì)算出、和；如處于過渡區(qū)，則根據(jù)兩個(gè)相鄰區(qū)域標(biāo)號的關(guān)節(jié)變量、和進(jìn)行插值,計(jì)算出、和，并根據(jù)式(3)(4)反解計(jì)算出、和；然后將下一個(gè)離散點(diǎn)作為目標(biāo)點(diǎn)，通過對各個(gè)關(guān)節(jié)實(shí)施閉環(huán)反饋控制，完成每個(gè)離散點(diǎn)跟蹤控制，進(jìn)而完成臂架末端直線澆筑軌跡控制。

圖8 直線軌跡控制流程

3.4 典型運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃

選取兩種典型的直線軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，分析驗(yàn)證直線軌跡控制流程。在實(shí)際澆筑過程中，垂直平面內(nèi)的水平直線和水平面內(nèi)的斜直線澆筑軌跡最為典型。因此，選取水平直線、斜直線進(jìn)行軌跡規(guī)劃，分別如圖9、圖10所示。

圖9 垂直平面內(nèi)的水平直線軌跡

圖10 水平面內(nèi)的斜直線軌跡

當(dāng)泵車臂架末端的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9和圖10所示時(shí)，各個(gè)臂架相對轉(zhuǎn)角均呈現(xiàn)連續(xù)性變化，分別如圖11和圖12所示。

圖11 垂直平面內(nèi)水平直線軌跡時(shí)臂架末端相對轉(zhuǎn)角變化曲線 圖12 水平平面內(nèi)斜直線軌跡的相對轉(zhuǎn)角變化曲線

兩種典型直線計(jì)算結(jié)果表明：

(1)泵車臂架末端在垂直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，沒有回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，不變化，為恒定值；在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，、和均發(fā)生連續(xù)性變化。

(2)泵車臂架末端在非過渡區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對轉(zhuǎn)角、和不發(fā)生變化，其值為非過渡區(qū)域內(nèi)設(shè)定的相轉(zhuǎn)角值。

(3)泵車臂架末端在過渡區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對轉(zhuǎn)角～均發(fā)生連續(xù)性變化，變化趨勢比較明顯。

上述計(jì)算結(jié)果符合所設(shè)計(jì)的直線軌跡控制流程，達(dá)到了泵車臂架澆筑末端直線行走的目的，并且具有反解唯一、計(jì)算量小、實(shí)時(shí)性高等特點(diǎn)，能夠在16位工程機(jī)械運(yùn)動(dòng)控制器實(shí)現(xiàn)。

5 結(jié)論

(1)針對混凝土泵車臂架系統(tǒng)臂架末端的反解算法計(jì)算量大、耗時(shí)長等特點(diǎn)，提出了基于區(qū)域規(guī)劃法的泵車臂架系統(tǒng)反解算法，簡化了臂架反解運(yùn)算過程，使反解具有唯一性，從而提高了在線反解計(jì)算速度，適于工程應(yīng)用。

(2)在泵車臂架末端直線澆筑軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)之間，采用了插補(bǔ)算法，有效提高了澆筑過程的平穩(wěn)性，并兼顧了控制器的計(jì)算與儲(chǔ)存能力。

(3)根據(jù)混凝土泵車工況需求，提出了混凝土泵車智能化自動(dòng)軌跡澆筑實(shí)施方法，對兩種典型的直線運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了反解計(jì)算，驗(yàn)證了該方法的可行性。