◇賈雪娟（江蘇：南京市銀龍花園學(xué)校）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果與教師提供的學(xué)習(xí)材料有著密切的關(guān)系，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料不單是現(xiàn)成的教材，更是教師站在學(xué)生的視角，通過研讀理解教材，剖析數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合的適合小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的材料。它是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)與學(xué)習(xí)方式深度融合的載體。深度學(xué)習(xí)的課堂有一個(gè)很重要的因素就是歷程，我們可以借力學(xué)材，讓學(xué)生親歷學(xué)習(xí)過程，也讓學(xué)習(xí)過程看得見。

一、呈現(xiàn)個(gè)性學(xué)習(xí)，讓思維路徑看得見

學(xué)生是課堂的主人，學(xué)習(xí)應(yīng)該屬于學(xué)生自己。但每個(gè)學(xué)生都是不同的個(gè)體，都有自己的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，正如沒有兩片完全相同的樹葉，天下也沒有完全雷同的學(xué)生。怎樣因材施教呈現(xiàn)他們的個(gè)性化學(xué)習(xí)呢？

案例1：在《認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)》的情境引入時(shí)，我拍攝了班級(jí)學(xué)生的座位圖作為學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)教室里一共有多少人。

學(xué)生有的1 個(gè)1 個(gè)數(shù)，有的2 個(gè)2 個(gè)數(shù)，有的5個(gè)5個(gè)數(shù)，有的10個(gè)10個(gè)數(shù)，還有的多種方法一起數(shù)。最初的設(shè)計(jì)是呈現(xiàn)雜亂排列的23 根小棒，讓學(xué)生用自己的方法數(shù)一數(shù)，但學(xué)生不感興趣。為了進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的興趣，改為呈現(xiàn)雜亂擺放的23顆糖果，但學(xué)生基本上是一顆一顆數(shù)，因?yàn)樘枪臄[放沒有規(guī)律，一顆一顆數(shù)，學(xué)生覺得更簡(jiǎn)單。怎樣讓學(xué)生感受數(shù)數(shù)方法的多樣性，特別是10 個(gè)10個(gè)數(shù)的方便性呢？我就想到了教室的座位，一大組正好有10 個(gè)人，而且座位的擺放規(guī)則，學(xué)生應(yīng)該能想到很多種數(shù)法。果不其然，學(xué)生對(duì)這個(gè)問題非常感興趣，個(gè)個(gè)開動(dòng)腦筋，反饋時(shí)呈現(xiàn)出不同的數(shù)數(shù)方法。通過對(duì)比，學(xué)生也體會(huì)到10 個(gè)10 個(gè)數(shù)的便捷。這樣有助于學(xué)生理解數(shù)的含義，為學(xué)習(xí)數(shù)的組成做好鋪墊。

數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，生活中的素材是寶貴的學(xué)習(xí)材料，經(jīng)過合理的設(shè)計(jì)，學(xué)生可以借助生活中的學(xué)材呈現(xiàn)個(gè)性化的想法，也讓自己的思維路徑看得見。所以教師既要善于發(fā)掘兒童身邊的“學(xué)材”，又要基于時(shí)代的特質(zhì)，開發(fā)學(xué)材，為學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù)，為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)。

二、多元表征，讓概念形成過程看得見

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，絕大多數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)象都可以用實(shí)物情境、教具模型、圖形、圖表、言語、書寫符號(hào)這五種類型來表征。數(shù)學(xué)多元表征，可以多層次抽象數(shù)學(xué)概念，多視角歸納數(shù)學(xué)概念，多維度建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，讓數(shù)學(xué)概念的形成過程看得見。

如何使用學(xué)材，讓多元表征更有效呢？

（一）目標(biāo)驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)教材向?qū)W材轉(zhuǎn)化

對(duì)于《認(rèn)識(shí)100 以內(nèi)的數(shù)》一課，各個(gè)版本的教材都運(yùn)用了哪些學(xué)材？這些學(xué)材是如何作用于學(xué)生的？我對(duì)人教版、北師大版、蘇教版這三個(gè)版本的教材進(jìn)行了橫向梳理，發(fā)現(xiàn)它們的相同點(diǎn)是：三個(gè)版本的教材都選取了小棒，因?yàn)樾“舾芡癸@數(shù)的層次性，更容易幫助學(xué)生借助操作看到“十進(jìn)”，即“10 個(gè)一是1 個(gè)十”“10 個(gè)十是1 個(gè)百”。它們的不同點(diǎn)是：蘇教版主要提供了計(jì)數(shù)器，計(jì)數(shù)器是學(xué)習(xí)和理解“位值”的很好學(xué)材，方便學(xué)生動(dòng)手操作，尤其在學(xué)習(xí)多位數(shù)時(shí)，這個(gè)優(yōu)勢(shì)更為顯著；北師大版提供了第納斯木塊，木塊也凸顯“十進(jìn)”，雖然其結(jié)構(gòu)與木棒相同，但是，第納斯木塊更能凸顯數(shù)的結(jié)構(gòu)，容易讓學(xué)生頭腦里形成一維、二維到三維的表象，也為后續(xù)大數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊；人教版提供了下圖這樣的素材。

圖片中的物品按每1 列有10 個(gè)或者每1 行有10個(gè)擺放，這樣方便學(xué)生數(shù)數(shù)和理解數(shù)的組成。

還有10×10 的格子紙，如表示32（即3 行加2個(gè)），格子紙為學(xué)習(xí)百數(shù)表奠定基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)小數(shù)的一種重要工具。

生活中如果遇到數(shù)豆子、數(shù)珠子的問題，人們是怎樣解決的呢？有一種數(shù)數(shù)的工具“數(shù)珠器”，如下圖。它可以快速數(shù)出大量的珠子，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

但是，這些學(xué)材各自也有一些不足：小棒是10根打成一捆，不能讓學(xué)生清楚地看出是10 個(gè)一；第納斯木塊更能凸顯“形的直觀”與“數(shù)”之間的關(guān)系，但學(xué)生動(dòng)手操作麻煩；計(jì)數(shù)器半直觀半抽象；格子紙涂色較慢；數(shù)珠器成本較高。教學(xué)中，我們可以嘗試融合多樣的學(xué)材，使表征多元化，但要避免華而不實(shí)，要讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

（二）優(yōu)化學(xué)材，讓數(shù)的概念逐步形成

學(xué)材具有多樣性，也各有利弊，如何使用學(xué)材發(fā)揮它的優(yōu)勢(shì)，減少它的弊端呢？在傳統(tǒng)學(xué)材的基礎(chǔ)上，是否可以進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)材？這些都是我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該思考的問題。

案例2：在《認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)》教學(xué)中，最初給學(xué)生提供的學(xué)材有小棒、木塊，讓學(xué)生用喜歡的方式表示出23。有的學(xué)生擺木塊，2豎條加3個(gè)，有的學(xué)生擺小棒，2 捆加3 根。再通過比較不同點(diǎn)與相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)它們都表示2 個(gè)十，3 個(gè)一，這也是23 這個(gè)數(shù)的含義。學(xué)生借助小棒、木塊，直觀體會(huì)了數(shù)的含義，能不能在直觀操作的基礎(chǔ)上，豐盈學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，讓思維過程拾級(jí)而上呢？

我啟發(fā)學(xué)生思考：除了小棒，我們還能借助其他學(xué)材去探索100 以內(nèi)甚至更大的數(shù)嗎？引出可以用圓片來代替小棒，1 個(gè)紅圓片表示1 個(gè)一，10根小棒可以捆一捆，可是圓片不方便捆起來，又該怎么辦呢？可以用1 個(gè)綠圓片表示1 個(gè)十，10 個(gè)綠圓片就是100，可以用1個(gè)藍(lán)圓片表示1個(gè)百。2個(gè)綠圓片和3 個(gè)紅圓片合起來就表示23。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的擺放和計(jì)數(shù)器很像，有助于學(xué)生理解計(jì)數(shù)器的原理，也為下節(jié)課深入研究計(jì)數(shù)器的學(xué)習(xí)做了鋪墊。

課后我也進(jìn)行了反思，用顏色區(qū)分“數(shù)值”比較抽象，為了更直觀，可以用1個(gè)小圓片表示1個(gè)一，1個(gè)稍大點(diǎn)的圓片表示1個(gè)十，1個(gè)更大的圓片表示1個(gè)百。再擺出23，擺出的圓片有的大有的小，說明表示的數(shù)值不同。為了更簡(jiǎn)單地表示不同的數(shù)值，可以用顏色和大小都一樣的圓片，但要標(biāo)清楚每個(gè)圓片的數(shù)值，也就是數(shù)位，即計(jì)數(shù)器的原理。

了解學(xué)情后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生是有能力更深入學(xué)習(xí)的，所以我們提供的學(xué)材要讓學(xué)生的思維過程富有張力，從已有的經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)出新的經(jīng)驗(yàn)，推動(dòng)學(xué)生的思維由淺入深不斷進(jìn)階，讓數(shù)的概念逐步形成。我們發(fā)現(xiàn)優(yōu)化學(xué)習(xí)材料有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能，更有利于學(xué)生的發(fā)展。

三、凸顯數(shù)形結(jié)合，讓概念內(nèi)涵看得見

概括而言，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的對(duì)象就是數(shù)和形。數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、結(jié)合既是數(shù)學(xué)的重要思想，也是一種很好的教學(xué)方法。以形助數(shù)，以數(shù)輔形，可以達(dá)到邏輯思維與形象思維的完美統(tǒng)一。

在認(rèn)識(shí)數(shù)的教學(xué)中，我們讓數(shù)的概念與小棒圖、木塊圖、計(jì)數(shù)器圖等圖形有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生對(duì)數(shù)的概念形成清晰的表象。在教學(xué)中，我們除了讓學(xué)生擺一擺，還可以讓學(xué)生試著畫一畫，提供畫圖的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生由直觀思維向抽象思維進(jìn)一步過渡。

在數(shù)學(xué)課上，我經(jīng)常會(huì)讓學(xué)生畫一畫數(shù)的組成、概念的含義、題中的信息、解題思路等。經(jīng)過平時(shí)的畫圖練習(xí)，學(xué)生已經(jīng)養(yǎng)成一種習(xí)慣，覺得學(xué)數(shù)學(xué)沒有那么難，而且很有意思。畫圖是直觀思維和抽象思維之間的橋梁，是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的進(jìn)一步提升。在課堂上給學(xué)生提供畫圖的機(jī)會(huì)，可以讓概念內(nèi)涵看得見。

四、注重脈絡(luò)建構(gòu)，讓知識(shí)體系看得見

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，它們之間有著密切的聯(lián)系，每一個(gè)新知識(shí)點(diǎn)都是已有知識(shí)點(diǎn)的拓展和延續(xù)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，秉持這樣的一種“關(guān)系”數(shù)學(xué)觀，有助于“整體”教學(xué)，讓學(xué)習(xí)方法得以同化和順應(yīng)，讓知識(shí)體系看得見。

學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，從認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)到認(rèn)識(shí)20以內(nèi)的數(shù)到認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)到認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)的數(shù)再到認(rèn)識(shí)多位數(shù)。認(rèn)識(shí)數(shù)的方法也由具體向抽象過渡，最初是數(shù)生活中的實(shí)物，到數(shù)圓片、小棒，到計(jì)數(shù)器，再到算盤。數(shù)的方法也由1個(gè)1個(gè)數(shù)，提升到10個(gè)10個(gè)數(shù)、100 個(gè)100 個(gè)數(shù)、1000 個(gè)1000 個(gè)數(shù)……但是學(xué)習(xí)的方法是相通的，它們之間都是“十進(jìn)制”，學(xué)生可以利用學(xué)材建立一個(gè)“十進(jìn)制”數(shù)學(xué)模型，10 個(gè)幾是1 個(gè)幾，讓學(xué)習(xí)資源結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模不同于其他階段，其主要目的并不是讓學(xué)生自己建構(gòu)新的模型，更重要的是讓學(xué)生體驗(yàn)建模的過程，在教師的引導(dǎo)下自主探究相關(guān)問題，由具體到抽象、由個(gè)別到一般，形成模型。在形成模型的基礎(chǔ)上再次應(yīng)用模型，加深對(duì)模型的理解。學(xué)生從認(rèn)識(shí)20 以內(nèi)的數(shù)到認(rèn)識(shí)億以內(nèi)的數(shù)就是這樣的一個(gè)過程。所以，在教學(xué)中，教師要有建模意識(shí)，在這個(gè)過程中，學(xué)材就是拐杖，教師要充分發(fā)揮學(xué)材的作用。

案例3：除了利用學(xué)材建立數(shù)學(xué)模型可以讓數(shù)結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)，數(shù)軸也是能夠讓數(shù)結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)的一種學(xué)材。在《認(rèn)識(shí)11～20》這節(jié)課的教學(xué)中，我讓學(xué)生在數(shù)軸上找到11～20 各數(shù)的位置。有的學(xué)生先找到11，然后一個(gè)一個(gè)地往后找；有的學(xué)生先找到20，再找15，在找數(shù)的位置過程中，對(duì)0～20 各數(shù)之間的關(guān)系有了更深的了解。

在認(rèn)識(shí)更大一些的數(shù)時(shí)，可以繼續(xù)延長(zhǎng)數(shù)軸，在數(shù)軸上找到它們對(duì)應(yīng)的位置。利用數(shù)軸可以將數(shù)有序地表示在一條有方向的線上。這對(duì)于整個(gè)數(shù)體系的建立具有重要的作用。

課堂中應(yīng)關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展，以學(xué)生自主探索為主線，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生。學(xué)材凸顯出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，借助學(xué)材，可以設(shè)計(jì)多元的、有層次的活動(dòng)，讓學(xué)生自主探究，還給學(xué)生思維的空間，激發(fā)學(xué)生思維的動(dòng)力，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“活起來”。通過擺一擺、撥一撥、畫一畫、說一說、寫一寫等途徑，調(diào)動(dòng)學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)，動(dòng)態(tài)、直觀、清晰、深刻地展現(xiàn)學(xué)生的思維，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程真正“看得見”。