謝倩倩 蔡 婷

（合肥學(xué)院 人工智能與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

0 引言

中緯度大氣和海洋環(huán)流是地球物理流體力學(xué)中的一類重要流體，它具有兩個(gè)重要的特征：一是流體的厚度要遠(yuǎn)小于地球半徑，這使得地球的自轉(zhuǎn)對(duì)其產(chǎn)生顯著影響；二是流體的垂直運(yùn)動(dòng)尺度相對(duì)于水平運(yùn)動(dòng)尺度較小，因而其垂直運(yùn)動(dòng)滿足靜力學(xué)平衡條件。因此，深入研究這類流體動(dòng)力學(xué)方程組有助于理解地球物理流體力學(xué)的發(fā)生和演化規(guī)律，同時(shí)為大氣和海洋科學(xué)、氣候變化、長(zhǎng)時(shí)間天氣預(yù)報(bào)的預(yù)測(cè)提供理論依據(jù)。然而，由于大氣和海洋流體原本方程的復(fù)雜性，學(xué)術(shù)界難以通過對(duì)原本方程的研究進(jìn)一步分析地球物理流體。因此，從理論層面上嚴(yán)格分析大氣和海洋環(huán)流流體動(dòng)力學(xué)方程組解的整體適定性一直是偏微分方程的前沿課題之一。

中緯度大氣和海洋環(huán)流的理論計(jì)算和數(shù)值分析最早被國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)界所關(guān)注。上世紀(jì)七、八十年代曾慶存院士對(duì)這類復(fù)雜流動(dòng)的某些近似數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了深入的研究，隨后部分學(xué)者圍繞相關(guān)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了豐富的研究[1-5]。但此類非線性偏微分方程模型由于本身的復(fù)雜性使得用數(shù)學(xué)來嚴(yán)格證明其解的適定性和大時(shí)間性態(tài)變得非常困難[6-7]。Masuda[8]從完全可壓縮Navier-Stokes方程中推導(dǎo)出近似模擬這類復(fù)雜流動(dòng)的原本方程，之后一些學(xué)者結(jié)合大氣和海洋環(huán)流的基本特征推導(dǎo)出一些模擬大氣和海洋環(huán)流流體運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型。本研究主要考慮1994年Constantin等[9]利用靜力學(xué)平衡條件和Boussinesq逼近所建立的描述中緯度大氣和海洋環(huán)流的數(shù)學(xué)模型

其中 0＜α＜1，k＞0 是耗散系數(shù)；θ（x，t）表示標(biāo)量溫度函數(shù)，θ0（x）是給定的初始值；u（x，t）是矢量速度場(chǎng)，且具有如下形式

其中R1，R2是普通的Riesz變換，相應(yīng)的傅里葉變換為

Λα= （-Δ）α/2是分?jǐn)?shù)次拉普拉斯算子，具體是通過傅里葉變換 F[Λαf（ξ）]=|ξ|α（ξ）定義的。

由于準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程（1）是小Rossby數(shù)下的一種模型，從而可近似視作淺水波方程，雖然其是一個(gè)簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型，但該模型與復(fù)雜地球流體的基本運(yùn)動(dòng)卻有著很多的共同點(diǎn)。當(dāng)α=1/2時(shí)，模型（1）與三維經(jīng)典Navier-Stokes方程有很多相似之處，所以α=1/2通常被稱為臨界情形；對(duì)應(yīng)的稱1/2＜α＜1為次臨界情形，稱0＜α＜1/2為超臨界情形。已有大量文獻(xiàn)圍繞準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程解的數(shù)學(xué)理論進(jìn)行了研究，并在次臨界情形、臨界情形兩個(gè)方面取得了豐富的結(jié)論[10-15]。具體地，在次臨界情形下，Resnick[16]證明了初始值充分光滑的條件下準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程光滑解的唯一性。在臨界情形下，Constantin等[17]證明了初始值在L∞范數(shù)很小時(shí)整體經(jīng)典解的存在唯一性；Kiselev等[18]改進(jìn)了文獻(xiàn)[17]中的條件，證明了初始值在周期條件下整體光滑解的存在性；Caffarelli和Vasseur[19]建立了Leray-Hopf弱解的整體正則性。然而，超臨界情形下準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程弱解的整體正則性和唯一性仍未得到解決。

近年來，為了刻畫超臨界情形下解的性態(tài)，部分學(xué)者從次臨界、臨界和超臨界等情形出發(fā)研究準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程弱解的弱強(qiáng)唯一性。次臨界情形下，Constantin和Wu[20]建立了小初值情形下準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程在臨界 Lebesgue 空間 θ∈Lq（0，T；Lp（R2））中解的弱強(qiáng)唯一性。臨界情形下，Marchand[21]證明了當(dāng) θ∈L∞（0，T；H˙-1/2（R2））∩L2（0，T；L2（R2））∩L∞（0，T；BMO）時(shí)，二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程弱解的弱強(qiáng)唯一性；Liu等[22]改進(jìn)Marchand的結(jié)果，建立了當(dāng)▽?duì)取蔐1（0，T；BMO）時(shí)方程弱解的弱強(qiáng)唯一性。超臨界情形下，Dong和Chen[23]利用 Littlewood-Paley分解和 Bony 分解，建立了當(dāng)時(shí)二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程解的弱強(qiáng)唯一性。

基于上述文獻(xiàn)梳理的結(jié)果，本研究意在擴(kuò)展二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程在超臨界情形下解的唯一性準(zhǔn)則；建立了二維超臨界準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程在臨界Besov空間中的弱強(qiáng)唯一性。與以往的結(jié)果相比，該問題的主要困難在于如何在Besov空間的框架下控制非線性項(xiàng)。為此，本研究應(yīng)用了Besov空間的分解技術(shù)，換言之把弱解θ分解成兩個(gè)部分 θ= θ1+ θ2，其中 θ1∈L1（0，T；W1，∞（R2）），θ2∈Lq'（0，T；W1-α/2，p'（R2）），基于這種分解和能量方法得到如下重要的三線性形式估計(jì)：

并在此基礎(chǔ)上建立了方程（1）弱解的唯一性結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)內(nèi)容主要包括以下兩個(gè)方面：首先，給出一些關(guān)于Littlewood-Paley理論、Besov空間等相關(guān)基本知識(shí)；其次，闡述與本研究結(jié)果相關(guān)的重要引理等。

定義1.1[24]假設(shè)χ，φ是S（R2）上的兩個(gè)非負(fù)徑向函數(shù)，其支集分別包含在球 B={ξ∈R2，|ξ|≤4/3}和環(huán) C={ξ∈R2，3/4≤|ξ|≤8/3}中，對(duì)任意的f∈S'（R2）（緩增分布函數(shù)空間），定義如下Littlewood-Paley算子和低頻截?cái)啵?/p>

下文主要陳述二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程（1）弱解的定義以及弱解的存在性定理[16]。

定義 1.2（弱解的定義） 設(shè) θ0∈L2（R2），若可測(cè)函數(shù) θ（x，t）滿足如下條件：

2 主要結(jié)果及相關(guān)引理

特別地，當(dāng)兩給定的初始值 θ0、0相等時(shí)（即：θ0=0），方程（1）的弱解是唯一的（θ=）。

注2.1：上述主要結(jié)果擴(kuò)展了文獻(xiàn)[23]中的結(jié)論，但與已有結(jié)果相比，本研究的技巧主要是通過插值思想對(duì)Besov空間直接進(jìn)行分解，極大地簡(jiǎn)化了證明過程；另外，這種分解技巧同樣適用于臨界的Lebesgue空間。

由于二維經(jīng)典準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程（1）與三維的Navier-Stokes方程在很多方面都具有類比性，借鑒Chen等[25]利用Besov空間分解技巧建立臨界空間上Navier-Stokes方程的弱強(qiáng)唯一性的想法。本小節(jié)也采用空間分解技巧建立了超臨界情形下方程（1）在臨界Besov空間中弱解的唯一性，下面首先就Besov空間的分解引理進(jìn)行闡述。

引理2.1的證明 采用Littlewood-Paley分解方法，將θ分成低頻和高頻部分

即引理2.1的結(jié)論證明完畢。

上述分解結(jié)果是證明二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程（1）解的弱強(qiáng)唯一性的關(guān)鍵點(diǎn)，但想要證明其主要結(jié)論還需要下列三線性形式的控制估計(jì)：

引理2.2的證明 在上述空間分解（引理2.1）的基礎(chǔ)上，可導(dǎo)出

下面只需要對(duì)I和II進(jìn)行控制估計(jì)即可，利用H?lder不等式對(duì)I進(jìn)行分析，可導(dǎo)出

對(duì)于 II，結(jié)合 H?lder不等式，Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式以及Young不等式，可得

其中q'滿足臨界條件α/q'+2/p'=α/2。

結(jié)合式（6）和式（7）的控制估計(jì)，將其帶入式（5），則有下列不等式

即引理2.2的證明完畢。

3 主要結(jié)果的證明

本部分內(nèi)容意在證明定理2.1，雖然引理2.1和引理2.2是證明二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程（1）弱解唯一性的主要步驟，但在證明過程中，下列能量型等式結(jié)果也是必要的。

引理3.1的證明 類似于文獻(xiàn)[18]中的方法，定義磨光函數(shù) ρε= （1/ε）ρ（t/ε），要求其滿足條件

特別地，當(dāng)兩弱解的初始值相等時(shí)（即：θ0=0），結(jié)合w的表達(dá)式可得w0=0，從而推導(dǎo)出θ=，即二維轉(zhuǎn)地轉(zhuǎn)方程（1）的弱解是唯一的。即定理2.1的證明完畢。

4 結(jié)語

準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程（1）不僅在物理層面上具有地球物理流體動(dòng)力學(xué)主要的特性，而且在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上作為分?jǐn)?shù)階耗散偏微分方程具有許多獨(dú)特的性質(zhì)。文章主要從該模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入分析，利用精細(xì)的調(diào)和分析技巧得出空間分解結(jié)論，進(jìn)一步結(jié)合Gronwall不等式建立超臨界準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程在最大臨界Besov空間中弱解的唯一性，極大地簡(jiǎn)化了以往的步驟。本研究可能在如下兩個(gè)方面具有一定的理論意義和實(shí)踐價(jià)值：一方面，所采用的空間分解技巧同樣適用于臨界的Lebesgue空間，從而對(duì)三維Navier-Stokes方程解的性態(tài)研究具有良好的啟發(fā)作用；另一方面，由于準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程（1）是小Rossby數(shù)下的一種模型，因此其可以近似視作淺水波方程，與超臨界情形下的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程方程相比較，在初值充分光滑的條件下，二維歐拉方程整體光滑解的唯一性問題更好被理解。同時(shí)，通過歐拉方程與表面準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程之間的插值，對(duì)具有奇異關(guān)系為 u=-▽⊥（-Δ）-β/2θ=Λ1-βR⊥θ的廣義準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程解的整體適定性研究也具有重要的意義。