吳 濱 詹 凱

(1.北京市101中學(xué) 2.首都師范大學(xué)附屬中學(xué))

在普通高中物理教學(xué)與學(xué)習(xí)中,很少涉及慣性力這個(gè)概念,因?yàn)楦咧姓n程標(biāo)準(zhǔn)中不涉及不同參考系中相對(duì)運(yùn)動(dòng)的定量計(jì)算,更不會(huì)探討兩個(gè)做相對(duì)加速運(yùn)動(dòng)的參考系中物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)或動(dòng)力學(xué)的相關(guān)問(wèn)題.然而這部分內(nèi)容在強(qiáng)基考試、物理競(jìng)賽中卻是運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的重點(diǎn)和核心內(nèi)容.如果一個(gè)學(xué)生想系統(tǒng)學(xué)習(xí)強(qiáng)基知識(shí)或者物理競(jìng)賽內(nèi)容,那慣性力常常是他們遇到的第一個(gè)難點(diǎn).

在實(shí)際教學(xué)中,我們?cè)?jīng)嘗試讓學(xué)生自學(xué)慣性力的內(nèi)容,然后提出一個(gè)問(wèn)題:“能講講科里奧利力是怎么回事嗎?”學(xué)生答曰:“哦,就是微分微出來(lái)的一個(gè)力!”筆者只能報(bào)以一笑.誠(chéng)然,慣性力確實(shí)有其抽象的一面,與中學(xué)課內(nèi)所學(xué)過(guò)的力不同,慣性力似乎找不到其“施力者”,這就讓初學(xué)者丈二和尚摸不著頭腦.然而地球在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn),自己也在自轉(zhuǎn),所以地球就是一個(gè)天然的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系.想要搞清楚地球上發(fā)生的一些神奇現(xiàn)象,慣性力又是繞不開的概念.

本文不打算從煩瑣的數(shù)學(xué)角度出發(fā),嚴(yán)格推導(dǎo)出慣性力,這樣過(guò)于抽象.我們將分別從平動(dòng)加速的車中小球的運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上小球的運(yùn)動(dòng)兩個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例出發(fā),讓讀者真正“看到”慣性力的存在,再去探討汽車加速前進(jìn)、落體偏東、傅科擺、潮汐的形成等一些實(shí)際問(wèn)題.

1 什么“力”讓車中的小球動(dòng)起來(lái)?

如圖1所示,在小車上放置一光滑的水平桌面,再將質(zhì)量為m的小球放在水平桌面上,桌面上除小球(小球的線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于小車的橫向線度)之外別無(wú)他物,即小球水平方向合力為零.然后突然使小車向右對(duì)地做加速運(yùn)動(dòng),小球如何運(yùn)動(dòng)呢?

圖1

地面上的觀察者認(rèn)為:小球?qū)㈧o止在原地,符合牛頓第一定律;車上的觀察者覺(jué)得:小球以－aS的加速度相對(duì)于小車做加速運(yùn)動(dòng).

我們假設(shè)車上的人熟知牛頓運(yùn)動(dòng)定律,尤其對(duì)“加速度是由力引起的”印象至深,以致在任何場(chǎng)合下,他都強(qiáng)烈地要求保留這一認(rèn)知,于是車上的人說(shuō):小球之所以相對(duì)小車有－aS的加速度,是因?yàn)槭艿搅艘粋€(gè)指向左方的作用力,且力的大小為maS,物理上把這個(gè)力命名為慣性力.

以下推導(dǎo)引入慣性力后,就可以使非慣性系中的觀察者仍可以用牛頓運(yùn)動(dòng)定律的語(yǔ)言和公式來(lái)解釋小球的運(yùn)動(dòng),因而具有“實(shí)用性”的意義.慣性力使非慣性系中牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程的形式,與以地面為參考系的牛頓運(yùn)動(dòng)定律在數(shù)學(xué)上完全等效.

設(shè)a為質(zhì)量為m的一質(zhì)點(diǎn)對(duì)地的加速度,aS為某參考系S′對(duì)地的加速度,F為該質(zhì)點(diǎn)所受合力.

由牛頓第二定律得F＝ma,質(zhì)點(diǎn)m相對(duì)參考系S′的加速度a′＝a－aS,兩式聯(lián)立得F＝ma′＋maS,移項(xiàng)得F－maS＝ma′,其中“－maS”可以看成一個(gè)力,叫作平移慣性力,它與真實(shí)力的合成使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生相對(duì)新參考系的加速度a′.

要正確理解“慣性力”需要把握以下要點(diǎn):1)慣性力不是物體間的相互作用.因此,沒(méi)有反作用力,實(shí)質(zhì)上,從慣性系來(lái)看,它只不過(guò)是物體慣性的表現(xiàn).2)慣性力的大小等于研究對(duì)象的質(zhì)量m與非慣性系的加速度aS的乘積,而方向與aS相反,即f*＝－maS.3)我們把牛頓運(yùn)動(dòng)定律成立的參考系叫慣性系,不成立的參考系叫非慣性系.設(shè)一個(gè)參考系相對(duì)絕對(duì)空間加速度為aS,物體相對(duì)此參考系的加速度為a′,牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以寫成F＋f*＝ma′,其中F為物體受到的“真實(shí)的力”,f*為慣性力,是個(gè)“假力”.4)如果研究對(duì)象是剛體,則慣性力等效作用點(diǎn)在質(zhì)心處.

總之,在非慣性系中,牛頓運(yùn)動(dòng)定律不再成立.為了形式上仍能利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律,在相對(duì)慣性系做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的非慣性系中分析物體受力時(shí),除了各種原慣性系受到的力外,認(rèn)為任何物體都還受到一個(gè)慣性力－maS.這樣牛頓運(yùn)動(dòng)定律仍可使用,aS為此非慣性系相對(duì)慣性系的加速度.

2 加速前進(jìn)的車能不能“飛起來(lái)”?

例1(2019年清華領(lǐng)軍)轎車通常有前輪驅(qū)動(dòng)和后輪驅(qū)動(dòng)兩種,當(dāng)轎車啟動(dòng)時(shí),下列說(shuō)法正確的是( ).

圖2

A.前輪驅(qū)動(dòng)時(shí),轎車前輪部分微微下沉

B.前輪驅(qū)動(dòng)時(shí),轎車后輪部分微微下沉

C.后輪驅(qū)動(dòng)時(shí),轎車前輪部分微微下沉

D.后輪驅(qū)動(dòng)時(shí),轎車后輪部分微微下沉

E.無(wú)論是前輪驅(qū)動(dòng)還是后輪驅(qū)動(dòng),轎車整體都會(huì)微微下沉

解析此題我們可以在汽車參考系中分析.汽車參考系是非慣性系,需要引入慣性力f*＝－ma,則汽車在此參考系靜止.如圖3 所示,若轎車為后輪驅(qū)動(dòng),啟動(dòng)時(shí),后輪受到的摩擦力Ff1向前,前輪受到的摩擦力Ff2向后,假設(shè)轎車的重心位于兩輪間的O點(diǎn).設(shè)前后輪間距為L(zhǎng),O點(diǎn)距地面高度為h.由受力平衡得f*＋Ff2＝Ff1,選前輪與地面的接觸點(diǎn)為支點(diǎn),由力矩平衡得f*·h＝FN2·L,a越大,慣性力f*越大,FN2越大,所以轎車后輪部分微微下沉.同理,若轎車為前輪驅(qū)動(dòng)時(shí),轎車也是后輪部分微微下沉.選項(xiàng)B、D 正確.

圖3

點(diǎn)評(píng)在進(jìn)行質(zhì)點(diǎn)的力與運(yùn)動(dòng)的分析時(shí),需考慮慣性力;在分析剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題,考慮力矩時(shí)也需要加上慣性力的力矩.同學(xué)們也可以自行思考,當(dāng)轎車啟動(dòng)加速度多大時(shí),前輪會(huì)離開地面?

3 轉(zhuǎn)動(dòng)的小球受到哪些力?

例2圖4所在平面為某慣性系S的一個(gè)平面,S′系繞著過(guò)O′點(diǎn)垂直于圖平面的固定軸相對(duì)于S系勻速旋轉(zhuǎn),角速度為ω,圖中圓象征S′系中垂直于轉(zhuǎn)軸的一個(gè)平面.

圖4

(1)若質(zhì)點(diǎn)隨S′一起旋轉(zhuǎn),在S′系中,需要引入怎樣的慣性力才能讓質(zhì)點(diǎn)在該系中靜止?

(2)若質(zhì)點(diǎn)在S系中靜止,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于S′系做勻速圓周運(yùn)動(dòng).還需要引入怎樣的慣性力,才能讓質(zhì)點(diǎn)在S′系中轉(zhuǎn)動(dòng)?

解析(1)設(shè)質(zhì)點(diǎn)m靜止在此平面上,相對(duì)于圓心的徑矢為r′.質(zhì)點(diǎn)在S系中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),加速度a和真實(shí)力分別為a＝－ω2r′,F＝ma＝－mω2r′,相對(duì)于S′系有a′＝0,F′＝ma′＝0.

S′系必須認(rèn)可真實(shí)力F的存在,于是需要引入FC＝mω2r′,使得F′＝F＋FC＝0,FC方向與r方向相同,背離旋轉(zhuǎn)中心,稱為慣性離心力,簡(jiǎn)稱離心力.

(2)設(shè)質(zhì)點(diǎn)m相對(duì)S系靜止,測(cè)得質(zhì)點(diǎn)所受真實(shí)力F＝0.在S′系中,質(zhì)點(diǎn)在如圖5中所示的虛線中做圓周運(yùn)動(dòng),向心加速度為a′＝－ω2r′,合力F′需等于圓周運(yùn)動(dòng)向心力F′心,即有F′＝F′心＝ma′＝－mω2r′,質(zhì)點(diǎn)所在位置r′對(duì)應(yīng)的離心力為FC＝mω2r′.于是如圖5所示,在S′系中為質(zhì)點(diǎn)引入虛擬力FCor＝－2mω2r′,才可使得F′＝F＋FC＋FCor＝ma′成立.

圖5

FCor由法國(guó)學(xué)者科里奧利(G.Coriolis)于1835年首先提出,故命名為科里奧利力.科里奧利力因質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于S′系運(yùn)動(dòng)而引入,上面的表達(dá)式卻未能表現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)因素,所以要試著將其改造.按通常習(xí)慣,在右手系中將角速度ω矢量化為ω,方向垂直于圖平面向上,質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于S′系的速度v′方向也已在圖中示出,大小為ωr′,可得v′×ω＝－ω2r′,科里奧利力便可改述成FCor＝2mv′×ω.

點(diǎn)評(píng)慣性離心力是勻速旋轉(zhuǎn)非慣性系S′需引入的第一類虛擬力,這種力僅由S′系中質(zhì)點(diǎn)所在位置r′確定.為易于闡述,特取質(zhì)點(diǎn)相對(duì)S′系處于靜止的特殊狀態(tài)引入慣性離心力,結(jié)果則適用于質(zhì)點(diǎn)在S′系中可取的任何運(yùn)動(dòng)狀態(tài).科里奧利力與慣性離心力不同,一方面,這兩個(gè)慣性力是兩種不同的慣性力,另一方面科里奧利力中出現(xiàn)的速度v′,指的是物體相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)參考系運(yùn)動(dòng)時(shí)的相對(duì)速度.另外還需注意科里奧利力的方向的判斷需要用到矢量叉乘的規(guī)律.利用科里奧利力和慣性離心力,可以解釋很多在地球上發(fā)生的“神奇”現(xiàn)象.

不僅如此，云南的山珍野生菌，已經(jīng)隨著“山大王”品牌走向了國(guó)際市場(chǎng)，產(chǎn)品銷往日本、東南亞國(guó)家，以及意大利、法國(guó)等，在歐美市場(chǎng)也占有一席之地。

4 自由下落的物體為什么“打偏了”?

例3(2018年北京卷)根據(jù)高中所學(xué)知識(shí)可知,做自由落體運(yùn)動(dòng)的小球,將落在正下方位置.但實(shí)際上,赤道上方200m 處無(wú)初速度下落的小球?qū)⒙湓谡路轿恢闷珫|約6cm 處,這一現(xiàn)象可解釋為,除重力外,由于地球自轉(zhuǎn),下落過(guò)程小球還受到一個(gè)水平向東的“力”,該“力”與豎直方向的速度大小成正比,現(xiàn)將小球從赤道地面豎直上拋,考慮對(duì)稱性,上升過(guò)程該“力”水平向西,則小球( ).

A.到最高點(diǎn)時(shí),水平方向加速度和速度均為零

B.到最高點(diǎn)時(shí),水平方向加速度和速度均不為零

C.落地點(diǎn)在拋出點(diǎn)東側(cè)

D.落地點(diǎn)在拋出點(diǎn)西側(cè)

解析由于該“力”與豎直方向的速度大小成正比,所以從小球拋出至運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中,該“力”逐漸減小到零,將小球的上拋運(yùn)動(dòng)沿水平方向和豎直方向分解,由于上升階段,水平分運(yùn)動(dòng)是向西的變加速運(yùn)動(dòng)(水平方向加速度大小逐漸減小),故小球到最高點(diǎn)時(shí)速度不為零,水平向西的速度達(dá)到最大值,故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤;小球到最高點(diǎn)時(shí)豎直方向的分速度為零,由題意可知小球這時(shí)不受水平方向的力,故小球到最高點(diǎn)時(shí)水平方向加速度為零,選項(xiàng)B 錯(cuò)誤;下降階段,由于受水平向東的力,小球的水平分運(yùn)動(dòng)是向西的變減速運(yùn)動(dòng)(水平方向加速度大小逐漸變大),故小球的落地點(diǎn)在拋出點(diǎn)西側(cè),選項(xiàng)C 錯(cuò)誤,選項(xiàng)D 正確.

一般情況下,在地球參考系中,慣性離心力和科里奧利力并不大,雖然引起的相對(duì)誤差較小,但還是能在一些現(xiàn)象中體現(xiàn)出來(lái).我們可以用科里奧利力解釋“北半球的河流對(duì)右岸沖刷得較厲害,而南半球的河流則對(duì)左岸沖刷較厲害”這一現(xiàn)象.地球自西向東轉(zhuǎn),其角速度矢量ω由南指向北,在北半球垂直地面的分量向上,從而v×ω總指向運(yùn)動(dòng)方向v的右邊.在南半球ω垂直地面的分量向下,從而v×ω總指向運(yùn)動(dòng)方向v的左邊,故北半球的河流沖刷右岸,南半球的河流沖刷左岸.

例4(2020年北大強(qiáng)基)單擺在擺動(dòng)過(guò)程中,其擺動(dòng)平面會(huì)逐漸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)(進(jìn)動(dòng)),這是因?yàn)? ).

A.地心引力不均勻

B.月球?qū)Φ厍虻某毕?/p>

C.地球在自轉(zhuǎn),造成地轉(zhuǎn)偏向力

D.以上都不對(duì)

解析單擺振動(dòng)時(shí),振動(dòng)面依理應(yīng)保持不變,但因地球在自轉(zhuǎn),在地面上的觀察者,不能發(fā)覺(jué)地球在轉(zhuǎn),但在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi),卻發(fā)現(xiàn)擺的振動(dòng)面不斷偏轉(zhuǎn).從力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,這也是由于受到了科里奧利力影響的緣故.上述能顯示地球自轉(zhuǎn)的裝置,是1851年傅科在巴黎首先制成的,在傅科擺實(shí)驗(yàn)中,人們看到,擺動(dòng)過(guò)程中擺動(dòng)平面沿順時(shí)針?lè)较蚓従忁D(zhuǎn)動(dòng),擺動(dòng)方向不斷變化.擺在擺動(dòng)平面方向上并沒(méi)有受到外力作用,擺動(dòng)的空間方向不會(huì)改變,因而可知,這種擺動(dòng)方向的變化是觀察者所在的地球轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果.觀察者看到的是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象,從而有力地證明了地球是在自轉(zhuǎn).選項(xiàng)C正確.

點(diǎn)評(píng)傅科擺放置的位置不同,擺動(dòng)情況也不同.在北半球時(shí),擺動(dòng)平面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng);在南半球時(shí),擺動(dòng)平面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).而且緯度越高,轉(zhuǎn)動(dòng)速度越快,在赤道上的擺幾乎不轉(zhuǎn)動(dòng).

5 到底什么是“引潮力”?

地球上海水的周期性漲落稱為潮汐.月球和太陽(yáng)都對(duì)地球上的海水有引力作用,潮汐主要是月球?qū)Ｋ囊υ斐傻?潮汐現(xiàn)象的特點(diǎn)是每晝夜有兩次漲落潮,即在地表離月球最近和最遠(yuǎn)的地方形成漲潮,而在地月連線兩側(cè)處于落潮.如果說(shuō)潮汐是萬(wàn)有引力引起的,那么太陽(yáng)對(duì)海水的引力比月球?qū)Ｋ囊Υ?80倍,為什么是月球?qū)Τ毕鹬饕饔媚? 地—月系統(tǒng)在引力的相互作用下圍繞著共同的質(zhì)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).在地心參考系這個(gè)非慣性系中,各地海水所受相對(duì)地心這個(gè)非慣性系的有效作用力,即引潮力,相當(dāng)于“真實(shí)的月球引力”和“慣性離心力”的合成,其中慣性離心力等于物體質(zhì)量和月球?qū)Φ厍蛞υ诘厍蚯蛐奶幩a(chǎn)生的加速度的乘積,方向沿月地的連線向外.

如果研究各處的有效作用力,計(jì)算較為復(fù)雜,不妨先考慮離月球最遠(yuǎn)和最近的兩處,如圖6所示,研究地球上A、B兩地質(zhì)量為Δm的海水,設(shè)地球半徑為R地,地心與月心的距離為r地月,月球質(zhì)量為M月,則海水所受慣性力F慣＝Δma,因?yàn)樵虑驅(qū)Φ厍蛞λa(chǎn)生的加速度,所以

圖6

A處引潮力

其他地方的引潮力由于引力和慣性離心力不在同一直線上,要運(yùn)用平行四邊形定則分析.各處的引潮力在地表分布如圖7所示,它把地球表面的海水沿地月連線方向拉長(zhǎng)成為一個(gè)橢球,離月球最近和最遠(yuǎn)處形成海水的高峰,地月連線兩側(cè)形成海水的低谷.各處引潮力的大小均與地月間的距離三次方成反比.隨著地球的自轉(zhuǎn),一晝夜之間有兩個(gè)高峰和兩個(gè)低谷掃過(guò)每個(gè)地方,形成兩次高潮和兩次低潮.

圖7

同理可以分析計(jì)算太陽(yáng)的引潮力,經(jīng)計(jì)算可知,太陽(yáng)引潮力與日地間距離的三次方成反比.代入相關(guān)數(shù)據(jù)可知,太陽(yáng)引潮力大小約為月球引潮力的一半.當(dāng)太陽(yáng)的引潮力和月球的引潮力同向疊加時(shí),則為大潮;當(dāng)太陽(yáng)的引潮力與月球引潮力反向疊加時(shí),則為小潮.由此可見(jiàn),引潮力不能僅僅歸結(jié)為月球的作用,否則無(wú)法解釋大潮、小潮現(xiàn)象.

牛頓發(fā)現(xiàn)引力規(guī)律距今僅有300多年,但我國(guó)古代的勞動(dòng)人民發(fā)現(xiàn)潮汐的規(guī)律已經(jīng)有上千年的歷史了.先人這樣的細(xì)心觀察與總結(jié),激勵(lì)著我們熱愛(ài)科學(xué)、崇尚科學(xué).

(完)