尤 曉 琳

(鄭州工程技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 鄭州 450044 )

高等數(shù)學(xué)中多重積分的計(jì)算無(wú)疑是重點(diǎn)內(nèi)容之一。教學(xué)中，有些重積分計(jì)算如果不利用對(duì)稱性計(jì)算相當(dāng)繁瑣，甚至做不出來(lái)。許多學(xué)生在考研備考時(shí)，常常提到這個(gè)問(wèn)題，但現(xiàn)使用的教材[1]中未具體給出。為了提高重積分的運(yùn)算速度，也為了進(jìn)一步加深對(duì)重積分概念、計(jì)算的理解。本文總結(jié)了[2][3]利用對(duì)稱性求重積分的方法。

注：以下積分域都為有界閉區(qū)域，所給被積函數(shù)在積分域上有界、連續(xù)。

一、利用積分域的對(duì)稱性及被積函數(shù)奇、偶性計(jì)算重積分

1.二重積分中的結(jié)論

(1)二重積分中積分域D關(guān)于y軸對(duì)稱，被積函數(shù)對(duì)x具有奇、偶性，則，

證明：因?yàn)榉e分域D關(guān)于y軸對(duì)稱，不妨設(shè)D={(x,y)|-a≤x≤a,φ1(x)≤y≤φ2(x)}

因?yàn)榉e分域D關(guān)于y軸對(duì)稱，φ1(-t)=φ1(t),φ2(-t)=φ2(t)，

(2)二重積分中積分域D關(guān)于x軸對(duì)稱，被積函數(shù)對(duì)y具有奇、偶性，則

證明同上

解：本題中區(qū)域D雖然既不關(guān)于x軸對(duì)稱，也不關(guān)于y軸對(duì)稱，被積函數(shù)也不具有奇、偶性，但是函數(shù)f(x,y)=xy5既是x的奇函數(shù)，又是y的奇函數(shù)，區(qū)域D上加條輔助線(如圖)后，D1關(guān)于x軸對(duì)稱，D2關(guān)于y軸對(duì)稱，則

解：由題意累次積分化成二重積分的積分域D由曲線：y=2-x2,y=-x,y=x圍成(如圖)，則

2.三重積分中的結(jié)論

(1)三重積分中積分域關(guān)于xoy面對(duì)稱，被積函數(shù)對(duì)于z坐標(biāo)有奇、偶性，則，

(2)積分域關(guān)于xoz面對(duì)稱，被積函數(shù)對(duì)于y坐標(biāo)有奇、偶性，則，

(3)積分域關(guān)于yoz面對(duì)稱，被積函數(shù)對(duì)于x坐標(biāo)有奇、偶性，則，

證明類二重積分略

例3：已知D={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,

x≥0,y≥0},

解：積分域D關(guān)于xoy面對(duì)稱，f(x,y,z)=3xyz關(guān)于z坐標(biāo)是奇函數(shù)，

f(x,y,z)=x2+y2+z2關(guān)于z坐標(biāo)是偶函數(shù)

二、利用積分域中變量的對(duì)稱性求重積分

1.二重積分中積分域D關(guān)于兩個(gè)變量對(duì)稱(即積分域關(guān)于y=x對(duì)稱)

酒精性肝病的治療方面，馬薩諸塞大學(xué)醫(yī)學(xué)院Szabo（摘要LB-1）一項(xiàng)多中心隨機(jī)雙盲安慰劑對(duì)照的臨床試驗(yàn)報(bào)道了IL-1受體激動(dòng)劑聯(lián)合己酮可可堿和鋅治療重癥酒精性肝炎28 d，終點(diǎn)指標(biāo)為30 d、90 d及180 d的病死率，與甲潑尼龍（32 mg每日口服，28 d）比較，短期療效相近，長(zhǎng)期療效新的治療更有優(yōu)勢(shì)。

設(shè)D1={(x,y)|a≤x≤b,x≤y≤φ(x)},D2={(x,y)|a≤y≤b,x≤y≤φ(y)≤x≤y}

∵D={(x,y)|x2+y2≤1}關(guān)于y=x對(duì)稱

∵D={(x,y)|x2+y2≤1,x+y≥0}關(guān)于y=x對(duì)稱

2.三重積分中積分域D關(guān)于變量對(duì)稱(任意交換兩個(gè)變量位置積分域不變)

(證明類似二重積分略)

又∵Ω={(x,y,z)x2+y2+z2≤1}關(guān)于x,y,z對(duì)稱

重積分的運(yùn)算對(duì)于本科生來(lái)說(shuō)是個(gè)重點(diǎn)又是難點(diǎn)，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生，被積函數(shù)復(fù)雜些，算不出來(lái)積分，如果充分的掌握了對(duì)稱性，不但可以簡(jiǎn)化做題的步驟、減少做題的時(shí)間，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)重積分的興趣。