范義剛

（安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001）

0 引言

自Lorenz于1963年發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象，便正式拉開了學(xué)者研究混沌的序幕。分維性、遍歷性、有界性、對初始值的強(qiáng)依賴性和對參數(shù)的敏感性是混沌的顯著特征，經(jīng)過學(xué)者的研究，也出現(xiàn)了很多經(jīng)典混沌系統(tǒng)，如Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、蔡氏系統(tǒng)和R?ssler系統(tǒng)等。除了以上經(jīng)典的三維系統(tǒng)，三階系統(tǒng)以上統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)，近些年，四階、五階，甚至更高階的系統(tǒng)已經(jīng)成為一大熱點(diǎn)，高階系統(tǒng)往往意味著系統(tǒng)會擁有更豐富的動力學(xué)特性，且在一些領(lǐng)域有顯著優(yōu)勢，例如密碼系統(tǒng)，高階系統(tǒng)的密鑰空間更大，混沌序列的為隨機(jī)性更好，復(fù)雜度更高。

學(xué)者還發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)也不局限于有限個(gè)，無平衡點(diǎn)系統(tǒng)和線平衡點(diǎn)系統(tǒng)就是典型的例子。顧名思義，線平衡點(diǎn)系統(tǒng)中的平衡點(diǎn)就是一條線，線平衡點(diǎn)的形狀可以多種多樣，例如方形、圓形和心形等。通常具有線平衡點(diǎn)的系統(tǒng)表明系統(tǒng)可能產(chǎn)生隱藏吸引子，自從隱藏吸引子被發(fā)現(xiàn)，它就成了非線性領(lǐng)域熱門話題，此外，多穩(wěn)定性是混沌中一個(gè)有趣的現(xiàn)象。所以該文基于現(xiàn)有的混沌系統(tǒng)，旨在設(shè)計(jì)一個(gè)新的具有線平衡點(diǎn)的高階混沌系統(tǒng)，且該系統(tǒng)具有隱藏吸引子和多穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)模型

該文在Atiyeh Bayani所提出的系統(tǒng)基礎(chǔ)上，添加了一個(gè)線性項(xiàng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)新的具有隱藏吸引子的混沌系統(tǒng)，文獻(xiàn)[4]中平衡點(diǎn)受到x軸和w軸的影響，而該文所提出的系統(tǒng)的平衡點(diǎn)在整個(gè)w軸，該文采用歸一化（即無量綱）的方程，該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如公式（1）所示。

式中：、、和是狀態(tài)變量；、和為系統(tǒng)參數(shù)。

使公式（1）右邊為0，顯然y和z均為0，代入公式（1），可以得到系統(tǒng)平衡點(diǎn)為（0，0，0，），其中為任意數(shù)，平衡點(diǎn)在整個(gè)軸，所以系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為線平衡點(diǎn)，這意味著系統(tǒng)在特殊的系統(tǒng)參數(shù)和初始值下可能會產(chǎn)生隱藏吸引子。

對線平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，設(shè)=-1.2，=-2，=0.3，設(shè)置初始值 [（0），（0），（0），（0）]為（-1，0，-1.6，0），計(jì)算得到給定條件下公式（1）的Jacobian矩陣如公式（2）所示。

公式（2）對應(yīng)的特征多項(xiàng)式如公式（3）所示。

由公式（3）得知多項(xiàng)式系數(shù)=2，=0.2k，=0，=0，根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)，如果平衡點(diǎn)穩(wěn)定，需要滿足這些條件：＞0，-＞0，（-）-＞0，a4＞0。顯然特征多項(xiàng)式的系數(shù)不滿足判據(jù)條件，因此公式（1）的線平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，進(jìn)一步說明該系統(tǒng)在特定條件下可以產(chǎn)生隱藏吸引子。在系統(tǒng)的初始值和參數(shù)確定后，通過四階龍格庫塔法計(jì)算出一組李雅普諾夫指數(shù)（），第一李雅普諾夫指數(shù)（）=0.0205，第二李雅普諾夫指數(shù)（）=0.0028，第三李雅普諾夫指數(shù)（）=-0.8335，第四李雅普諾夫指數(shù)（）=-1.1898，符合混沌的定義，因此根據(jù)李雅普諾夫維數(shù)定義，可以計(jì)算出李雅普諾夫維數(shù)（D），如公式（4）所示。

接著為了證明混沌系統(tǒng)的有界性，求解公式（1）的耗散度，如公式（5）所示。

從公式（5）來看，系統(tǒng)耗散度為負(fù)，且只受參數(shù)影響，而系統(tǒng)軌跡會被混沌吸引盆吸引，以e的速度收縮到吸引子上，證明了系統(tǒng)的有界性。

從以上的分析來看，李雅普諾夫指數(shù)有正有負(fù)，李雅普諾夫維數(shù)不是整數(shù)且耗散度為負(fù)，說明該系統(tǒng)可以產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

2 動力學(xué)特性分析

2.1 相圖和龐加萊截面

為進(jìn)一步證明公式（1）能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，設(shè)=-1.2，=-2，=0.3，初始值 [（0），（0），（0），（0）]為（-1，0，-1.6，0），采用四龍格庫塔法，步長為0.01，通過數(shù)值模擬得到系統(tǒng)軌跡圖和龐加萊截面圖，結(jié)果如圖1所示。其中相圖（相軌跡圖）是系統(tǒng)運(yùn)動時(shí)的刻畫，反映了系統(tǒng)狀態(tài)量的變化，通常作為觀察動力學(xué)特性的最直接方法。為了方便研究系統(tǒng)軌跡在平面上的投影，利用二維圖可以直接判斷非線性系統(tǒng)所呈現(xiàn)的簡單動力學(xué)行為，而對復(fù)雜一些的動力學(xué)行為，為更直觀地分析系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)，三維立體圖則是不錯(cuò)的選擇。相軌圖可初步判定動力學(xué)行為的復(fù)雜程度，為進(jìn)一步分析動力學(xué)特性奠定基礎(chǔ)。圖1（a）為混沌吸引子在--上的系統(tǒng)軌跡圖，圖1（b）為吸引子在-平面上的相軌跡圖，圖1（c）為=0時(shí)，系統(tǒng)軌跡圖在-平面的投影。

龐加萊截面是由龐加萊在19世紀(jì)提出的，是分析動力學(xué)特性的常用工具，在分析復(fù)雜的動力學(xué)行為的過程中起到降維的作用，因此龐加萊截面在研究非線性動力學(xué)特性方面比較方便，基該方法就是選取合適的二維空間，形成一個(gè)系統(tǒng)軌線通過的平面，使這些軌線從平面穿過，穿透過去的位置就是系統(tǒng)軌跡留下的點(diǎn)，當(dāng)有很多點(diǎn)時(shí)就構(gòu)成了熟知的龐加萊截面。換言之，就是系統(tǒng)的軌跡在某一特定的二維空間留下的投影。所以根據(jù)圖1（c）可以看出，構(gòu)造的=0時(shí)-所形成的龐加萊截面中含有很多的稠密點(diǎn)，意味著系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖1 系統(tǒng)相圖和龐加萊截面圖

2.2 多穩(wěn)定性和隱藏吸引子

分岔圖作為研究非線性動力行為的方法之一，可更深層次地分析動力學(xué)特性。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，它的龐加萊映射在某一個(gè)坐標(biāo)軸上的投影構(gòu)成了參數(shù)變化下的分岔圖。對固定的系統(tǒng)參數(shù)，分岔圖中的與周期數(shù)相等的信號點(diǎn)可以代表系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期狀態(tài)。當(dāng)有無數(shù)的點(diǎn)分布在某一區(qū)域內(nèi)，這些無數(shù)周期的點(diǎn)在相同的位置不會重疊，表示非線性系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。所以，從分岔圖中可以觀察到系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為隨參數(shù)變化的過程。混沌系統(tǒng)對初始值極為敏感，在混沌振蕩中2個(gè)差值極小的初始值產(chǎn)生的混沌軌跡，在特定條件下會隨著時(shí)間變化以指數(shù)方式靠近和分離，而李雅普諾夫指數(shù)（）正是表征這一運(yùn)動狀態(tài)的特征，表示吸引子沿著某一個(gè)方向平均發(fā)散或者收斂的快慢程度。在多維空間中，例如維空間，就有個(gè)李雅普諾夫指數(shù)，并按照從大到小排序，就得到一個(gè)組合≧≧……≧LE，這個(gè)組合也被稱為李雅普諾夫指數(shù)譜。其中LE也被稱為最大李雅普諾夫指數(shù)，它決定軌道覆蓋整個(gè)吸引子的快慢，LE是最小的李雅普諾夫指數(shù)，決定軌道收斂的快慢。李雅普諾夫指數(shù)的正負(fù)可以代表系統(tǒng)所處的狀態(tài)，例如最大李雅普諾夫指數(shù)為0，其余的為負(fù)，代表系統(tǒng)為周期狀態(tài)，如果最大李雅普諾夫指數(shù)是正的，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)。

多穩(wěn)定現(xiàn)象在含有隱藏吸引子的非線性系統(tǒng)中表現(xiàn)得尤為突出，得益于能夠產(chǎn)生隱藏吸引子的混沌系統(tǒng)對初始值的敏感性。因?yàn)樵谙到y(tǒng)參數(shù)確定的情況下，系統(tǒng)在不同初始值下產(chǎn)生不同的混沌吸引子，換言之，就是在非線性動力學(xué)系統(tǒng)中存在不止一種的穩(wěn)定狀態(tài)。而與自激吸引子相比，隱藏吸引子的動力學(xué)特性更豐富有，吸引子也更難以定位，不但受系統(tǒng)參數(shù)影響，系統(tǒng)初始值也會極大地影響吸引子。自激吸引子與隱藏吸引子的主要區(qū)別在于自激吸引子的吸引盆與不穩(wěn)定平衡點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，而隱藏吸引子的吸引盆不與任何不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的小領(lǐng)域相關(guān)。含有隱藏吸引子的系統(tǒng)對初始值的變化很敏感，即系統(tǒng)參數(shù)固定情況下，系統(tǒng)軌跡從不同初始值出發(fā)，可以形成超過多種的混沌吸引子，表現(xiàn)出多穩(wěn)定性。所以為了探究隱藏吸引子對初始值的敏感性，設(shè)置=-1.2，=-2，=0.3，初始值則為（-1，（0），-1.6，0），當(dāng)（0）從-3變化到3時(shí)，繪制分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜圖，如圖2所示。圖2（a）是初始值y（0）變化時(shí)的分岔圖，圖2（b）是初始值y（0）變化時(shí)的李雅普諾夫指數(shù)譜，其中LE是第一李雅普諾夫指數(shù)，LE是第二李雅普諾夫指數(shù)，LE是第三李雅普諾夫指數(shù)，LE是第四李雅普諾夫指數(shù)，（0）在（-3，-1.94）和（-1.77，-0.67）區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)軌跡為周期吸引子，在（0）（-1.93，-1.78）和（-0.66，3）區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。初始值（0）從-1.94變化到-1.93時(shí)，系統(tǒng)從混沌狀態(tài)突然變化到周期狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為切分岔，如圖2所示，初始值（0）變化時(shí)，系統(tǒng)會呈現(xiàn)不同狀態(tài)。

圖2 隨初始值y（0）變化的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜

3 結(jié)論

該文先求得系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為線平衡點(diǎn)，根據(jù)雅可比矩陣分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，結(jié)果表明系統(tǒng)可能會產(chǎn)生隱藏吸引子，李雅普諾夫維數(shù)和耗散度進(jìn)一步證實(shí)了系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)，說明該系統(tǒng)可以產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。再使用數(shù)值模擬法得到系統(tǒng)相圖，借助分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)圖驗(yàn)證了混沌系統(tǒng)對參數(shù)和對初始值的敏感性。其中，研究初始值對系統(tǒng)的影響時(shí)，發(fā)現(xiàn)在給定參數(shù)下，系統(tǒng)軌跡從不同初始值出發(fā)，可以生成不同的吸引子，表現(xiàn)出多穩(wěn)定性現(xiàn)象，具有豐富的動力學(xué)特性。研究結(jié)果有助于基于隱藏吸引子系統(tǒng)下的圖像加密、保密通信和同步控制等的應(yīng)用。