趙志草，吳 輝，鄭鳳翥，張文博，王 冠

（西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065）

引言

可靠性分配、預(yù)計(jì)、故障樹(shù)分析及可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計(jì)中不可或缺的重要組成部分，而上述工作均要基于產(chǎn)品正確的可靠性建模而展開(kāi)。傳統(tǒng)的機(jī)載光電系統(tǒng)可靠性模型如串聯(lián)模型、并聯(lián)模型、表決模型等在系統(tǒng)研制的方案論證和初樣機(jī)中具有很好的適用性和便利性。但隨著研制工作的深入，系統(tǒng)各組成單元的結(jié)構(gòu)形式及失效機(jī)理分析更加透徹，于是上述模型對(duì)具有多失效模式單元和共因失效模式單元的可靠性建模便表現(xiàn)出一定局限性。

多失效模式在系統(tǒng)及其組成單元中是廣泛存在的[1-8]，如電子回路存在開(kāi)路、短路等失效模式[1-2]；水下航行器存在強(qiáng)度失效、穩(wěn)定性失穩(wěn)等多種失效模式[3]；高速重載齒輪傳動(dòng)的失效一般包括齒面疲勞點(diǎn)蝕、齒面腐蝕、磨損、膠合、齒根彎曲疲勞破壞及輪齒塑變等多種失效模式[4]。文獻(xiàn)[5]首先對(duì)某型號(hào)的RV 減速器進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，在此基礎(chǔ)上分析多種失效模式下的相關(guān)性，并基于上述分析開(kāi)展結(jié)構(gòu)可靠性研究。目前根據(jù)具有多失效模式機(jī)械零件的失效特點(diǎn)，常將多種失效模式看作串聯(lián)模型[3-4，7]，并基于廣義應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，通過(guò)響應(yīng)面法、隨機(jī)攝動(dòng)法、二階矩法等方法來(lái)計(jì)算其可靠度。但是在一些具有并聯(lián)結(jié)構(gòu)的電子回路中，對(duì)于開(kāi)路失效，電子回路可看作并聯(lián)模型；而對(duì)于短路失效，電子回路則必須看作串聯(lián)模型，即單一的并聯(lián)或串聯(lián)可靠性模型無(wú)法準(zhǔn)確描述電子回路的失效特點(diǎn)。文獻(xiàn)[9]針對(duì)類似情況，提出了基于概率選擇模型的可靠性分析方法，但是其用故障模式發(fā)生頻度求取選擇概率因子的做法未考慮產(chǎn)品可靠性的動(dòng)態(tài)特點(diǎn)。

本文針對(duì)光電系統(tǒng)中部分分系統(tǒng)具有多種失效模式且各失效模式均服從指數(shù)分布的特點(diǎn)，根據(jù)馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖方法，建立了產(chǎn)品的多失效模式可靠性模型，并將其應(yīng)用于某機(jī)載光電系統(tǒng)供電回路的可靠性建模分析中。通過(guò)解析方法、數(shù)值方法及Monte Carlo 仿真方法分別進(jìn)行計(jì)算，并將結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了該建模分析方法的正確性及可行性。

1 模型特點(diǎn)

在工程實(shí)際中，光電系統(tǒng)中的部分分系統(tǒng)具有多種失效模式，且各失效模式均服從指數(shù)分布。對(duì)上述分系統(tǒng)的失效進(jìn)行分析，其失效過(guò)程可以提煉歸納出以下5 個(gè)特點(diǎn)：

1）系統(tǒng)及其組成單元只有失效和正常2 種狀態(tài)，但各單元具有多種失效模式。

2）若系統(tǒng)某一單元在某一時(shí)刻發(fā)生失效，則其在后續(xù)壽命周期內(nèi)將保持該失效狀態(tài)，即該單元無(wú)法從某一失效模式轉(zhuǎn)變到其他失效模式或恢復(fù)正常狀態(tài)。

3）對(duì)于某些失效模式，當(dāng)所有單元發(fā)生該失效時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生故障，稱之為I 型失效模式；對(duì)于其他一些失效模式，只要1 個(gè)單元發(fā)生該失效，系統(tǒng)便將發(fā)生故障，稱之為II 型失效模式。

4）不同單元的失效發(fā)生是相互獨(dú)立的，同一單元不同失效模式的發(fā)生也是相互獨(dú)立的。

5）各失效模式的發(fā)生率是恒定的，即單元由不同失效模式引發(fā)失效的失效率是恒定的。

下文將根據(jù)上述失效過(guò)程中的5 個(gè)特點(diǎn)來(lái)建立系統(tǒng)的可靠性模型。

2 可靠性模型

系統(tǒng)由n個(gè) 單元組成，每個(gè)單元存在m種失效模式。將m種失效模式分為I 型和II 型兩大類，工程中通常將系統(tǒng)中存在冗余的各單元進(jìn)行統(tǒng)一設(shè)計(jì)，即保證單元各失效模式及失效率一致。將各類失效模式發(fā)生率求和，可得到I 型、II 型失效模式發(fā)生率分別為 λ1，λ2。

根據(jù)馬爾科夫方法，整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間可劃分為[10]狀態(tài)j(j=0,1,···,n),即j個(gè)單元發(fā)生I 型失效模式，其余單元正常工作；狀態(tài)f，即某個(gè)單元發(fā)生II 型失效模式。那么系統(tǒng)狀態(tài)空間E={0,1,···,n,f}；系統(tǒng)正常工作狀態(tài)W={0,1,···,n-1}；系統(tǒng)故障狀態(tài)F={n,f}。

該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1 所示。令Pi(t)=P{X(t)=i}(i∈E)，表示時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)i的概率。根據(jù)兩類失效模式發(fā)生率恒定的特點(diǎn)，可以證明{X(t)=i}是以E為狀態(tài)空間的齊次馬爾科夫過(guò)程[11]。

圖 1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.1 Diagram of state transition of system

可得該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣為

為求系統(tǒng)可靠度，將狀態(tài)n和f認(rèn)定為吸收狀態(tài)，則根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖得到微分方程組：

對(duì)上述微分方程組兩端作拉普拉斯變換，并利用初始條件系統(tǒng)在0 時(shí)刻處于狀態(tài)0，即：(P0(0),P1(0),···,Pn-1(0),Pn(0),Pf(0))=(1,0,···,0,0,0)，可解出：

對(duì)上述各Pi*(s)進(jìn)行拉氏逆變換，可得各狀態(tài)概率函數(shù)Pi(t)，那么系統(tǒng)處于正常工作狀態(tài)的概率Pi(t)=P{X(t)=i}(i∈W)。對(duì)上述各概率求和，即可得到系統(tǒng)的可靠度：

對(duì)于連續(xù)型馬爾科夫過(guò)程來(lái)說(shuō)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)較多、微分方程組較復(fù)雜時(shí)，可以將連續(xù)型馬爾科夫過(guò)程離散化為馬爾科夫鏈，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法來(lái)求得各狀態(tài)概率[10-12]，即：

式中：P(t)=[P0(t),P1(t),···,Pn(t),Pf(t)]；P(Δt)為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；m=[t/Δt]；[t/Δt]表示對(duì)t/Δt進(jìn)行取整運(yùn)算；Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，一般情況下取Δt=，h=0.0001即可滿足精度要求，ai j為矩陣A的元素。且有：

3 Monte Carlo 仿真方法

本文所述可靠性模型可以通過(guò)構(gòu)建Monte Carlo 仿真算法來(lái)進(jìn)行仿真計(jì)算[13-15]，系統(tǒng)壽命的一次仿真具體步驟如下：

1）生成2 組n×1的服從參數(shù)為 λ1、λ2的指數(shù)分布的數(shù)組T1、T2，作為各單元2 種失效模式下的失效時(shí)間。

2）分別從T1、T2中選取最小值T1min、T2min，比較T1min和T2min。若T1min＞T2min，則有系統(tǒng)壽命Ts=T2min，本次壽命仿真結(jié)束；否則將T1min及對(duì)應(yīng)的T2中的分量從數(shù)組中剔除，生成新的T1、T2，并轉(zhuǎn)回步驟2，直至T1、T2已變?yōu)榭諗?shù)組，此時(shí)Ts=T1max。

執(zhí)行上述步驟N次，可得到N組壽命數(shù)據(jù)。對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可得系統(tǒng)平均壽命及其標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為

對(duì)于給定的置信水平1-α，系統(tǒng)平均壽命的置信區(qū)間為

式中：z1-α/2由Φ(z1-α/2)=1-α/2給出，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)。

因此，上述Monte Carlo 仿真算法的收斂判據(jù)為：在給定的置信水平1-α完成第l次仿真后，若小于給定值，則仿真結(jié)束，輸出結(jié)果。

4 實(shí)例分析

某型光電吊艙由主機(jī)提供28 V 直流電壓，為確保供電可靠性，由主機(jī)到光電吊艙的供電回路通常采用3 路并聯(lián)的方式。各供電支路由兩端的接插件和中間的線路組成，歸納起來(lái)，各支路失效模式分為2 種：斷路和短路。其中造成斷路的原因包括：由振動(dòng)引起的焊點(diǎn)疲勞斷開(kāi)、線路疲勞折斷等；造成短路的原因包括：由振動(dòng)引起的絕緣層磨損、由高溫造成的線路絕緣層老化、由低溫造成的線路絕緣層脆化斷裂。對(duì)于斷路失效，各供電支路屬于并聯(lián)可靠性模型，即為I 型失效模式；對(duì)于短路失效，各供電支路屬于串聯(lián)可靠性模型，即為II 型失效模式。故對(duì)于該供電回路的可靠性分析，可以采用本文中的模型來(lái)進(jìn)行。系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖2 所示。

圖 2 供電回路狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 Diagram of state transition of power supply circuit

一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(Δt)為

根據(jù)（3）式和（4）式，該供電回路的可靠度及平均壽命（mean time to failures,MTTF）分別為

假設(shè)該型光電吊艙供電回路I 型失效模式的故障率為λ1=1/30 000 h-1，λ2=1/36 000 h-1。根據(jù)解析公式法、離散馬爾科夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移法、Monte Carlo 仿真法進(jìn)行計(jì)算和仿真，其中在Monte Carlo仿真計(jì)算中，設(shè)置信水平1-α=0.99，要求：

將上述各方法得到的供電回路各時(shí)刻可靠度值列表進(jìn)行對(duì)比，如表1 所示，表2 為供電回路平均壽命結(jié)果。

由表1 和表2 可知，3 種方法的計(jì)算結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本文可靠性模型的正確性和可行性，也相互驗(yàn)證了各種方法的正確性。從表1 和表2中還可以看出，對(duì)于給定的置信水平和收斂判據(jù)，仿真算法能夠快速收斂，并給出比較滿意的仿真結(jié)果，將供電回路MTTF 誤差控制在1%以內(nèi)，各時(shí)刻可靠度值與解析方法和數(shù)值方法的結(jié)果差別也很小，表明了本文仿真算法的有效性，也為其他更復(fù)雜、難以進(jìn)行解析分析的系統(tǒng)可靠性分析提供了方法和思路。

表 1 供電回路3 種方法下各時(shí)刻可靠度值Table 1 Reliability of power supply circuit at each time with three methods

表 2 供電回路平均壽命結(jié)果Table 2 MTTF results of power supply circuit

對(duì)于供電回路的每一路，其失效率為λ1+λ2=(1/30 000+1/36 000)h-1，若按照原有并聯(lián)或串聯(lián)模型進(jìn)行可靠性建模，其可靠度函數(shù)曲線如圖3 所示。則可靠度函數(shù)為

從圖3 和MTTF 計(jì)算結(jié)果可知，本文模型能夠從供電回路實(shí)際失效過(guò)程角度出發(fā)，更加符合工程實(shí)際。

圖 3 不同模型下供電回路可靠度函數(shù)曲線Fig.3 Reliability function curves of power supply circuit under different models

5 結(jié)論

本文提出了解析表達(dá)式法、數(shù)值計(jì)算法和Monte Carlo 仿真法3 種方法，用以解決具有多種失效模式且各失效模式均服從指數(shù)分布的產(chǎn)品可靠性建模和分析問(wèn)題。通過(guò)對(duì)某光電系統(tǒng)供電回路進(jìn)行實(shí)例分析，驗(yàn)證了上述方法的正確性及可行性，也表明了本文的可靠性模型更加符合工程實(shí)際，對(duì)產(chǎn)品的可靠性預(yù)計(jì)及可靠性分析工作具有指導(dǎo)意義。同時(shí)，對(duì)于光電系統(tǒng)中其他分系統(tǒng)失效服從非指數(shù)分布的情形，Monte Carlo 仿真方法也可以推廣到其可靠性分析中。將在后續(xù)的研究工作中借助光電系統(tǒng)可靠性試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析，進(jìn)一步驗(yàn)證本文模型的正確性及應(yīng)用價(jià)值。