姜世洲，杜言魯，王惠林，王明超，鞏全成，徐飛飛

（西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065）

引言

快速反射鏡（fast steering mirror,FSM）具有體積小、帶寬高、位置精度高等優(yōu)點(diǎn)，通常與大慣量慣性穩(wěn)定平臺(tái)構(gòu)成復(fù)合軸系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)大轉(zhuǎn)角、高精度的光軸指向和穩(wěn)定[1-2]。國外相關(guān)單位，如美國Ball Aerospace & Technologies、Left Hand Design、Newport 等從20 世紀(jì)80年代開始FSM 方面的研究，并成功應(yīng)用于激光通信、激光武器、自適應(yīng)光學(xué)、像移補(bǔ)償?shù)雀呔裙廨S穩(wěn)定指向領(lǐng)域。國內(nèi)國防科技大學(xué)、北京航空航天大學(xué)、西安應(yīng)用光學(xué)研究所以及中國科學(xué)院等單位在相關(guān)領(lǐng)域的研究也取得了豐碩的成果[3-6]。

目前FSM 的設(shè)計(jì)大多基于傳統(tǒng)的機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，通常結(jié)構(gòu)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)單獨(dú)展開。文獻(xiàn)[7]針對(duì)快速反射鏡撓性支承開展了運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)分析，文獻(xiàn)[8-11]開展了基于有限元分析的柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)特性分析，文獻(xiàn)[12]提出了一種基于多目標(biāo)優(yōu)化的柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)特性優(yōu)化方法，文獻(xiàn)[13-17]對(duì)FSM 控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真與控制算法優(yōu)化，文獻(xiàn)[18-19]中同時(shí)對(duì)FSM 的結(jié)構(gòu)特性和控制系統(tǒng)進(jìn)行了研究，但也是單獨(dú)展開，未開展結(jié)構(gòu)特性和伺服控制系統(tǒng)共同作用下FSM 性能分析。文獻(xiàn)[20]通過動(dòng)力學(xué)分析，建立了包含結(jié)構(gòu)特性（工作軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度）的控制系統(tǒng)仿真模型，但未能分析柔性鉸鏈非工作軸剛度特性對(duì)FSM 性能的影響。

本文通過將柔性鉸鏈簡化為彈性環(huán)節(jié)，充分考慮其在各自由度方向上的結(jié)構(gòu)特性，將其等效為3 個(gè)軸向的平動(dòng)剛度和繞3 個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，根據(jù)FSM 的工作原理，推導(dǎo)出FSM 的動(dòng)力學(xué)理論模型，搭建了包含結(jié)構(gòu)特性和控制系統(tǒng)的綜合仿真模型。在特定振動(dòng)環(huán)境下開展結(jié)構(gòu)特性對(duì)FSM 鎖零精度等性能方面的影響分析，并通過仿真結(jié)果與實(shí)際振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了該仿真模型的正確性，可用于指導(dǎo)FSM 設(shè)計(jì)。

1 FSM 組成及工作原理

FSM 主要由反射鏡、支撐結(jié)構(gòu)、基座、驅(qū)動(dòng)元件、角度測(cè)量傳感器和驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)組成。以兩軸四驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)形式的FSM 為例，如圖1 所示。從圖1 可看出，支撐結(jié)構(gòu)、音圈電機(jī)磁鋼以及角度傳感器安裝在基座上；支撐結(jié)構(gòu)與反射鏡連接，允許其繞兩軸轉(zhuǎn)動(dòng)，限制其3 個(gè)平動(dòng)自由度和1 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；音圈電機(jī)通過推拉，使反射鏡產(chǎn)生兩軸的角度旋轉(zhuǎn)，角度傳感器測(cè)量反射鏡的旋轉(zhuǎn)角度，并反饋給驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)，形成閉環(huán)控制。柔性鉸鏈可由1 塊材料一次加工成形，無需裝配，具有體積小、結(jié)構(gòu)緊湊、零摩擦、零間隙、定位精度高、響應(yīng)快等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于FSM 支撐結(jié)構(gòu)[21]。柔性鉸鏈的形式多種多樣，本文中采用的柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)形式為直圓型，如圖2 所示。

圖 1 兩軸FSM 結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure diagram of two-axis FSM

圖 2 柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)形式Fig.2 Structural form of flexure hinge

2 FSM 理論建模

2.1 FSM 動(dòng)力學(xué)模型

柔性鉸鏈作為FSM 的支撐結(jié)構(gòu)，雖然結(jié)構(gòu)形式多樣，但只是起到為反射鏡運(yùn)動(dòng)分配各個(gè)方向自由度的作用。對(duì)兩軸結(jié)構(gòu)形式的FSM，其允許繞2 個(gè)工作軸轉(zhuǎn)動(dòng)，限制了3 個(gè)軸的平動(dòng)自由度和1 個(gè)非工作軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖3 所示。從圖3 可看出，反射鏡負(fù)載通過柔性鉸鏈與基座相連，定義慣性坐標(biāo)系為o-xyz，其中o為柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)中心，在圖3（a）中z軸 垂直于紙面向里，在圖3（b）中x軸垂直于紙面向外。定義反射鏡基座固聯(lián)坐標(biāo)系oi-xiyizi和反射鏡負(fù)載固聯(lián)坐標(biāo)系oo-xoyozo，在靜態(tài)時(shí)o-xyz、oi-xiyizi和oo-xoyozo這3 個(gè)坐標(biāo)系重合。將柔性鉸鏈簡化為彈性環(huán)節(jié)，等效為3 個(gè)軸平動(dòng)剛度kx、ky、kz和繞3 個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度kα、kβ、kγ，對(duì)應(yīng)各自由度方向的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)分別為cx、cy、cz、cα、cβ和cγ。圖3 中V1～V4 為音圈電機(jī)，在x軸方向的跨距為 2a，在y軸方向的跨距為 2b；S1～S4為電渦流傳感器，在x軸方向的跨距為 2rx，在y軸方向的跨距為 2ry。

圖 3 兩軸FSM 簡化模型Fig.3 Simplified model of two-axis FSM

假設(shè)反射鏡負(fù)載質(zhì)量為m，由于加工誤差、裝配誤差等，其質(zhì)心c往往偏離柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)中心o。設(shè)反射鏡負(fù)載質(zhì)心c偏離轉(zhuǎn)動(dòng)中心o的位移為(Δx,Δy,Δz)T，則反射鏡負(fù)載在o-xyz坐標(biāo)系下的慣性張量為

在振動(dòng)情況下，設(shè)基座坐標(biāo)系oi-xiyizi相對(duì)慣性坐標(biāo)系o-xyz的平動(dòng)位移為(xi,yi,zi)T，則轉(zhuǎn)動(dòng)角位移為(αi,βi,γi)T；設(shè)反射鏡負(fù)載坐標(biāo)系oo-xoyozo相對(duì)慣性坐標(biāo)系o-xyz的平動(dòng)位移為(xo,yo,zo)T，則轉(zhuǎn)動(dòng)角位移為(αo,βo,γo)T。

由于反射鏡負(fù)載坐標(biāo)系oo-xoyozo相對(duì)基座坐標(biāo)系oi-xiyizi平動(dòng)，則引起柔性鉸鏈產(chǎn)生的彈性力為

由于反射鏡負(fù)載質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)動(dòng)中心，則引起的繞柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)中心的不平衡力矩為

由于反射鏡負(fù)載坐標(biāo)系oo-xoyozo相對(duì)基座坐標(biāo)系oi-xiyizi轉(zhuǎn)動(dòng)，則引起柔性鉸鏈產(chǎn)生的彈性力矩為

音圈電機(jī)施加到反射鏡負(fù)載平臺(tái)上的力、力矩分別為

式中：FV1、FV2、FV3、FV4為音圈電機(jī)在z軸方向產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力。

反射鏡負(fù)載坐標(biāo)系oo-xoyozo相對(duì)慣性坐標(biāo)系o-xyz的平動(dòng)為(xo,yo,zo)T，根據(jù)牛頓第二定律可得：

反射鏡負(fù)載坐標(biāo)系oo-xoyozo相對(duì)慣性坐標(biāo)系o-xyz的轉(zhuǎn)動(dòng)為(αo,βo,γo)T，根據(jù)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉動(dòng)力學(xué)方程可得：

將（1）式～（6）式代入（7）式和（8）式中，整理后可得反射鏡負(fù)載的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中，Xo為反射鏡負(fù)載位移量，即：

Xi為基座位移量，即：

M稱為質(zhì)量矩陣，即：

C為阻尼矩陣，即：

K為剛度矩陣，即：

D為運(yùn)動(dòng)耦合矩陣，即：

V為音圈電機(jī)力矩矩陣，即：

當(dāng)慣性積Ixy=Ixz=Iyz=0，Δx=Δy=Δz=0時(shí)，質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C、剛度矩陣K為對(duì)角矩陣，此時(shí)運(yùn)動(dòng)微分方程解耦。

定義FSM 柔性鉸鏈沿3 個(gè)軸的平動(dòng)諧振頻率為

定義FSM 柔性鉸鏈繞3 個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)諧振頻率為

2.2 FSM 驅(qū)動(dòng)元件模型

以音圈電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)元件為例，設(shè)其電阻為Rv，電感為Lv，反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)為Ke，電機(jī)力矩系數(shù)為Kt，音圈電機(jī)控制電壓為uk，則音圈電機(jī)的數(shù)學(xué)模型可表示為

式中，k=1,2,3,4。

FSM 為繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)和繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的兩軸系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)x軸和y軸的控制電壓uα、uβ，為實(shí)現(xiàn)解耦控制，需要得到轉(zhuǎn)動(dòng)軸控制電壓與音圈電壓間的解算關(guān)系。

根據(jù)（6）式可知，音圈電機(jī)輸出力Fvk與作用到反射鏡負(fù)載的力矩關(guān)系為

公式（20）中，可根據(jù)Mvα、Mvβ求解Fv1、Fv2、Fv3、Fv4，方程組有無窮多組解。根據(jù)極小范數(shù)可求得一組解，這組解的歐式范數(shù)最小，即：

音圈電機(jī)輸出力Fvk由音圈電機(jī)控制電壓uk決定，轉(zhuǎn)動(dòng)軸力矩Mvα、Mvβ與轉(zhuǎn)動(dòng)軸控制電壓uα、uβ對(duì)應(yīng)，因此，根據(jù)（21）式可得轉(zhuǎn)動(dòng)軸控制電壓與電機(jī)控制電壓間的關(guān)系為

3 FSM 仿真分析

3.1 FSM 仿真模型

快速反射鏡控制框圖如圖4 所示。根據(jù)建立的FSM 運(yùn)動(dòng)微分方程、音圈電機(jī)模型等，搭建被控對(duì)象的 Simulink 仿真模型，如圖5 所示。圖5 中同時(shí)增加了音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)器、角度傳感器和控制器等仿真模型，實(shí)現(xiàn)了包含柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)特性的全系統(tǒng)仿真模型。為模擬FSM 基座所受到的振動(dòng)環(huán)境，建立了擾動(dòng)仿真模型。通過譜密度函數(shù)復(fù)現(xiàn)時(shí)域隨機(jī)信號(hào)的方法，可模擬任意給定振動(dòng)功率譜密度曲線的隨機(jī)振動(dòng)[22]，以此作為FSM 基座上的擾動(dòng)信號(hào)。為便于對(duì)模型中參數(shù)進(jìn)行修改，編寫了FSM 仿真模型參數(shù)設(shè)置界面，如圖6 所示，用于設(shè)計(jì)反射鏡負(fù)載參數(shù)、柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)特性參數(shù)、音圈電機(jī)參數(shù)等。

圖 4 FSM 控制系統(tǒng)框圖Fig.4 Block diagram of FSM control system

圖 5 FSM Simulink 仿真模型Fig.5 Simulink simulation model of FSM

圖 6 FSM 仿真模型參數(shù)設(shè)計(jì)界面Fig.6 Parameter setting graphical user interface(GUI)for simulation model of FSM

3.2 FSM 仿真分析

假設(shè)FSM 非共工作軸的諧振頻率均為500 Hz，繞X軸、Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)固有頻率為20 Hz，采用PID控制，經(jīng)PID 參數(shù)整定后，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)如圖7 所示。從圖7 可看出，系統(tǒng)增益交界頻率為300 Hz，相位裕度為60°；相位交界頻率為421 Hz，增益裕量為40.1 dB；系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬(-3 dB)為480 Hz。

伺服使能前后，線振動(dòng)的隔離曲線如圖8 所示。從圖8 可看出，伺服系統(tǒng)對(duì)300 Hz 以內(nèi)的擾動(dòng)進(jìn)行隔離，但相比伺服不使能的情況，伺服使能后，對(duì)300 Hz 以外的擾動(dòng)隔離能力反而減弱。

圖 7 系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)曲線Fig.7 Transfer function curves of open-loop and closedloop of system

圖 8 基座線振動(dòng)的隔離曲線Fig.8 Rejection curves for linear vibration on foundation support

以給定的加速度功率譜（如圖9 所示）為擾動(dòng)輸入，仿真得到伺服使能與未使能狀態(tài)下的FSM的角位置信號(hào)，如圖10（a）所示；對(duì)角位置信號(hào)進(jìn)行功率譜分析，得到功率譜密度曲線，如圖10（b）所示。從圖10 可知，在未使能與使能狀態(tài)下FSM的鎖零精度（RMS 值）分別為1 400 μrad、55.32 μrad，且角位置信號(hào)功率譜密度曲線在500 Hz 左右存在諧振峰，與定義的非工作軸諧振頻率一致。

圖 9 線加速度功率譜密度Fig.9 Power spectral density of linear acceleration

圖 10 振動(dòng)情況下FSM 角位置信號(hào)Fig.10 Angular position signal of FSM with vibration

為分析柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)特性對(duì)FSM 性能的影響，在伺服系統(tǒng)開環(huán)增益交界頻率為300 Hz、相位裕度設(shè)置為60°的情況下，改變結(jié)構(gòu)諧振頻率，在相同振動(dòng)條件下，分析FSM 角位置的均方根值，如表1 所示。仿真結(jié)果表明，在轉(zhuǎn)動(dòng)軸固有頻率確定時(shí)，增大非工作軸固有頻率，同等振動(dòng)條件下FSM角位置的RMS 值減小。當(dāng)非工作軸諧振頻率大于開環(huán)增益交界頻率2 倍時(shí)，工作軸諧振頻率在20 Hz～50 Hz，此振動(dòng)條件下FSM 鎖零精度均較高，且相差不大。但隨著轉(zhuǎn)動(dòng)固有頻率的增大，對(duì)音圈電機(jī)的力系數(shù)等要求越高，由于尺寸等限制，音圈電機(jī)選定時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)固有頻率選擇過大，系統(tǒng)被控對(duì)象會(huì)出現(xiàn)諧振峰，使得控制系統(tǒng)復(fù)雜或達(dá)不到性能要求。因此，需要權(quán)衡各方面的因素，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)固有頻率進(jìn)行選取。

表 1 不同結(jié)構(gòu)特性下FSM 角位置的RMS 值Table 1 RMS of FSM angular position with different structural characteristics

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)FSM 開展實(shí)際振動(dòng)實(shí)驗(yàn)。根據(jù)模態(tài)測(cè)試可知，其轉(zhuǎn)動(dòng)軸固有頻率為25 Hz 左右，非工作軸固有頻率為515 Hz 左右，伺服開環(huán)穿越頻率為293 Hz，相位裕度設(shè)置為52°。按照?qǐng)D9 所示振動(dòng)條件進(jìn)行振動(dòng)試驗(yàn)，伺服使能前后FSM 的角位置信號(hào)如圖11（a）所示。對(duì)角位置信號(hào)進(jìn)行功率譜分析，得到功率譜密度曲線，如圖11（b）所示。從圖11 可看出，在511 Hz 附近存在諧振峰，與非工作軸固有頻率接近，與仿真分析結(jié)果一致，試驗(yàn)驗(yàn)證了仿真模型的正確性。但實(shí)際系統(tǒng)還存在其他結(jié)構(gòu)特性，如733 Hz 處的結(jié)構(gòu)諧振，可能為反射鏡負(fù)載自身的結(jié)構(gòu)特性，建立的理論模型中無法對(duì)此進(jìn)行表征。

圖 11 隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)FSM 角位置信號(hào)Fig.11 Angular position signal of FSM under random vibration test

5 結(jié) 論

通過分析同等振動(dòng)條件和伺服控制帶寬下，不同結(jié)構(gòu)諧振頻率下FSM 角位置的RMS 值，得出以下結(jié)論：

1）在轉(zhuǎn)動(dòng)軸固有頻率確定時(shí)，增大非工作軸固有頻率，F(xiàn)SM 角位置的RMS 值減?。?/p>

2）當(dāng)非工作軸諧振頻率為開環(huán)增益交界頻率2 倍時(shí)，工作軸諧振頻率在20 Hz～50 Hz，該振動(dòng)條件下FSM 鎖零精度均較高，且相差不大。此時(shí)需考慮電機(jī)輸出力，因?yàn)殡S著轉(zhuǎn)動(dòng)固有頻率的增大，彈性力矩系數(shù)會(huì)增大，會(huì)影響快調(diào)反射鏡伺服性能的發(fā)揮，需要權(quán)衡各方面的因素，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)固有頻率進(jìn)行選取。

最后通過實(shí)際隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果與仿真分析結(jié)果一致，驗(yàn)證了仿真模型的正確性，說明此模型可用于指導(dǎo)FSM 設(shè)計(jì)。