馬天兵，呂英輝，杜 菲，丁威海，高 璐

(1. 安徽理工大學深部煤礦采動響應(yīng)與災(zāi)害防控國家重點實驗室，安徽 淮南 232001；2. 安徽理工大學礦山智能裝備與技術(shù)安徽省重點實驗室，安徽 淮南 232001；3. 安徽理工大學機械工程學院，安徽 淮南 232001)

時滯現(xiàn)象是工業(yè)生產(chǎn)等過程中普遍存在的現(xiàn)象[1-2]。在振動主動控制系統(tǒng)中，也存在著時間滯后現(xiàn)象。這種現(xiàn)象最基本的特征就是當被控系統(tǒng)的輸入量發(fā)生改變的時候，其振動控制系統(tǒng)的輸出能量延遲一段時間才能發(fā)生變化。時滯一般主要產(chǎn)生于信號的傳遞過程、控制器運算的運算過程、作動器進行能量輸出等多個振動主動控制的環(huán)節(jié)[3]。時滯現(xiàn)象的存在，導致被控量不能實時反映被控系統(tǒng)所受到的外界干擾，需要經(jīng)過一定的時滯量才能涉及到被控量完成振動主動控制的輸出量。因此，這種振動主動控制必導致控制系統(tǒng)過渡時間變長，甚至造成控制系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，對被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生嚴重影響，破壞振動主動控制的動態(tài)品質(zhì)[4-6]。如何在保證控制效果的前提下解決振動主動控制中的時滯問題，顯得尤為的重要。

滑模變結(jié)構(gòu)算法是變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的一種控制策略[7]。因其結(jié)構(gòu)簡單、物理意義明確、控制效果好，在電力控制、機器人控制以及飛機控制等工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。文獻[8]為提高電機調(diào)速系統(tǒng)轉(zhuǎn)速響應(yīng)的快速性以及增強其魯棒性，設(shè)計了一種改進變指數(shù)趨近律，提高了控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度、抗干擾性能，并減弱了抖振。文獻[9]設(shè)計了基于離散滑模變結(jié)構(gòu)控制的內(nèi)回路補償控制器，該方法實現(xiàn)了被控系統(tǒng)的完全跟蹤，并有效補償了外部干擾、模型不確定性等因素對系統(tǒng)性能的影響，從而保證了被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻[10]針對傳感片與作動片對位粘貼而產(chǎn)生的局部應(yīng)變效應(yīng)對振動主動的控制效果產(chǎn)生影響，設(shè)計了基于局部應(yīng)變補償?shù)母倪M冪次趨近律滑模控制算法，該方法可以有效地解決局部應(yīng)變效應(yīng)產(chǎn)生的影響。文獻[11]提出了一種二階滑?？刂瓶刂破?，該控制器基于超扭曲算法。該控制器與經(jīng)典控制器相比較，其控制結(jié)果證明這種新型控制器具有響應(yīng)速度快和強魯棒性。上述文獻對于振動主動控制系統(tǒng)存在的超調(diào)時間長、振動過程存在抖振問題給出了解決方案，但就如何解決振動主動控制中時滯補償問題的研究卻比較少。

文獻[12]通過建立Smith預(yù)估器和自適應(yīng)控制方法的結(jié)合明顯改善了對時滯系統(tǒng)的控制性能，防止了系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，因而在一定程度上解決了Smith預(yù)估器存在的預(yù)估器模型和被控對象參數(shù)不匹配時系統(tǒng)控制特性劣化甚至發(fā)生振蕩發(fā)散的問題，取得了較好的效果。但是該方法不具有良好的跟蹤性能，當受到外界的干擾時，被控系統(tǒng)的模型就會發(fā)生變化，此時將會導致振動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性無法得到保證，其抗干擾能力較弱，存在較大的超調(diào)量、較長的調(diào)節(jié)時間等問題。文獻[13]提出了一種基于時滯補償線性自抗擾控制器(LADRC)的新型振動控制方法(TDC-LADRC)。壓電片的數(shù)學模型首先基于系統(tǒng)辨識，采用輔助變量法建立。然后用帶有新型微分器的史密斯預(yù)估器對無延遲部分設(shè)計ADRC。繪制擴展狀態(tài)觀測器(ESO)來估計內(nèi)外擾動，如模式誤差、高次諧波和外界環(huán)境激勵等。然后，通過前饋機制引入實時補償，以減弱其不利影響，從而使所設(shè)計的控制器達到最優(yōu)的減振性能。但是其本質(zhì)上仍然存在調(diào)整時間長、實時性差、調(diào)節(jié)使得輸出有過沖或者震蕩，參數(shù)調(diào)整過于復雜。文獻[14]提出了一種適用于四容MIMO系統(tǒng)的時延補償方案。利用Pade近似方法將一個由過程時滯組成的無補償系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無時滯系統(tǒng)。設(shè)計了一種魯棒的非切換型滑?？刂破鳎词乖诖嬖谙到y(tǒng)不確定性的情況下，也能補償控制器和執(zhí)行器側(cè)計算的狀態(tài)變量、滑動變量和控制信號中過程延遲的影響。但是該方法容易受到信號噪聲的干擾影響，尤其是對于高頻噪聲的控制有效性不佳。文獻[15]所設(shè)計的趨近律具有自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力，且都用了新的函數(shù)代替了傳統(tǒng)指數(shù)趨近律中的開關(guān)函數(shù)，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，但是這種方法對抖振的削弱程度不足，而且由于未時滯補償環(huán)節(jié)，易導致該控制系統(tǒng)在實際控制過程中效果不佳。上述文獻對于振動主動控制中時滯補償給出了解決方案，但對如何解決振動主動控制系統(tǒng)存在的超調(diào)時間長、振動過程存在抖振問題的研究卻比較少。

基于以上原因，本文建立了壓電加筋板機電耦合模型，采用Smith預(yù)估補償策略，提出基于改進指數(shù)趨近律Smith預(yù)估補償控制算法，并驗算該控制補償算法的穩(wěn)定性，保證該控制系統(tǒng)控制效果不發(fā)散，跟蹤誤差不斷減少，通過cSPACE控制平臺對加筋板進行振動主動控制實驗。分別采用基于傳統(tǒng)與改進指數(shù)趨近律的控制、指數(shù)趨近律滑模變算法和基于改進指數(shù)趨近律Smith預(yù)估補償算法進行振動主動控制，并對比振動控制結(jié)果，驗證改進指數(shù)趨近律Smith預(yù)估補償控制算法的優(yōu)越性。

1 Smith預(yù)估器與時滯補償控制算法

1.1 Smith預(yù)估器

Smith預(yù)估控制是一種廣泛應(yīng)用的對純滯后對象進行補償?shù)目刂品椒?，實際應(yīng)用中表現(xiàn)為給PID控制器并接一個補償環(huán)節(jié)，該補償環(huán)節(jié)稱為Smith預(yù)估器[16]。

Smith預(yù)估器是解決時滯的有效方法。在時滯控制系統(tǒng)中，因其閉環(huán)傳遞函數(shù)存在時滯項，在這種情況中導致被控系統(tǒng)在進行振動控制過程中極易產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象，從而使得控制過程變得十分不易。而Smith預(yù)估器就是預(yù)先估計被控系統(tǒng)的數(shù)學模型并且對其輸出的控制進行相應(yīng)的預(yù)測，使得控制器輸出的振動控制信號可以根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)進行提前輸出，這樣就可以達到被控系統(tǒng)穩(wěn)定控制的目標，其原理如圖1所示。

圖1 Smith預(yù)估器原理圖

在圖1中，G0(s)e-τs表示為被控系統(tǒng)的包含時滯τ的數(shù)學模型；G0(s)表示為不含時滯τ的數(shù)學模型；Gc(s)則表示為振動主動控制的控制器模型，在本文中其為改進指數(shù)趨近律控制器模型；Gs(s)則為Smith預(yù)估補償器，其數(shù)學表達式為

Gs(s)=Gm(s)(1-e-τs)

(1)

式中：Gm(s)為被控對象的預(yù)估模型；τs則為被控對象的預(yù)估時滯量[17]。

預(yù)估模型Gm(s)的估計值可以看作是不含時滯的數(shù)學模型G0(s)，預(yù)估時滯量τs的估計值近似于被控系統(tǒng)的延遲時滯量τ，則Gs(s)表示為

Gs(s)=G0(s)(1-e-τs)

(2)

閉環(huán)傳遞函數(shù)表示為

(3)

閉環(huán)傳遞函數(shù)對應(yīng)的等效原理如圖2所示。

圖2 Smith預(yù)估器等效原理圖

在圖2中，被控系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)并與時滯結(jié)構(gòu)串聯(lián)，閉環(huán)結(jié)構(gòu)不再含滯后環(huán)節(jié)。

1.2 時滯補償算法

在振動主動控制過程中存在的時滯現(xiàn)象，導致輸出控制會延遲作用于被控系統(tǒng)，導致主動控制的效率下降，嚴重時甚至造成被控系統(tǒng)失穩(wěn)。

為了避免改進指數(shù)趨近律滑模變控制系統(tǒng)時滯現(xiàn)象，在改進滑模變控制算法中加入Smith預(yù)估補償，添加時滯補償因子，來解決振動主動控制中的時滯問題。

首先，構(gòu)造時滯預(yù)估補償模型Gm(s)(1-e-τs)；其次，壓電加筋板的輸出控制信號u(t)輸入到時滯預(yù)估補償模型之中后得到壓電加筋板的信號延時誤差de，然后將信號延時誤差de進行反饋到被控系統(tǒng)的狀態(tài)誤差e(t)上，重新計算并且得到涵蓋時滯現(xiàn)象的新狀態(tài)誤差e(t)=xm(t)-x(t)-de；再次，將新狀態(tài)誤差反饋到改進的指數(shù)趨近律控制算法，在改進后的指數(shù)趨近律控制算法中，其本質(zhì)是對補償函數(shù)sgn(s)進行改進，因而在Matlab-Simulink中編寫加筋板主動控制程序，只需對上文的指數(shù)趨近律里的補償函數(shù)sgn(s)修改為本文選用的softsign(s)函數(shù)即可。

最后，再經(jīng)控制器的運算得到控制輸出u(t)，將控制輸出u(t)作用到被控系統(tǒng)上去。添加時滯補償?shù)母倪M指數(shù)趨近律滑模變算法原理圖如圖3所示。

圖3 Smith預(yù)估補償控制算法原理

在未進行Smith預(yù)估時滯補償時，加筋板的系統(tǒng)狀態(tài)變量表示為

(4)

式中：A為m×m維狀態(tài)矩陣；B為n×n維控制矩陣；d(t)為外界干擾。

由式(4)可知，加筋板的系統(tǒng)狀態(tài)變量中含有時滯項，然而加筋板的參考模型之中卻無時滯項，因此加筋板的信號跟蹤誤差表示為

e(t)=xm(t)-x(t)e-τs

(5)

進行Smith預(yù)估時滯補償壓電加筋板的信號跟蹤誤差表示為

e(t)=xm(t)-x(t)e-τs-de

(6)

加筋板的延遲信號誤差則為

de=xd(t)(1-e-τs)

(7)

式中：xd為壓電加筋板的預(yù)估狀態(tài)變量，假設(shè)預(yù)估模型及時滯量都較理想時，則：xd(t)=x(t)，τm=τ，加筋板的延遲信號誤差表示為

de=x(t)(1-e-τs)

(8)

將式(8)代入式(6)中可得

e(t)=xm(t)-x(t)

(9)

由式(9)可知，進行了Smith預(yù)估時滯補償之后，加筋板的信號跟蹤誤差之中不含時滯項，振動控制則回歸之前的改進指數(shù)趨近律算法，加筋板振動主動控制過程中的時滯現(xiàn)象得到了補償。

2 時滯補償控制算法的穩(wěn)定性分析

算法的穩(wěn)定性分析，表征著本控制算法的可行性。改進的算法必須要保證不會導致控制發(fā)散，其跟蹤誤差不斷減少。在進行實驗研究之前，首先對算法穩(wěn)定性進行必要的驗證。

考慮到加筋板的數(shù)學模型

(10)

加筋板振動控制的滑模函數(shù)為

(11)

式中：c>0，且其滿足Hurwitz條件。

加筋板振動控制的跟蹤誤差為

(12)

對式(12)進行推導，可得

(13)

針對傳統(tǒng)滑?？刂迫菀壮霈F(xiàn)的抖振問題，利用softsign函數(shù)不宜飽和的特點，提出一種改進指數(shù)趨近律

(14)

結(jié)合式(11)～式(14)，可得改進后的控制律為

(15)

構(gòu)造李亞普洛夫(Lyapunov)函數(shù)

(16)

則

(17)

將式(15)代入式(17)中，可得

(18)

其中ε>0，k>0.

因為0≤softsign(s)s≤|s|，所以-softsign(s)s≤0，又有-ks2≤0，因此可以得到

(19)

由Lyapunov第二法[18]可以得知，該控制算法具有較好的穩(wěn)定性。

3 時滯補償振動控制實驗

3.1 實驗裝置與步驟

時滯補償振動控制實驗其主要硬件由鼎陽科技SDG1032X信號發(fā)生器、GZ-20激振器、中科深谷cSPACE控制器、PC機等構(gòu)成。壓電傳感器及作動器采用的壓電片型號是P5-Y78?？刂茖嶒炂脚_如圖4所示。

圖4 加筋板振動控制實驗平臺

利用信號發(fā)生器產(chǎn)生正弦激勵信號，其頻率設(shè)置為加筋板的一階模態(tài)頻率213Hz，經(jīng)過功率放大器放大后，通過激振器作用于加筋板上，cSPACE的A/D采集模塊采集壓電傳感片的振動信號。經(jīng)過cSPACE實時分析后通過D/A輸出端輸出振動控制信號給壓電作動片來抑制加筋板振動。

在振動控制實驗中，實驗需要調(diào)試，根據(jù)改進指數(shù)趨近律的控制律可知，可以事先保持控制律中的參數(shù)k值不變，然后先確保參數(shù)c的取值達到最優(yōu)。確定參數(shù)c最優(yōu)后，再確定控制律中的參數(shù)k達到最優(yōu)的控制效果。在振動控制的過程中，需要等到壓電加筋板振動控制狀態(tài)達到穩(wěn)定后，再去調(diào)節(jié)功率放大器的增益，直至其振動控制達到最佳的狀態(tài)。緩慢調(diào)節(jié)功放的增益后，當改進指數(shù)趨近律控制律中的參數(shù)c=40，k=90時，振動控制達到最佳狀態(tài)。

3.2 實驗結(jié)果與分析

1)改進指數(shù)趨近律的振動抑制效果 為了對比加筋板基于傳統(tǒng)與改進指數(shù)趨近律的控制效果，進行振動控制實驗，保持控制參數(shù)一致，通過cSPACE采集到的傳感壓電片輸出的振動控制時域圖如圖5所示。

圖5 加筋板振動控制時域?qū)Ρ葓D

由圖5可知，加筋板振動控制前的壓電傳感片電壓為4.087V，采用了改進指數(shù)趨近律后，其壓電傳感片的電壓下降到1.848V，相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的振動幅值2.089V，在振動幅值方面產(chǎn)生了明顯抑制效果。相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制算法的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時間0.094 5s，基于該策略的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時間僅為0.059 4s，系統(tǒng)快速性良好。因此實驗結(jié)果驗證了改進指數(shù)趨近律算法可以有效地抑制加筋板的振動，并且較傳統(tǒng)指數(shù)趨近律具有一定的優(yōu)越性。

2)時滯補償振動抑制效果 本文采用李沙育圖測法[19]觀測時滯(見圖6)，通過測量改進指數(shù)趨近律算法中輸出信號與控制信號之間存在的相位差便可得到時滯參數(shù)τ。將輸入信號接入示波器X軸，控制信號接入Y軸，調(diào)節(jié)功率放大器兩路信號振動幅值一致以便觀察。

圖6 李沙育圖

圖6的李沙育圖像輪廓為橢圓，并且橢圓長軸與直線y=1/x大致平行。由此可知振動信號相位約滯后約為5π/6。

由于加筋板振動控制的能量主要集中在一階模態(tài)上，由此可根據(jù)加筋板的一階振動頻率及控制信號的滯后相位換算得出其滯后補償時間。因此對改進指數(shù)趨近律滑模變算法進行時滯補償，并進行實驗驗證補償控制效果。實驗結(jié)果表明：振動控制相位滯后5π/6時，即時滯量為3.91ms時可以得到更好的控制效果。實驗中將Smith補償?shù)刃榭刂菩盘柕臅r延，使得傳感器信號與輸出的振動控制信號相位同步，以此來達到時滯補償目的。

為了比較加筋板未進行時滯補償與Smith預(yù)估補償?shù)目刂菩Ч?，保持時滯補償前后振動控制器參數(shù)一致和兩次實驗加載到壓電作動器的控制電壓一致(均為80V)。

通過cSPACE采集的不同狀態(tài)下的壓電傳感片信號(見圖7)，可以發(fā)現(xiàn)：改進指數(shù)趨近律算法進行Smith預(yù)估控制后其振動的壓電傳感片的幅值為1.209V，相較于未進行Smith預(yù)估補償控制的1.848V，控制幅值下降了0.639V，可見Smith預(yù)估補償控制的振動控制效果得到了明顯改善。

圖7 Smith預(yù)估補償時域圖

4 結(jié)論

本文針對壓電加筋板主動控制中存在的時滯問題，利用李沙育圖對振動主動控制中的時滯測量，驗證了加筋板振動主動控制中存在時滯延遲現(xiàn)象，并提出和構(gòu)建了一種基于改進指數(shù)趨近律滑模的Smith預(yù)估補償控制算法。實驗結(jié)果表明，針對加筋板的第一階模態(tài)，未時滯補償?shù)母倪M指數(shù)趨近律滑模算法的控制效果為2.239V，而基于改進指數(shù)趨近律的Smith預(yù)估補償控制算法控制效果達到了2.878V，提升了0.639V，驗證了時滯補償?shù)挠行院涂刂品椒ǖ膬?yōu)越性。Smith預(yù)估器和改進指數(shù)趨近律滑模控制方法的有效結(jié)合明顯改善了時滯系統(tǒng)的控制性能，提升了主動控制時的時滯補償效果，解決了實際振動控制過程中進入穩(wěn)態(tài)時間過長及抖振等問題，有望在實際的時滯系統(tǒng)和設(shè)備的過程控制中得到廣泛的應(yīng)用。