朱國強(qiáng) 姚夢真 陳峻峰

（1.浙江省蕭山中學(xué)，浙江 杭州 311200；2.金華市第八中學(xué)，浙江 金華 321000；3.杭州市蕭山區(qū)第三高級中學(xué)，浙江 杭州 311200）

1 試題錯(cuò)解

輕彈簧和小球是高中物理的兩個(gè)常見模型.小球和輕彈簧拴連在一起，在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成一個(gè)組合模型——彈簧擺.

高中物理教學(xué)中，彈簧擺模型常被設(shè)計(jì)為考察能量守恒和牛頓定律的試題.

1.1 典型試題

例題.如圖1所示，有一小球拴在不計(jì)質(zhì)量的彈簧的一端，彈簧另一端固定在C點(diǎn)，該彈簧的自然長度為l0=0.14m.起初彈簧位于水平位置A，并保持自然長度；然后釋放小球，當(dāng)小球落下經(jīng)過豎直位置P時(shí)，彈簧被拉長為l=0.30m.求該時(shí)刻的小球速度.（答案：1.47m／s）

圖1 彈簧擺示意圖

1.2 流行解答

1.3 錯(cuò)因分析

錯(cuò)解的原因在于解題者額外添加了一個(gè)條件：在豎直位置P點(diǎn)時(shí)小球的速度沿水平方向.也就是想當(dāng)然地、簡單地認(rèn)為小球在豎直位置一定是彈簧擺的最低點(diǎn).

如果不加這一條件，牛頓定律的式（2）不能列出，只能列出能量守恒的式（1），如此一來，在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)就不能解出該時(shí)刻小球的速度.

1.4 深入思考

既然對于彈簧在豎直位置時(shí)，小球的速度方向是否沿水平方向證據(jù)不足.那么，我們應(yīng)該設(shè)法確定下面3個(gè)問題.

（1）P點(diǎn)是最低點(diǎn)嗎？如果不是，那么彈簧擺的最低點(diǎn)在何處？

（2）P點(diǎn)小球的速度方向水平嗎？如果不水平，那么P點(diǎn)小球的速度方向與水平方向夾角是多少？

（3）彈簧擺被自由釋放后，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是怎樣的？

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2021年10月 ，蕭山三中陳峻峰老師在浙江省朱國強(qiáng)名師網(wǎng)絡(luò)工作室組織的研討會(huì)中展示了彈簧擺實(shí)驗(yàn)照片.彈簧擺由電磁鐵和鐵夾固定位于水平位置，并保持自然長度，如圖2所示.利用頻閃照相技術(shù)，拍攝了電磁鐵斷電后，小球在彈簧的約束下的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖3所示.

圖2 彈簧擺固定位置圖

圖3 小球運(yùn)動(dòng)軌跡圖

實(shí)驗(yàn)的頻閃照片表明：

（1）彈簧擺懸掛點(diǎn)（鐵夾所在點(diǎn)）豎直線上的P點(diǎn)不是彈簧擺小球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn).

（2）P點(diǎn)時(shí)小球的速度不是水平的，而是斜向下.彈簧擺的最低點(diǎn)在彈簧擺懸掛點(diǎn)豎直線的另一側(cè).

（3）小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線，一種未知名的曲線，看上去比較復(fù)雜，會(huì)往復(fù)運(yùn)動(dòng).

3 理論求證

實(shí)驗(yàn)已經(jīng)充分表明P點(diǎn)時(shí)小球的速度不是水平的，上述試題解法中的式（2）不成立，確實(shí)是一種錯(cuò)解.那么，彈簧擺小球的運(yùn)動(dòng)究竟是什么樣的呢？我們用牛頓力學(xué)和分析力學(xué)進(jìn)行求解.

3.1 牛頓力學(xué)解法

以小球?yàn)檠芯繉ο?，建立坐?biāo)系，如圖4所示，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程

圖4 彈簧擺運(yùn)動(dòng)示意圖

根據(jù)幾何關(guān)系，

聯(lián)立得

3.2 分析力學(xué)求解

4 實(shí)驗(yàn)仿真

這兩個(gè)動(dòng)力學(xué)二階微分方程沒有解析解.為了便于進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，需進(jìn)行降階處理.

4.1 降階處理

將兩個(gè)二階微分方程降階處理，得到4個(gè)一階微分方程.

如果給定4個(gè)初始條件，初始時(shí)刻位置2個(gè)，初始時(shí)刻速度2個(gè)，這個(gè)一階微分方程組可用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解.

4.2 數(shù)值仿真結(jié)果

MATLAB繪制的彈簧擺的運(yùn)動(dòng)圖如圖4所示.

圖4 彈簧擺運(yùn)動(dòng)圖

彈簧擺的小球由點(diǎn)（1.4，0）由靜止釋放，第1次位于最低點(diǎn)在（-0.65，-3.50），彈簧懸掛點(diǎn)正下方的左側(cè).而小球到達(dá)彈簧懸掛點(diǎn)正下方時(shí)的位置為（0，-3.0），速度方向斜向下，不是水平方向.

由表1數(shù)據(jù)還可以求出擺球的速度，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一致.

表1 彈簧擺運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表

5 相關(guān)結(jié)論

彈簧擺作為由彈簧和重物組成的單擺系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)呈一種復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)形式.

每次從右往左運(yùn)動(dòng)，都出現(xiàn)一個(gè)“最低點(diǎn)”，“最低點(diǎn)“的豎直坐標(biāo)發(fā)生變化，如圖6所示，第2次的“最低點(diǎn)”比第一次低.隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間流逝，如圖7所示，第3次的“最低點(diǎn)”比第1次、第2次要高些.所以彈簧擺的最低點(diǎn)究竟在何處？較難確定.

圖6 彈簧擺運(yùn)動(dòng)圖

圖7 彈簧擺運(yùn)動(dòng)圖

隨著時(shí)間繼續(xù)流逝，還出現(xiàn)了更低的“最低點(diǎn)”，如圖8所示.所以彈簧擺的最低點(diǎn)難以預(yù)測.

圖8 彈簧擺運(yùn)動(dòng)圖

如果改變彈簧擺的參數(shù)，比如僅改變質(zhì)量為m=0.02kg，彈簧擺的運(yùn)動(dòng)發(fā)生明顯改變，如圖9所示.

圖9 彈簧擺運(yùn)動(dòng)圖

彈簧振子與單擺運(yùn)動(dòng)分析是物理教學(xué)的重要內(nèi)容.但是彈簧振子與單擺的組合運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.中學(xué)階段命題時(shí)需要考慮到其運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，保障試題設(shè)問的科學(xué)性和適切性.