朱國強 姚夢真 陳峻峰

（1.浙江省蕭山中學，浙江 杭州 311200；2.金華市第八中學，浙江 金華 321000；3.杭州市蕭山區(qū)第三高級中學，浙江 杭州 311200）

1 試題錯解

輕彈簧和小球是高中物理的兩個常見模型.小球和輕彈簧拴連在一起，在豎直平面內(nèi)運動，構(gòu)成一個組合模型——彈簧擺.

高中物理教學中，彈簧擺模型常被設計為考察能量守恒和牛頓定律的試題.

1.1 典型試題

例題.如圖1所示，有一小球拴在不計質(zhì)量的彈簧的一端，彈簧另一端固定在C點，該彈簧的自然長度為l0=0.14m.起初彈簧位于水平位置A，并保持自然長度；然后釋放小球，當小球落下經(jīng)過豎直位置P時，彈簧被拉長為l=0.30m.求該時刻的小球速度.（答案：1.47m／s）

圖1 彈簧擺示意圖

1.2 流行解答

1.3 錯因分析

錯解的原因在于解題者額外添加了一個條件：在豎直位置P點時小球的速度沿水平方向.也就是想當然地、簡單地認為小球在豎直位置一定是彈簧擺的最低點.

如果不加這一條件，牛頓定律的式（2）不能列出，只能列出能量守恒的式（1），如此一來，在中學知識范圍內(nèi)就不能解出該時刻小球的速度.

1.4 深入思考

既然對于彈簧在豎直位置時，小球的速度方向是否沿水平方向證據(jù)不足.那么，我們應該設法確定下面3個問題.

（1）P點是最低點嗎？如果不是，那么彈簧擺的最低點在何處？

（2）P點小球的速度方向水平嗎？如果不水平，那么P點小球的速度方向與水平方向夾角是多少？

（3）彈簧擺被自由釋放后，小球的運動軌跡是怎樣的？

2 實驗驗證

2021年10月 ，蕭山三中陳峻峰老師在浙江省朱國強名師網(wǎng)絡工作室組織的研討會中展示了彈簧擺實驗照片.彈簧擺由電磁鐵和鐵夾固定位于水平位置，并保持自然長度，如圖2所示.利用頻閃照相技術，拍攝了電磁鐵斷電后，小球在彈簧的約束下的運動軌跡，如圖3所示.

圖2 彈簧擺固定位置圖

圖3 小球運動軌跡圖

實驗的頻閃照片表明：

（1）彈簧擺懸掛點（鐵夾所在點）豎直線上的P點不是彈簧擺小球運動的最低點.

（2）P點時小球的速度不是水平的，而是斜向下.彈簧擺的最低點在彈簧擺懸掛點豎直線的另一側(cè).

（3）小球的運動軌跡是曲線，一種未知名的曲線，看上去比較復雜，會往復運動.

3 理論求證

實驗已經(jīng)充分表明P點時小球的速度不是水平的，上述試題解法中的式（2）不成立，確實是一種錯解.那么，彈簧擺小球的運動究竟是什么樣的呢？我們用牛頓力學和分析力學進行求解.

3.1 牛頓力學解法

以小球為研究對象，建立坐標系，如圖4所示，根據(jù)牛頓運動定律列方程

圖4 彈簧擺運動示意圖

根據(jù)幾何關系，

聯(lián)立得

3.2 分析力學求解

4 實驗仿真

這兩個動力學二階微分方程沒有解析解.為了便于進行數(shù)值計算，需進行降階處理.

4.1 降階處理

將兩個二階微分方程降階處理，得到4個一階微分方程.

如果給定4個初始條件，初始時刻位置2個，初始時刻速度2個，這個一階微分方程組可用計算機進行數(shù)值求解.

4.2 數(shù)值仿真結(jié)果

MATLAB繪制的彈簧擺的運動圖如圖4所示.

圖4 彈簧擺運動圖

彈簧擺的小球由點（1.4，0）由靜止釋放，第1次位于最低點在（-0.65，-3.50），彈簧懸掛點正下方的左側(cè).而小球到達彈簧懸掛點正下方時的位置為（0，-3.0），速度方向斜向下，不是水平方向.

由表1數(shù)據(jù)還可以求出擺球的速度，小球的運動軌跡的數(shù)值仿真與實驗的結(jié)果一致.

表1 彈簧擺運動實驗數(shù)據(jù)記錄表

5 相關結(jié)論

彈簧擺作為由彈簧和重物組成的單擺系統(tǒng)，其運動呈一種復雜的非線性運動形式.

每次從右往左運動，都出現(xiàn)一個“最低點”，“最低點“的豎直坐標發(fā)生變化，如圖6所示，第2次的“最低點”比第一次低.隨運動時間流逝，如圖7所示，第3次的“最低點”比第1次、第2次要高些.所以彈簧擺的最低點究竟在何處？較難確定.

圖6 彈簧擺運動圖

圖7 彈簧擺運動圖

隨著時間繼續(xù)流逝，還出現(xiàn)了更低的“最低點”，如圖8所示.所以彈簧擺的最低點難以預測.

圖8 彈簧擺運動圖

如果改變彈簧擺的參數(shù)，比如僅改變質(zhì)量為m=0.02kg，彈簧擺的運動發(fā)生明顯改變，如圖9所示.

圖9 彈簧擺運動圖

彈簧振子與單擺運動分析是物理教學的重要內(nèi)容.但是彈簧振子與單擺的組合運動，運動復雜，會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.中學階段命題時需要考慮到其運動的復雜性，保障試題設問的科學性和適切性.