馮 杰 韓笑天 葉彬恩

（上海師范大學(xué)天華學(xué)院，上海 201815）

著名的錢學(xué)森之問(wèn)：“為什么我們的學(xué)?？偸桥囵B(yǎng)不出杰出人才？”這是關(guān)于中國(guó)教育事業(yè)發(fā)展的一道艱深命題.人們普遍認(rèn)為，這需要整個(gè)教育界乃至社會(huì)各界共同破解.眾所周知，近20年來(lái)，我國(guó)的基礎(chǔ)教育進(jìn)行了大張旗鼓的兩輪課程改革，卻出現(xiàn)了全國(guó)人民的焦慮之問(wèn)：“為什么物理難學(xué)又難教？”我們要問(wèn)：“物理真是難學(xué)又難教嗎？”難道也需要整個(gè)教育界乃至社會(huì)各界共同破解嗎？特別是新高考方案的實(shí)施，這個(gè)“物理難”之問(wèn)似乎已經(jīng)成為全社會(huì)的“共識(shí)”了，凡事皆有因，緣由究竟在哪里呢？

按照目前國(guó)際上通行的學(xué)科分類，數(shù)學(xué)被認(rèn)定為是真正的自然科學(xué)，是宇宙的語(yǔ)言.數(shù)學(xué)思維無(wú)疑是獨(dú)特的、抽象的和艱深的.然而，在我國(guó)基礎(chǔ)教育階段，為什么沒(méi)有出現(xiàn)“數(shù)學(xué)難學(xué)又難教”的全國(guó)人民焦慮之問(wèn)呢？讓我們從基礎(chǔ)教育階段的課程、教材、教法三位一體的角度，仔細(xì)分析物理思維與數(shù)學(xué)思維的個(gè)性化特征，看看物理思維與數(shù)學(xué)思維的差異性，或許不難找到難題的某些癥結(jié)之奧秘.

1 什么是思維

我們知道，思維是人的一種高級(jí)的心理活動(dòng)形式.按照現(xiàn)代信息論觀點(diǎn)和腦科學(xué)的最新研究成果，思維是人腦對(duì)新輸入信息與腦內(nèi)儲(chǔ)存知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行一系列復(fù)雜的心智操作過(guò)程；從認(rèn)知的角度，思維是人腦借助于語(yǔ)言和相應(yīng)媒體符號(hào)對(duì)事物的概括和間接的反應(yīng)過(guò)程；從認(rèn)識(shí)論的角度，思維是以感知為基礎(chǔ)又超越感知界限的高級(jí)意識(shí)活動(dòng).

人的思維活動(dòng)（涉及所有的認(rèn)知或智力活動(dòng)）的目的是要探索與發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)部本質(zhì)聯(lián)系和規(guī)律性.隨著對(duì)各個(gè)領(lǐng)域涉及思維活動(dòng)特點(diǎn)的深入研究，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了邏輯思維即抽象思維、形象思維（具象思維）、頓悟思維（靈感思維）、創(chuàng)新思維等思維形式的許多新特點(diǎn).

基礎(chǔ)教育階段特別是理科學(xué)科的教與學(xué)，所依據(jù)的基本上是傳統(tǒng)意義的邏輯思維形式，涉及的主要范疇有分析與綜合、比較與分類、歸納與演繹、模擬與類比、概括與抽象等，其是對(duì)事物的間接反映，這符合學(xué)校教育間接性特點(diǎn).同時(shí)又要基于青少年已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和情懷，借助于其他媒介手段（教師、各類課程和教學(xué)資料）的作用，使中學(xué)生獲得知識(shí)、技能、方法和情懷，認(rèn)識(shí)客觀事物，推測(cè)未知的事物，發(fā)展其能力，達(dá)成既定的教學(xué)目標(biāo).

2 什么是物理思維

物理思維的起點(diǎn)是哲學(xué).從哲學(xué)的范疇看，辯證法包括十一對(duì)范疇：物質(zhì)與意識(shí)、運(yùn)動(dòng)與靜止、時(shí)間與空間、對(duì)立與統(tǒng)一、質(zhì)變與量變、肯定與否定、本質(zhì)與現(xiàn)象、內(nèi)容與形式、必然與偶然、原因與結(jié)果和可能與現(xiàn)實(shí)，其中直接與物理學(xué)內(nèi)容相重疊的有運(yùn)動(dòng)與靜止、時(shí)間與空間和原因與結(jié)果3對(duì)范疇.認(rèn)識(shí)論包括認(rèn)識(shí)與實(shí)踐、感性與理性、真理與謬誤、絕對(duì)真理與相對(duì)真理4對(duì)范疇，而認(rèn)識(shí)與實(shí)踐、感性與理性兩對(duì)范疇一直是貫穿物理學(xué)研究、發(fā)展和物理教學(xué)的主線，特別是中學(xué)物理的教與學(xué)，更是幾乎無(wú)時(shí)無(wú)刻不是運(yùn)用邏輯學(xué)的思維形式、思維規(guī)律、思維方法這3對(duì)范疇.

2.1 物理學(xué)學(xué)科的邏輯結(jié)構(gòu)

物理學(xué)具有哲學(xué)、知識(shí)和實(shí)證的復(fù)雜邏輯結(jié)構(gòu).物理學(xué)的邏輯范疇可以分為4個(gè)層面，其一是物質(zhì)的基本形態(tài)層面：實(shí)物與場(chǎng)或曰粒子與場(chǎng)（波）是其主要形式.其二是物質(zhì)的根本屬性層面：運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性、運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性以及各種低級(jí)運(yùn)動(dòng)形式的特殊性是其研究對(duì)象；這兩個(gè)層面是基于哲學(xué)的角度.其三是物理學(xué)理論體系的內(nèi)容層面：即力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、現(xiàn)代物理學(xué)（原子物理學(xué)、量子物理學(xué)和相對(duì)論）5大領(lǐng)域的實(shí)驗(yàn)、概念、規(guī)律和原理.從課程的內(nèi)容角度看，無(wú)論是初中、高中還是大學(xué)，基本上是相同的，只是目標(biāo)和深淺度不同.其四是狹義的邏輯分類學(xué)角度，可以把物理學(xué)理論體系概括為4大“概念范疇”：實(shí)物與場(chǎng)、粒子與波、時(shí)間與空間、運(yùn)動(dòng)與靜止.這應(yīng)該是物理學(xué)獨(dú)特的邏輯結(jié)構(gòu)，顯然與數(shù)學(xué)不同.

2.2 物理課程的邏輯特點(diǎn)

我們常常說(shuō)物理學(xué)有6大特點(diǎn)：其一是物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)，其二是物理學(xué)是一門嚴(yán)密的理論科學(xué)，其三是物理學(xué)是一門定量的精密科學(xué)，其四是物理學(xué)是一門基礎(chǔ)科學(xué)，其五是物理學(xué)是一門帶有方法論性質(zhì)的科學(xué)，其六是物理學(xué)是一門蘊(yùn)涵著特殊文化的科學(xué).對(duì)此已經(jīng)有成熟的討論，此不做贅述，但是其是本文立論基礎(chǔ)之一.

從目前大中學(xué)校的物理課程角度，物理學(xué)的5大領(lǐng)域的內(nèi)容是按照螺旋結(jié)構(gòu)分成5個(gè)完整循環(huán)的，即初中物理、高中物理、大學(xué)普通物理學(xué)、理論物理學(xué)（四大力學(xué)）和現(xiàn)代物理學(xué)（量子場(chǎng)論和相對(duì)論）.那么從科學(xué)方法或曰教與學(xué)的方法或曰思維方法的角度，可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí)物理學(xué)科教學(xué)的邏輯特點(diǎn)：初中物理（自然常識(shí)的一部分）根植于實(shí)驗(yàn)歸納+形象思維、高中物理（物理學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)）根植于邏輯演繹+實(shí)驗(yàn)歸納；普通物理學(xué)（力熱電光原）根植于源于實(shí)驗(yàn)歸納的系統(tǒng)化基本知識(shí)+邏輯演繹；理論物理學(xué)（四大力學(xué)）根植于源于高等數(shù)學(xué)直接對(duì)物理學(xué)基本定律和原理的結(jié)構(gòu)化邏輯演繹；現(xiàn)代物理學(xué)（場(chǎng)論與相對(duì)論）根植于哲學(xué)化的假說(shuō)和理想實(shí)驗(yàn)+邏輯演繹.其中數(shù)學(xué)起到了一定超前的和不可替代的作用，但是最后還必須由物理學(xué)的實(shí)證來(lái)完成.

2.3 物理課程學(xué)習(xí)的思維特征

物理思維具有獨(dú)特的個(gè)性化特征，主要體現(xiàn)在8個(gè)方面：模型化、多級(jí)性、多向性、表述的多樣性、思維的轉(zhuǎn)換、假設(shè)與驗(yàn)證、等效思維和實(shí)踐性.比如，模型化特征.這是對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行高度精細(xì)化的抽象和概括的一種邏輯形式，是形成物理概念基礎(chǔ)性思維.因?yàn)槲锢韺W(xué)以自然界物質(zhì)的結(jié)構(gòu)和最普遍的運(yùn)動(dòng)形式為研究?jī)?nèi)容.對(duì)于那些紛繁復(fù)雜的物理事物，首先就需要抓住其主要特征，而舍去那些次要因素，形成一種經(jīng)過(guò)抽象概括了的理想化的“物理典型”，在此基礎(chǔ)上才能夠建立物理概念、發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律.如何掌握好物理模型的思維，是學(xué)生學(xué)習(xí)物理的困難所在之一.又比如，表述的多樣性特征.因?yàn)槲锢硪?guī)律的表述可以用文字，也可以用公式，還可以借助于圖像，有些問(wèn)題直接可以用圖示.每一種表述，不僅僅是一種“語(yǔ)言”，同樣是一種思維.而且物理概念、規(guī)律和原理的定性表述比其定量的數(shù)學(xué)公式重要得多（對(duì)此，并沒(méi)有引起我國(guó)高中物理教師的普遍關(guān)注）.再比如，等效思維方法.把復(fù)雜的物理對(duì)象等效為一個(gè)簡(jiǎn)潔或簡(jiǎn)單的物理模型，可以跨越思維“鴻溝”、加速物理思維進(jìn)程或激發(fā)創(chuàng)新思維，在高一物理階段特別重要.例如，運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性、矢量的合成與分解、等效電路等.

正是這些個(gè)性化的物理思維特征，決定了物理的教與學(xué)的思維特征不同于數(shù)學(xué)的.

3 什么是數(shù)學(xué)思維

應(yīng)該說(shuō)數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)更是哲學(xué).從哲學(xué)的11對(duì)范疇看，其中直接與數(shù)學(xué)內(nèi)容相重疊的范疇是多于物理學(xué)的.比如運(yùn)動(dòng)與靜止、質(zhì)變與量變、肯定與否定、本質(zhì)與現(xiàn)象、內(nèi)容與形式、必然與偶然、原因與結(jié)果、可能與現(xiàn)實(shí)7對(duì)范疇都與數(shù)學(xué)的研究對(duì)象有交集.而認(rèn)識(shí)論的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐、感性與理性、真理與謬誤、絕對(duì)真理與相對(duì)真理4對(duì)范疇一直是貫穿數(shù)學(xué)研究和教學(xué)的主線.數(shù)學(xué)教學(xué)也是幾乎無(wú)時(shí)不用邏輯學(xué)的思維形式、思維規(guī)律、思維方法這3對(duì)范疇，但是其內(nèi)涵和應(yīng)用形式卻與物理思維有很大不同.

從人類認(rèn)識(shí)和研究自然界的層次角度，物理學(xué)是研究自然界最低的層次學(xué)科：物質(zhì)的基本運(yùn)動(dòng)形式和物質(zhì)最基本的結(jié)構(gòu)（分子、原子以下）.化學(xué)是研究物質(zhì)的性質(zhì)、組成、結(jié)構(gòu)、變化和應(yīng)用的科學(xué)（分子原子以上）.生物學(xué)是研究自然界所有生物的起源、演化、生長(zhǎng)發(fā)育和遺傳變異等生命活動(dòng)的規(guī)律和生命現(xiàn)象的本質(zhì)，各種生物之間、生物與環(huán)境之間相互聯(lián)系的學(xué)科.經(jīng)濟(jì)學(xué)是研究人類賴以“衣食住行用娛樂(lè)安全”等“商品或財(cái)富的生產(chǎn)、分配、交換、消費(fèi)的循環(huán)和演變過(guò)程”的基礎(chǔ)學(xué)科.所有這些學(xué)科（自然、社會(huì)和人類思維等）都直接或間接地被數(shù)學(xué)抽象為單一、純粹和一般化的模式——成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象.

3.1 數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯結(jié)構(gòu)

通過(guò)以上討論，對(duì)比物理學(xué)，數(shù)學(xué)具有哲學(xué)、知識(shí)和純粹的單一邏輯結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)的邏輯總范疇從研究對(duì)象的角度可以分為兩個(gè)層面：純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué).研究其自身提出的問(wèn)題的（如哥德巴赫猜想等）是純粹數(shù)學(xué)（又稱基礎(chǔ)數(shù)學(xué)）；研究來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)問(wèn)題的是應(yīng)用數(shù)學(xué).從數(shù)學(xué)是宇宙自然語(yǔ)言的角度，純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的界限并不那么明顯.一方面由于純粹數(shù)學(xué)中的許多對(duì)象，追根溯源是來(lái)自解決自然界問(wèn)題的.比如，從宏觀的宇宙學(xué)到微觀的量子領(lǐng)域；另一方面，為了要研究從現(xiàn)實(shí)世界（人類社會(huì)）提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，縱向的，大到如天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)等，小到分子、原子的運(yùn)動(dòng)；橫向的，如網(wǎng)絡(luò)、動(dòng)力系統(tǒng)、信息傳輸和經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型等，都需要數(shù)學(xué)科學(xué)從更抽象、更純粹的角度來(lái)考察，才有可能得到答案和解決.

從純粹的抽象思維的角度，可以分為“數(shù)”與“形”兩大范疇，而且這兩大范疇是交錯(cuò)或交織在一起的.即數(shù)學(xué)“模型”的建立，使得數(shù)學(xué)研究的對(duì)象在“數(shù)”與“形”的基礎(chǔ)之上可以擴(kuò)充到這個(gè)宇宙，包括自然和人類社會(huì)的各種“關(guān)系”，如“語(yǔ)言”“程序”“DNA排序”“選舉”和“動(dòng)物行為”等，最后又都復(fù)歸抽象為數(shù)學(xué)的“數(shù)”與“形”，從而構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)研究的全部?jī)?nèi)涵.

數(shù)學(xué)學(xué)科理論體系一般由數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)學(xué)分析、微分方程、泛函分析、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和離散數(shù)學(xué)等構(gòu)成一個(gè)發(fā)展動(dòng)態(tài)的邏輯結(jié)構(gòu).如果按照上述物理學(xué)從狹義的邏輯分類學(xué)角度，則數(shù)學(xué)的理論體系可以更加簡(jiǎn)潔無(wú)比地概括為兩大“概念范疇”：數(shù)、形.這是數(shù)學(xué)作為宇宙語(yǔ)言最獨(dú)特的邏輯結(jié)構(gòu)，顯然與物理學(xué)有很大差異.

3.2 數(shù)學(xué)課程的邏輯特點(diǎn)

我們常說(shuō)：數(shù)學(xué)是自然界的普適語(yǔ)言.數(shù)學(xué)更嚴(yán)格的定義是：研究宇宙數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)的本質(zhì)是各種運(yùn)動(dòng)形式在空間形式及其數(shù)量關(guān)系的概括.所以，數(shù)學(xué)也具有6大特點(diǎn)：其一是高度的抽象性，其二是邏輯上的嚴(yán)密性，其三是數(shù)量上的精密性，其四是深刻上的辯證性，其五是應(yīng)用的廣泛性，其六是與物理學(xué)一樣，數(shù)學(xué)也是一門蘊(yùn)涵著特殊文化的科學(xué).

目前基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)，與物理學(xué)有基本相同的、也有較大差異的.基本相同的是課程結(jié)構(gòu)也是螺旋結(jié)構(gòu)的5個(gè)完整循環(huán)，即小學(xué)數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)、大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論.小學(xué)、初中和高中都是代數(shù)、幾何和統(tǒng)計(jì)與概率3大領(lǐng)域的逐步深入、擴(kuò)展和初步應(yīng)用（數(shù)學(xué)建模）.與物理學(xué)課程的差異有：其一，課程內(nèi)容下移：小學(xué)一年級(jí)就有數(shù)學(xué)課程，初二（8年級(jí)）才有物理課程.其二，在初中和高中的數(shù)學(xué)課程里是沒(méi)有高等數(shù)學(xué)的拓?fù)鋵W(xué)、微分方程和泛函分析等學(xué)科.這樣在中學(xué)階段，暫時(shí)沒(méi)有許多相應(yīng)的“數(shù)學(xué)觀念”.其三，初、高中數(shù)學(xué)課程中沒(méi)有像初、高中物理的系統(tǒng)性實(shí)驗(yàn).這樣不僅沒(méi)有根植于實(shí)驗(yàn)歸納、理想實(shí)驗(yàn)和假說(shuō)等思維方法的學(xué)習(xí)，而且沒(méi)有實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練和實(shí)驗(yàn)方法的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì).這顯然是數(shù)學(xué)課程與物理課程的很大不同.其四，有趣的是現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的高度發(fā)展和抽象，比如拓?fù)鋵W(xué)理論及其應(yīng)用等，需要物理學(xué)的超前假說(shuō)，并最后還必須由物理學(xué)的實(shí)證來(lái)完成.

3.3 數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的思維特征

數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵是指轉(zhuǎn)化與劃歸、一般與特殊、函數(shù)與映射、歸納與類比、想象與直覺(jué)、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)演繹法、數(shù)學(xué)反駁法和公理化方法等邏輯范疇.我國(guó)義務(wù)教育和高中的數(shù)學(xué)教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中都明確指出，數(shù)學(xué)思維能力主要是指：會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會(huì)用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理；會(huì)合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)；能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì).所以，數(shù)學(xué)思維是多種邏輯思維能力的綜合運(yùn)用.

一般來(lái)說(shuō)，小學(xué)生是掌握形狀、方位、比較、排序、圖形和拼擺等能力.初中學(xué)生數(shù)學(xué)能力主要包括：數(shù)感和符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、初步的推理能力以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力等.高中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力主要包括：空間想象能力，邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，數(shù)學(xué)探究與創(chuàng)新能力以及數(shù)學(xué)建模能力等.研究表明：數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)的人，基本體現(xiàn)在兩種層面上，其一是數(shù)學(xué)聯(lián)想力，其二是數(shù)字敏感度.兩種層面都具有公理化特征.

4 物理思維與數(shù)學(xué)思維的差異性與同一性

從哲學(xué)、邏輯學(xué)和研究方法等角度，物理思維與數(shù)學(xué)思維的差異性是顯著的.比如，教學(xué)實(shí)踐表明：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高原期比物理學(xué)習(xí)的高原期要短得多.這是目前我國(guó)普通大眾認(rèn)為“物理難學(xué)又難教”的主要感性依據(jù).但是，作為教育工作者，我們必須貫徹基本的科學(xué)觀念，即物理與數(shù)學(xué)都是自然科學(xué)的有機(jī)組成部分，物理思維與數(shù)學(xué)思維存在著天然的同一性和本質(zhì)的共性.牛頓的經(jīng)典物理學(xué)名著的書(shū)名就是《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，整個(gè)宇宙是自然哲學(xué)的統(tǒng)一體.現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展必須借助于現(xiàn)代數(shù)學(xué)，二者已經(jīng)“融為一體”.

4.1 物理學(xué)與數(shù)學(xué)的學(xué)科知識(shí)交集

從理論物理學(xué)的角度看數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是物理學(xué)的表征，物理學(xué)是數(shù)學(xué)的實(shí)證模型：只要數(shù)學(xué)方程是自洽的，則必然有物理的自然客觀模型與之對(duì)應(yīng)，只是尚未發(fā)現(xiàn)而已.從物理學(xué)應(yīng)用的角度看待數(shù)學(xué)，物理學(xué)是當(dāng)代技術(shù)之源，但必須通過(guò)數(shù)學(xué)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.因此，當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一陳省身教授，極力贊成“物理”與“數(shù)學(xué)”是一家，他曾賦詩(shī)一首寫道：

物理幾何是一家，共同攜手到天涯.

黑洞單極窮奧秘，纖維聯(lián)絡(luò)織錦霞.

進(jìn)化方程孤立異，對(duì)偶曲率瞬息空.

籌算竟有天人用，拈花一笑不言中.

4.2 物理學(xué)與數(shù)學(xué)的3次重要結(jié)合

物理思維與數(shù)學(xué)思維的同一性還體現(xiàn)在物理學(xué)的發(fā)展歷史之中.第1次是物理學(xué)與歐幾里得幾何的結(jié)合，誕生了經(jīng)典力學(xué)、天文學(xué).比如，牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》有大量的幾何圖式；第2次是物理學(xué)與微積分的結(jié)合，構(gòu)建了“完美”的經(jīng)典物理學(xué).比如，拉格朗日的《分析力學(xué)》沒(méi)有一張圖，其后，誕生并逐步完善了數(shù)學(xué)物理方法.第3次是物理學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)（微分幾何）的結(jié)合創(chuàng)建了近代物理學(xué)和相對(duì)論，比如，愛(ài)因斯坦的《廣義相對(duì)論》.量子力學(xué)中的概率、算子、特征值、群論等基本概念和結(jié)論似乎都是數(shù)學(xué)上“預(yù)先”準(zhǔn)備好了的.所以，數(shù)學(xué)對(duì)第3次科學(xué)革命起到了有力的推動(dòng)作用.因此，數(shù)學(xué)是創(chuàng)立和發(fā)展物理學(xué)理論的主要工具.從技術(shù)革命的角度，物理學(xué)理論的應(yīng)用要借助數(shù)學(xué)工具，比如，實(shí)現(xiàn)單位的標(biāo)準(zhǔn)化和統(tǒng)一等.自20世紀(jì)初以來(lái)，物理學(xué)與數(shù)學(xué)就是互相促進(jìn)和共同發(fā)展的.

4.3 中學(xué)物理課程與中學(xué)數(shù)學(xué)課程的差異

物理學(xué)的理論體系是由實(shí)驗(yàn)、定律、定理和原理構(gòu)成的，所以，中學(xué)物理的力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、原子物理學(xué)是以實(shí)驗(yàn)為先導(dǎo)，從概念、規(guī)律、和原理出發(fā)，在哲學(xué)層面把物理學(xué)理論體系概括為4大“概念范疇”：實(shí)物與場(chǎng)、粒子與波、時(shí)間與空間、運(yùn)動(dòng)與靜止.已經(jīng)超越了邏輯學(xué)層面，進(jìn)入了哲學(xué)層面，是腦動(dòng)和技能型手動(dòng)的結(jié)合.

數(shù)學(xué)的理論體系是由公理、定義、定理和推論構(gòu)成的.可以說(shuō)，中學(xué)數(shù)學(xué)的代數(shù)、數(shù)論、幾何、數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步等都是相關(guān)學(xué)科的預(yù)備性知識(shí)，是以數(shù)學(xué)建模為后導(dǎo)的.這方面完全不同于物理學(xué).基礎(chǔ)教育階段，沒(méi)有涉及泛函分析、微分方程特別是三類偏微分方程.雖然中學(xué)數(shù)學(xué)也借助于邏輯學(xué)，卻完全局限于“算術(shù)”的層面，只有腦動(dòng)，沒(méi)有技能型的手動(dòng).

由此可見(jiàn)，如果不涉及微積分，中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容形式與大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容形式完全不同，但是，中學(xué)物理的內(nèi)容形式與大學(xué)物理的內(nèi)容形式幾乎完全重合.這是因?yàn)椋浩湟?，?nèi)容差異.物理的課程螺旋結(jié)構(gòu)內(nèi)容是相同的，數(shù)學(xué)的不完全相同.其二，難度差異.初、高中課程內(nèi)容的難度臺(tái)階，物理特別大，數(shù)學(xué)不明顯.其三，邏輯差異.物理是實(shí)時(shí)情境推理，數(shù)學(xué)是固定純粹推理.其四，思維差異.物理有賴于個(gè)性，具體體現(xiàn)是抽象化的具象、具象化的抽象；數(shù)學(xué)有賴于直接的具象，然后轉(zhuǎn)化為具象化的抽象.其五，直接應(yīng)用物理的定義、定律和定理，可能無(wú)法得出物理問(wèn)題結(jié)論，或者得出的正確結(jié)論是“歪打正著”（個(gè)性化物理思維路徑并不正確）；數(shù)學(xué)直接可以應(yīng)用公理、定義和定理，就可以得出正確的結(jié)論，數(shù)學(xué)幾乎不會(huì)出現(xiàn)“歪打正著”現(xiàn)象.

5 物理邏輯與數(shù)學(xué)邏輯的教學(xué)差異性舉例

教學(xué)實(shí)踐表明，我們必須從邏輯層面分析物理邏輯與數(shù)學(xué)邏輯的教學(xué)差異性.所謂邏輯（Logic）是一個(gè)外來(lái)詞語(yǔ)音譯，指的是思維的規(guī)律和規(guī)則，也指研究思維規(guī)律的學(xué)科即邏輯學(xué)，包括辯證邏輯、形式邏輯和數(shù)理邏輯（符號(hào)邏輯）.它們都是通過(guò)人的邏輯思維途徑而達(dá)成.邏輯指的是思維的規(guī)律和規(guī)則，邏輯思維（Logicalthinking）是人們?cè)诟行哉J(rèn)知階段（感覺(jué)、知覺(jué)、表象）基礎(chǔ)上，借助于理性認(rèn)識(shí)階段（概念、判斷、推理）的思維形式能動(dòng)地反映客觀現(xiàn)實(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程.它是作為對(duì)認(rèn)識(shí)者的思維及其結(jié)構(gòu)以及起作用的規(guī)律的分析而產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的.只有經(jīng)過(guò)邏輯思維，人們才能達(dá)到對(duì)具體對(duì)象本質(zhì)規(guī)定的把握，進(jìn)而認(rèn)識(shí)客觀世界，是人的認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段，但是，邏輯思維具有個(gè)體思維的規(guī)律性和差異性.

5.1 “概念”學(xué)習(xí)的差異

概念是思維的基本形式之一，是邏輯思維進(jìn)入理性認(rèn)識(shí)階段的起點(diǎn).概念是反映客觀事物的一般的、本質(zhì)特征的思維形式.人類在形成概念認(rèn)識(shí)過(guò)程中，需要把所感覺(jué)到的事物的共同特點(diǎn)抽出來(lái)，加以概括，就成為概念.

在基礎(chǔ)教育階段，數(shù)學(xué)中的“概念”是公理中規(guī)定了的，大量采用了歸納的方法，是“死的”；比如，“數(shù)域”“直角三角形”“反函數(shù)”等等，其定義都是一種“程式化”的思維，是一種純粹化的或機(jī)械化的邏輯推理.

而物理學(xué)中的“概念”是實(shí)驗(yàn)（情境）中抽象出來(lái)的，是“活的”，比如，“力”“杠桿”“電場(chǎng)強(qiáng)度”等等，其定義是一種“情境化”的思維或個(gè)性化的邏輯推理.

因此，高中同年級(jí)的物理“概念”的建立過(guò)程和定義程序比數(shù)學(xué)的復(fù)雜得多和難得多.這或許是物理比數(shù)學(xué)“難學(xué)又難教”的教學(xué)層面的原因之一.

5.2 “規(guī)律”學(xué)習(xí)的差異

規(guī)律亦稱法則，是在一定的條件下，客觀事物發(fā)展過(guò)程中的本質(zhì)要素之間的聯(lián)系.規(guī)律具有必然性、普遍性、客觀性和永恒性特點(diǎn).

在基礎(chǔ)教育階段，數(shù)學(xué)中的“規(guī)律”來(lái)自于公理中的定義、定理和推論；比如，“實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算”“直角三角形的勾股定理”“三角函數(shù)法則”等.這些直接演繹的過(guò)程是單純的和純粹的思維過(guò)程，是沒(méi)有或者不需要客觀實(shí)際情境過(guò)程對(duì)應(yīng)的.比如，如果熟記直角三角形的角邊關(guān)系的公式（公理），你不僅能夠無(wú)誤地推出三角函數(shù)各種角邊關(guān)系公式，如倍角關(guān)系、半角關(guān)系、和差化積等，而且會(huì)輕松地求解此類題目.只要將相關(guān)的定義、定理、運(yùn)算法則熟記熟背，即可靈活運(yùn)用.

物理學(xué)中的“規(guī)律”必須是通過(guò)實(shí)驗(yàn)（情境）進(jìn)行歸納或證明的.比如牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律和法拉第電磁感應(yīng)定律等.不僅條件嚴(yán)格，而且其情境是理想化的，即需要進(jìn)行一系列的思維加工.其內(nèi)容是客觀化的，需要實(shí)際的情境，即需要物理實(shí)驗(yàn)與其對(duì)應(yīng).正是其情境的理想思維加工和內(nèi)容客觀化的實(shí)驗(yàn)情境，必然要求物理學(xué)習(xí)者的思維過(guò)程和思維成果具有個(gè)性化特質(zhì).比如，受力分析可以用不同的分解方法、矢量的方向也與規(guī)定的正方向進(jìn)行比較、守恒律的運(yùn)用更需要清晰始末狀態(tài).如果熟記牛頓三定律及其相關(guān)公式（比如，牛頓第二定律F=ma，為簡(jiǎn)單計(jì)，這里只用標(biāo)量式），你可能會(huì)推導(dǎo)動(dòng)能定理表達(dá)式，但是，你或許根本都不會(huì)做基本的動(dòng)力學(xué)題目，因?yàn)榍罢咧皇菙?shù)學(xué)，而后者就是物理學(xué).所以，不同于數(shù)學(xué)，物理學(xué)中的“規(guī)律”是一種個(gè)性化物理情境、個(gè)性化技能、個(gè)性化思維方法和個(gè)性化思維過(guò)程的綜合實(shí)踐活動(dòng)，需要的是個(gè)性化的邏輯推理.而且物理規(guī)律有3個(gè)層次：定律、定理和原理，同時(shí)其表征有3種形式，除了文字的定性表述，另外兩種都是數(shù)學(xué)方法——解析式和圖像.

這或許是物理比數(shù)學(xué)“難學(xué)又難教”的教學(xué)層面的原因之二.

5.3 “原理”學(xué)習(xí)的差異

原理是具有普遍意義的最基本的規(guī)律.科學(xué)的原理，由實(shí)踐確定其正確性，可作為其他規(guī)律的基礎(chǔ).初等數(shù)學(xué)的原理有加法原理、乘法原理、抽屜原理等等.初等物理的原理有功能原理、杠桿原理、動(dòng)能定理和惠更斯原理等等.我們僅僅從名稱上就不難發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是內(nèi)容還是從內(nèi)涵，數(shù)學(xué)的原理比物理的原理簡(jiǎn)易得多.就表現(xiàn)形式看，物理的原理比數(shù)學(xué)的原理要簡(jiǎn)單得多，但是其內(nèi)涵和具體應(yīng)用策略上，物理的原理比數(shù)學(xué)的原理要復(fù)雜得多，主要體現(xiàn)在物理思維的個(gè)性化特質(zhì)上.

比如，組合數(shù)學(xué)中抽屜原理（鴿巢原理），其“實(shí)踐情境”：桌上有10個(gè)蘋果，要把這10個(gè)蘋果放到9個(gè)抽屜里，無(wú)論怎樣放，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少會(huì)有一個(gè)抽屜里面放不少于2個(gè)蘋果.這一現(xiàn)象就是我們所說(shuō)的“抽屜原理”.我們可以進(jìn)行數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單而純粹的抽象：“如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每1個(gè)蘋果就可以代表1個(gè)元素，假如有n+1個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，其中必定有一個(gè)集合里至少有2個(gè)元素.”第一抽屜原理的應(yīng)用1及其證明.把多于n+1個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于2件.證明：用反證法——如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體，那么物體的總數(shù)最多是n×1，而不是題設(shè)的n+k（k≥1），故不可能.

在這里，研究對(duì)象是具體的、純粹的和有形的“抽屜”和“蘋果”，而可以被抽象為任意內(nèi)涵的“元素”，雖然邏輯的推理是嚴(yán)謹(jǐn)、第次而且明顯的（1個(gè)示意圖可以表征研究對(duì)象），但是，其推理過(guò)程是單一的（至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于2件“元素”）；從邏輯方法上，也用到反證法，其邏輯關(guān)系清晰，結(jié)論也很簡(jiǎn)單[n+k（k≥1）不可能]，沒(méi)有復(fù)雜的情境內(nèi)涵.即數(shù)學(xué)思維具有具體的、機(jī)械的和純粹的特點(diǎn).

下面對(duì)比看看物理學(xué)波動(dòng)理論的惠更斯原理和惠更斯-菲涅耳原理.

惠更斯原理：任意時(shí)刻球形波面上的每一點(diǎn)都是一個(gè)次級(jí)球面波的次波源，次波的波速與頻率等于初級(jí)波的波速和頻率，此后每一時(shí)刻的次波波面的包絡(luò)就是該時(shí)刻總的波動(dòng)的波面.原理的核心概念是次波源，而且是“點(diǎn)波源”.原理的應(yīng)用結(jié)論：介質(zhì)中任一處的波動(dòng)狀態(tài)是由各處的波動(dòng)決定的.原理的表述和結(jié)論都很簡(jiǎn)潔，其過(guò)程的內(nèi)涵卻不是簡(jiǎn)單的，因?yàn)橐獞?yīng)用“球面波”和“疊加”兩個(gè)概念.

在這里，研究對(duì)象是具體的、客觀的和無(wú)形的“機(jī)械波的反射、折射和衍射現(xiàn)象”（機(jī)械波中，只有水波是有形的），雖然邏輯的推理也是嚴(yán)謹(jǐn)、第次而且淺顯的（機(jī)械波遇到障礙物時(shí)如何傳播），但是，其推理過(guò)程卻不是單一的.其一，次波源——點(diǎn)波源發(fā)出的球面波，如圖1所示.其二，疊加的含義是什么——物理矢量的一種加減法，是獨(dú)立作用原理為前提的，其物理因素是次波面的“疊加”.其三 ，從邏輯方法上，必須考慮實(shí)際的物理情境，即次波面的“疊加”必須在一定的范圍內(nèi)，即如果在遠(yuǎn)離障礙物的地方繼續(xù)使用“次波源”，會(huì)發(fā)現(xiàn)波可能會(huì)有繞到“后背”的后退波.這顯然是違背了實(shí)際情況的錯(cuò)誤.因此，雖然該原理的邏輯關(guān)系清晰，但是結(jié)論卻不像數(shù)學(xué)那樣的單一：（1）對(duì)象是情境式的；（2）對(duì)象的結(jié)論是有范圍的，因果關(guān)系是有條件的；（3）惠更斯原理的次波假設(shè)沒(méi)有涉及波的時(shí)空周期特性：即沒(méi)有波長(zhǎng)、振幅和位相等概念；（4）沒(méi)有關(guān)注衍射的物理現(xiàn)象和物理機(jī)制.這顯然是不完備的.實(shí)際上，衍射區(qū)域有明暗相間的條紋出現(xiàn)，所以，后來(lái)菲涅耳在惠更斯原理的基礎(chǔ)上，補(bǔ)充了“次波相干疊加”的物理原理，給出了次波相位和振幅的定量表示式.這就是惠更斯-菲涅耳原理.此時(shí)，該原理呈現(xiàn)的不僅有清晰完整的內(nèi)涵，而且物理思維具有情境的、分析的和個(gè)性化的特點(diǎn).

圖1 點(diǎn)波源

實(shí)際上，物理規(guī)律和物理原理的教學(xué)方法并沒(méi)有任何差異，都需在物理實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上展開(kāi)教學(xué)過(guò)程.這一點(diǎn)顯然與數(shù)學(xué)原理的教學(xué)方法不同.這或許是物理比數(shù)學(xué)“難學(xué)又難教”的教學(xué)層面的原因之三.

6 結(jié)語(yǔ)

最后，作為本文中心論點(diǎn)的又一佐證，再舉一例，即我們對(duì)解析式F=ma的數(shù)學(xué)意義和物理意義進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較.從數(shù)學(xué)的角度，F(xiàn)=ma就是一個(gè)方程，3個(gè)量中哪一個(gè)是未知數(shù)無(wú)關(guān)緊要，其形式無(wú)論是F=ma，還是F-ma=0，都不會(huì)影響方程的解，小學(xué)數(shù)學(xué)就可以得出結(jié)果.而且3個(gè)量是等價(jià)的，其因果關(guān)系可以互逆，即其時(shí)空反演是對(duì)稱的.然而，從物理學(xué)的角度，F(xiàn)=ma是牛頓第二定律數(shù)學(xué)公式（定量表達(dá)式），姑且不說(shuō)該方程是高中物理的重點(diǎn)知識(shí)，其教與學(xué)需要運(yùn)用控制變量法進(jìn)行科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)展開(kāi)，僅方程F=ma的本身就包含了3層涵義.第一層：F=ma是一個(gè)矢量式，即F外=ma，而且是系統(tǒng)所受的“合外力”，物理意義非常清晰和具體.第二層：方程F=ma是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)嚴(yán)格因果關(guān)系的表示，即左邊是力F，右邊是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，，即物理量在方程的不同位置，其物理意義是不同的.第三層：該方程或等式F=ma兩邊的物理意義是慣性參考系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)物理規(guī)律因果律的表示.左邊F合外力是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的“因”，右邊的ma是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化，即在慣性參照系中，物體所受合外力不等于0，該物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一定發(fā)生了變化：是“因”產(chǎn)生的“果”.因此，F(xiàn)=ma與F-ma=0這兩個(gè)方程有本質(zhì)的區(qū)別.其一：F-ma=0中的F-ma是合力，即ma也是一個(gè)“力”.其二：參照系不同，顯然F=ma是慣性參照系，而F-ma=0是非慣性參照系，即ma是非慣性參照系的“慣性力”，等式F-ma=0的右邊等于0，表示在非慣性參照系中，該“質(zhì)點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并沒(méi)有發(fā)生變化.因此，對(duì)于牛頓第二定律F=ma的層次分析和物理內(nèi)涵，如果我們的物理教師不能夠如此地把握，只是一味地要求學(xué)生做題，學(xué)生可能在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)也難以或者根本不可能領(lǐng)會(huì)和掌握.結(jié)合這個(gè)典型的例子并綜上討論，對(duì)于“物理難學(xué)又難教”的社會(huì)焦慮，我們顯然需要給出明確的結(jié)論：答案應(yīng)該是“物理難學(xué)不難教！”問(wèn)題在于我們的物理教師是否名副其實(shí)的物理學(xué)的學(xué)科教師.