付 莉，高 冰，劉明波

（中國人民解放軍91388 部隊，湛江 524022）

1 引 言

采用經(jīng)緯儀進行測量的過程中，測量數(shù)據(jù)y（t）由真實信號Y（t）、系統(tǒng)誤差s（t）和隨機誤差e（t）組成，即y（t） ＝Y（t） ＋s（t） ＋e（t）。 系統(tǒng)誤差影響測量結果的準確度，隨機誤差影響測量結果的精密度。 要獲得高精度試驗處理結果，必須準確地分離測量數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差和隨機誤差。

經(jīng)緯儀測量數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差主要是指定向、零位、軸系、跟蹤部位等具有常值或有規(guī)律的誤差，在明確系統(tǒng)誤差模型的條件下，可以精確地予以修正。

目前，對測量序列隨機誤差影響的消除主要采用平滑濾波的方法，如中心平滑、多項式擬合等。平滑處理后數(shù)據(jù)的誤差有所降低，但由于平滑處理模型使平穩(wěn)時間序列的點與點之間相關（時序相關），若使用的數(shù)據(jù)要求采樣率較高時，如要求數(shù)據(jù)處理步長為40 fps 點或更高時，就出現(xiàn)了數(shù)據(jù)時序相關問題。

本文針對目前經(jīng)緯儀測量數(shù)據(jù)在高采樣率下隨機誤差具有較強相關性的實際問題，對數(shù)據(jù)的相關步長判別方法和相關數(shù)據(jù)的處理策略進行了分析探討。

2 白噪聲多項式平滑方法

在討論相關數(shù)據(jù)平滑處理前，首先介紹目前測量數(shù)據(jù)中的隨機誤差為白噪聲時，所采用的正交多項式平滑方法，作為相關數(shù)據(jù)平滑處理的基礎。

設測量數(shù)據(jù)為｛y，y，y，……，y｝

式 中： y（t）——觀測數(shù)據(jù)； Y（ t）——真 值；ε（t）——平穩(wěn)噪聲。

當隨機誤差為白噪聲時，E［ε（t）］ ＝0，D［ε（t）ε（t）］ ＝σ，σ為噪聲方差。

為便于計算及統(tǒng)計分析，采用切比雪夫正交多項式的線性組合來逼近y（t），即

其中，φ（t）是切比雪夫正交多項式。

當k ＝l 時，切比雪夫正交多項式滿足以下條件

其中，b（k ＝0，1，……，m）為待估系數(shù)。 令Q ＝min，利用φ（t）的正交性，得b的最小二乘解為

這就是目前普遍采用的正交多項式平滑處理方法。

3 非相關轉化法

采用差分的方法檢驗數(shù)據(jù)的相關性，導出相關條件下差分步長的計算方法，通過求取測量數(shù)據(jù)的不相關步長，將具有相關特性的原始測量序列轉化為若干個不相關的數(shù)據(jù)序列。

3．1 測量數(shù)據(jù)的差分方法

設測量結果為y，y，……，y，則一階差分為

（y－ y），（y－ y），……，（y－ y），……，（y－y）；

二階差分為

（y－y） －（y－y） ＝（y－2y＋y），（y－2y＋y），……，（y－2y＋y），……，（y－2y＋y）；

……

因為t是等時間間隔分布的，當做P 階差分時，凡包含有系數(shù)的各項均為0，剩下的是包含隨機誤差的項，所以根據(jù)一組P 階差分的值可以算出隨機誤差的估計量。 差分也可以每隔若干個數(shù)據(jù)相減，例如：

（y－ y），（y－ y），……，（y－y）

間隔的長度L 稱為差分步長。

3．2 不相關步長判別方法

按照上面介紹的差分方法，對原始測量數(shù)據(jù)序列y做P 階向前差分處理，得到一組新的數(shù)據(jù)序列

根據(jù)P 階差分序列計算隨機誤差的統(tǒng)計方差S為

不成立，說明步長L 偏小，應增加為L ＋1；如果公式（9）成立，則認為步長L 是合適的，即測量數(shù)據(jù)是不相關的，此時L 為最小不相關步長。 其中，σ 為一個根據(jù)需要確定的小正數(shù)，一般取σ ＝0.05。

3．3 非相關處理策略

在計算得到L 后，可采用下面的方法對測量數(shù)據(jù)進行平滑處理。

3．3．1 序列重組

將原測量序列按照不相關步長拆分成L 個不相關測量數(shù)據(jù)序列，此時，各序列的數(shù)據(jù)點為原序列中以L 為間隔的采樣點，并滿足不相關條件。

如原始測量數(shù)據(jù)序列為

y，y，y，……，y，y，y

由第3.2 條中的方法計算得到L ＝4，則可將原始測量序列拆分成4 列不相關數(shù)據(jù)序列

3．3．2 平滑濾波處理

對得到的各個不相關序列可采用目前普遍采用的白噪聲數(shù)據(jù)平滑濾波方法，如中心平滑濾波、端點平滑濾波、多項式擬合平滑濾波等方法。 具體方法不再贅述。

3．3．3 序列還原

將平滑濾波處理后的各序列，按照時間順序重新恢復成以測量采樣間隔為步長的完整序列，得到

即經(jīng)過非相關轉化法處理得到的平滑結果。

3．4 隨機誤差的統(tǒng)計結果

對隨機誤差序列采用貝塞爾公式統(tǒng)計為

3．5 實測數(shù)據(jù)計算分析

以某紅外測量設備為例，使用該設備對某空中飛行目標進行測量，受周圍氣候環(huán)境影響以及目標形狀和姿態(tài)等變化，導致測量數(shù)據(jù)隨機誤差嚴重超差。 經(jīng)分析，此情況下獲取的測量數(shù)據(jù)含有較強噪聲，不滿足理想情況下對該型設備的鑒定結果，同時，原來白噪聲前提下的數(shù)據(jù)處理方法和模型也不再適用。

采用前面提出的相關數(shù)據(jù)分析處理方法，對該次測量數(shù)據(jù)進行分析；在獲取不相關步長后，將該測量序列拆分成多個不相關數(shù)據(jù)序列；再對各不相關序列按照白噪聲處理方法進行處理，并將處理后的各序列重組，獲取目標空中飛行軌道。兩種情況下的測量數(shù)據(jù)序列處理結果誤差比對如圖1 所示。

圖1 處理結果誤差比對Fig．1 Error comparison of processing results

4 相關數(shù)據(jù)平滑法

探討從另一個角度對具有相關性的測量數(shù)據(jù)進行平滑的方法，即不考慮測量數(shù)據(jù)是否相關，將前面介紹的利用正交多項式對白噪聲測量數(shù)據(jù)進行平滑的方法，推廣到隨機誤差相關時的情況。

4．1 相關系數(shù)計算方法

將公式（6）寫成向量形式為

其中，

由φ（t）的正交性有

即

其中，

（K，1 ＝0，1，……，m）

4．2 相關測量數(shù)據(jù)平滑處理方法

對離散測量數(shù)據(jù)進行平滑的方法，在考慮測量誤差的相關性時，要比白噪聲數(shù)據(jù)的處理復雜得多，關鍵是求出誤差相關矩陣的逆。 但在實際工作中要精確給出一個觀測序列噪聲的相關矩陣并不是很容易，再加上矩陣求逆往往比較復雜，這就給濾波器的設計帶來了困難。 為了較準確地描述和分析測量中相關噪聲的性質和影響，現(xiàn)采用簡單廣義馬爾可夫噪聲作為相關噪聲的一階近似。

具有標準化自相關函數(shù)的廣義平穩(wěn)連續(xù)隨機過程稱為簡單廣義馬爾可夫過程。

其中，ω ＞0 稱為噪聲帶寬，可由實驗確定，它的大小反映了相關性的強弱。 ω 越大，相關性越弱。

基于上述理由，為了簡化分析與計算，現(xiàn)假設測量隨機誤差為平穩(wěn)過程，則有零值數(shù)學期望和由公式（18）定義的自相關噪聲。

在這種情況下，誤差相關矩陣K 的逆矩陣K是對稱三角陣

其中，

當n→∞時，上述兩種估值的方差均趨于同一極限（與m 無關），則

當d ＝0 時，兩種估值意義相同，有

這實際上是測量誤差非相關時的平滑值方差。

當d≠0 時，平滑值的方差總是超過非相關情況下的相應方差值，在自相關函數(shù)可用簡單廣義馬爾可夫過程描述的情況下，不考慮測量誤差相關性所造成的平滑值方差增加是很小的，這時可按測量誤差對白噪聲進行處理，而不至于使誤差增加很多。

5 結束語

隨著技術發(fā)展，經(jīng)緯儀測量數(shù)據(jù)的錄取頻率越來越高，從過去要求的1 fps、2 fps，提高到10 fps、20 fps，甚至更高。 因處理頻率的提高，數(shù)據(jù)的相關性明顯增強。 特別是隨著多傳感器測量設備的研制和在實際測量中的應用，因其測量手段的多樣化和測量工程原理與背景環(huán)境的復雜性，提供用于處理的信息已遠遠超出過去傳統(tǒng)意義上的誤差簡化為白噪聲的情況。 原有數(shù)據(jù)處理方法假定測量數(shù)據(jù)是白噪聲的前提條件已不滿足。

本文針對因現(xiàn)有測量條件的變化和數(shù)據(jù)處理要求的提高所帶來的新問題進行了分析和探討。通過采取適當?shù)奶幚聿呗裕貙捔嗽袛?shù)據(jù)處理方法的應用領域，增強了數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)的適應能力。