趙果玫

(溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，浙江溫州 325035)

Landau-Lifshitz（LL）方程描述了連續(xù)鐵磁體中磁化強度的演化，對理解非平衡磁學(xué)有著重要意義．類似于流體動力學(xué)中的Navier-Stokes方程，LL方程在鐵磁物質(zhì)的動態(tài)磁化理論中扮演了極為重要的角色，成為研究的基石．由于LL方程是一個強非線性偏微分方程，無法求出精確解的解析表達形式，往往通過數(shù)值模擬來了解LL方程解的特征．研究LL方程的數(shù)值算法成為國際數(shù)學(xué)界廣泛關(guān)注的熱點問題之一．本文主要考慮帶有交換場的Landau-Lifshitz方程：

本文基于球面投影方法和外推方法，構(gòu)造求解LL方程的二階Backward Difference Formula（BDF）部分投影有限元算法，使得數(shù)值解可精確地滿足模為1的約束．同時在時間步長條件τ=O(h)下，從理論上證明了精確解和數(shù)值解之間具有最優(yōu)的L2誤差估計．

1 預(yù)備知識

2 二階BDF投影格式

下面給出求解Landau-Lifshitz方程（1）的二階BDF有限元投影格式方法．

顯然，這里所構(gòu)造的二階BDF投影格式（6）―（9）可以在逐點意義下精確地保持數(shù)值解的模為1．為證明最優(yōu)的有限元誤差估計，假設(shè)Landau-Lifshitz方程（1）存在唯一的局部強解m，滿足如下正則性：

3 誤差估計