鄭招陽，陳新明,2

(1.西北農(nóng)林科技大學 水利與建筑工程學院，陜西 楊凌712100；2.旱區(qū)農(nóng)業(yè)水土工程教育部重點實驗室，陜西 楊凌 712100)

我國淡水資源總量非常豐富，高達28 000億m3，占全球水資源總量的6%，位列世界第四[1]。由于我國水資源人均量只有2 300 m3，僅為世界平均水平的1/4，所以我國也是全球人均水資源最貧乏的國家之一[2]。作為農(nóng)業(yè)大國，我國最主要的用水行業(yè)就是農(nóng)業(yè)，據(jù)2018年統(tǒng)計我國農(nóng)業(yè)用水已經(jīng)達到全社會用水比例的61.4%，其中以農(nóng)業(yè)灌溉為主[3]。評價農(nóng)業(yè)灌溉水用水效率與衡量灌區(qū)工程建設(shè)水平、管理水平、節(jié)水灌溉水平的重要指標則是灌溉水利用系數(shù)。

灌溉水利用系數(shù)是指某段時期內(nèi)灌入田間被作物所吸收的凈水量與灌溉引水總量的比值[4]。以往的研究表明，灌溉水利用系數(shù)預測研究的方法分為兩大類：一類是僅從灌溉水利用系數(shù)的歷史數(shù)據(jù)出發(fā)直接建立預測模型，其研究方法主要有回歸分析法、動平均法、指數(shù)平滑法和灰色系統(tǒng)理論預測法等；另一類則是結(jié)合影響灌溉水利用系數(shù)的因素構(gòu)建預測模型，如多元回歸分析法[5]、組合預測法等[6]。對于無法建立客觀物理模型、作用原理亦不明確的系統(tǒng)，諸如社會系統(tǒng)、農(nóng)業(yè)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)和水利系統(tǒng)等，過去難以對其定量描述，但自1982年鄧聚龍教授提出灰色系統(tǒng)理論[7]以來，其以發(fā)展態(tài)勢為立足點，充分開發(fā)并利用系統(tǒng)數(shù)據(jù)中的顯信息和隱信息，尋找因素間或因素本身的數(shù)學關(guān)系，在各領(lǐng)域分析事物未知、潛在的關(guān)系方面日趨完善成熟，進而衍生發(fā)展出多種灰色預測模型并廣泛應用。灌溉水利用系數(shù)的預測研究由于可追溯的數(shù)據(jù)樣本少且多為短期及中期預測，在僅探究灌溉水利用系數(shù)自身的數(shù)學關(guān)系時，灰色系統(tǒng)理論顯然更適合[8]。

根據(jù)已有的資料，灌溉水利用系數(shù)主要受節(jié)水工程措施、技術(shù)以及人為調(diào)控、管理的影響，鑒于當下全球節(jié)水技術(shù)和材料的發(fā)展進入瓶頸期，加之國家五年計劃的宏觀調(diào)控，可預見在“十四五”期間，灌溉水利用系數(shù)變化趨勢具有飽和特性并大致按“S型”規(guī)律增長。現(xiàn)在灰色系統(tǒng)理論針對“S型”規(guī)律變化系統(tǒng)的研究，演化出精度更高、更準確的灰色Verhulst模型及其改進型[9]?；疑玍erhulst模型的計算結(jié)果是Verhulst模型白化方程的解，而Verhulst模型白化方程則由Verhulst模型的灰微分方程變量連續(xù)化類推所得，當白化方程精度足夠高時，可視用原始數(shù)列建立的灰色Verhulst模型與其真正的微分方程吻合較好。需要注意到的是，在灰微分方程類推得到白化方程的過程中，灰導數(shù)、白化背景值的替代及微分方程初值的選取會割裂差分和微分、離散和連續(xù)的聯(lián)系，這是造成誤差產(chǎn)生的最大原因[10]。本文預測研究的對象是灌溉水利用系數(shù)，其受不同水平年技術(shù)水平、政策的滯后效應以及農(nóng)業(yè)發(fā)展現(xiàn)狀影響較大，正好可分別類比對應灰色Verhulst模型白化方程中背景值和初值之于方程的意義，故針對背景值和初值這兩項做優(yōu)化提高預測精度，構(gòu)建基于背景值和初值優(yōu)化的灰色Verhulst改進模型。

根據(jù)基于背景值和初值優(yōu)化的灰色Verhulst改進模型，以農(nóng)業(yè)大市咸陽市為例，結(jié)合咸陽市2015年—2020年灌溉資料對該市未來3年的灌溉水利用系數(shù)進行預測。最終通過模型的擬合、預測效果驗證基于背景值和初值優(yōu)化的灰色Verhulst改進模型在灌溉水利用系數(shù)預測研究上的可行性，預測結(jié)果不僅能為咸陽市農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和水資源利用提供參考，還將為其他地區(qū)的灌溉水利用系數(shù)預測研究提供借鑒。

1 材料與方法

1.1 研究區(qū)概況

咸陽市東接省會西安，西鄰楊凌國家農(nóng)業(yè)高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)示范區(qū)，轄1市2區(qū)10縣，總面積10 246 km2，全市耕地總面積37.03萬hm2，有效灌溉面積28.50萬hm2。2019年全市實際灌溉面積達到17.04萬hm2，相比2018年增加了4.31%。從灌溉用水量上來看，2019年灌溉用水量為51813.16萬m3，相比較2018年增加了12.71%[12]。另外，2015年—2020年間，咸陽市每年農(nóng)田灌溉用水量均超5億m3，作為農(nóng)業(yè)大市未來數(shù)年咸陽市的農(nóng)業(yè)灌溉用水量勢必維持在高位，巨大的農(nóng)業(yè)灌溉用水量需要政府做好農(nóng)業(yè)發(fā)展規(guī)劃才能適配本地的水資源狀況和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。

1.2 數(shù)據(jù)來源

本文所用咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數(shù)資料由咸陽市水利局提供。本文所用咸陽市2015年—2019年節(jié)水灌溉工程面積從陜西省統(tǒng)計局官網(wǎng)下載(http://tjj.shaanxi.gov.cn/)。

1.3 模型構(gòu)建方法

1.3.1 灰色Verhulst模型原理

灰色Verhulst模型主要用來描述具有飽和“S型”變化規(guī)律的過程，其建模過程如下。

構(gòu)建n個等間距時間原始數(shù)據(jù)序列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，其一階累加得到的序列為x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)) ，記作1-AGO，其中：

(1)

定義x(1)的灰導數(shù)為：

d(k)=x(0)=x(1)(k)-x(1)(k-1)

k=2,3,…,n

(2)

令z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)) 為數(shù)列x(1)的緊鄰值生成序列，即：

z(1)(k)=αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)

k=2,3,…,n;α∈[0,1]

(3)

一般地，灰色Verhulst模型中生成系數(shù)α取0.5，此時稱z(1)(k)為緊鄰均值生成數(shù)。

故定義灰色Verhulst模型為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2

k=2,3,…,n

(4)

式中：x(0)(k)為灰導數(shù);a為發(fā)展系數(shù);z(1)(k)為白化背景值;b為灰作用量。

式(4)對應的白化微分方程為：

(5)

取該微分方程的初值x(1)(1)=x(0)(1)，解微分方程式(5)得灰色Verhulst模型的時間響應式為：

k=1,2,…,n

(6)

(7)

將式(7)改寫成矩陣形式，有：

(8)

(9)

U=(ab)T

(10)

Y=BU

(11)

(12)

(13)

1.3.2 基于背景值和初值優(yōu)化的灰色Verhulst改進模型

從灰色Verhulst模型式(4)連續(xù)化得到白化微分方程式(5)的過程及時間響應式式(6)可以看出，灰色Verhulst模型的精度主要取決于參數(shù)a、b和初值x(1)(1)。其中a、b值直接受白化背景值z(1)(k)的構(gòu)造形式影響，經(jīng)典模型中生成系數(shù)α取0.5，實際上α是0到1之間的動態(tài)值，但必存在某個α使得灰色Verhulst模型模擬效果最好；而初值x(1)(1)的選取與研究對象及其環(huán)境條件相關(guān)，也會存在一個最符合條件的初值。由此看見，發(fā)展系數(shù)α和初值x(1)(1)都是導致連續(xù)的白化方程跳變到離散的時間響應式時產(chǎn)生誤差的重要原因，也是經(jīng)典灰色Verhulst模型預測不準確的問題所在。

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：

0≤α≤1

0≤x(1)(1)≤2x(1)(1)

式(17)所約束的灰色Verhulst模型即為基于背景值和初值優(yōu)化的灰色Verhulst改進模型。針對式(17)中未知參數(shù)發(fā)展系數(shù)α和初值x(1)(1)，可分別建立三種灰色Verhulst改進模型：① 只優(yōu)化發(fā)展系數(shù)α，初值x(1)(1)取x(0)(1)；② 只優(yōu)化初值x(1)(1)，發(fā)展系數(shù)α取0.5；③ 同時優(yōu)化發(fā)展系數(shù)α和初值x(1)(1)。最終可分別將三組優(yōu)化后的發(fā)展系數(shù)α和初值x(1)(1)代入式(6)中得到改進模型的時間響應式(6)，進一步還原計算得到各改進模型的優(yōu)化預測值。

1.4 模型檢驗方法

1.4.1 原始數(shù)據(jù)建?？尚行詸z驗

在建模前需先分析建模的可行性和預期效果，對原始數(shù)據(jù)序列x(0)進行級比檢驗，序列級比的計算公式為：

(18)

1.4.2 模型精度檢驗

灰色Verhulst模型構(gòu)建完成后，需進行模型精度的檢驗，以檢驗模型的效果。一般有三種檢驗方法：殘差檢驗、方差比檢驗、小誤差概率檢驗[14]。當三種檢驗全部通過時，表明模型的效果較好，才可以使用模型進行后續(xù)的預測；否則，將要對模型進行殘差修正，直到三種檢驗均通過為止。以下為各檢驗的評判準則。

(19)

(20)

原始序列x(0)標準差:

(21)

殘差序列δ(0)標準差:

(22)

(23)

另有小誤差概率P反映模型擬合值在合格殘差范圍內(nèi)的個數(shù)，能體現(xiàn)擬合值奇異點出現(xiàn)概率，小誤差概率越大，說明模型擬合效果越好。其計算公式為：

小誤差概率:

(24)

一般情況下要保證C值足夠小，即便原始數(shù)據(jù)的規(guī)律不明顯，但也可以保證預測值的誤差范圍不會很大。方差比C和小誤差概率P的取值范圍與模型對應精度如表1所示。

表1 方差比C和小誤差概率P的取值范圍

2 結(jié)果與分析

2.1 咸陽市灌溉水利用系數(shù)變化趨勢

根據(jù)咸陽市水利局統(tǒng)計資料，咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數(shù)變化趨勢見圖1。利用前文所述灰色Verhulst模型及其改進模型分別對咸陽市灌溉水利用系數(shù)進行預測，最后選取擬合效果較好的模型所計算的結(jié)果作為預測值。

圖1 咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數(shù)

2.2 咸陽市灌溉水利用系數(shù)擬合與預測結(jié)果

2.2.1 灰色Verhulst模型計算結(jié)果

基于灰色Verhulst模型的原理，結(jié)合圖1中變化趨勢，又因節(jié)水技術(shù)現(xiàn)狀及國家政策調(diào)控，可判定2015年—2020年間乃至今后幾年咸陽市灌溉水利用系數(shù)呈“S型”規(guī)律增長，因此令原始數(shù)據(jù)序列為x(1)=(0.576 80,0.577 00,0.578 40,0.581 40,0.582 20,0.583 10)，再根據(jù)式(18)判定原始數(shù)據(jù)序列x(1)通過級比檢驗；原始數(shù)據(jù)序列的一階累減序列為x(0)=(0.000 20 , 0.001 40 , 0.003 00 ,0.000 80 ,0.000 90) ；其緊鄰均值生成序列z(1)=(0.576 90 , 0.577 70 , 0.579 90 , 0.581 80 ，0.582 65)，此時發(fā)展系數(shù)α取0.5。再根據(jù)式(7)—式(9)構(gòu)造矩陣Y和B：

k=1,…,5

(25)

由模型A的時間響應式式(25)計算得咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數(shù)擬合值依次為：0.576 80, 0.577 96, 0.579 18, 0.580 44, 0.581 75, 0.583 11；在此基礎(chǔ)上，取年份k=(6,7,8)代入式(25)則得咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數(shù)預測值分別為：0.584 53, 0.586 01, 0.587 55。

2.2.2 基于背景值和初值不同優(yōu)化組合的灰色Verhulst改進模型計算結(jié)果

根據(jù)前文提出的背景值和初值優(yōu)化原理，在咸陽市灌溉水利用系數(shù)灰色Verhulst模型基礎(chǔ)上優(yōu)化并構(gòu)建三種改進模型。

(1) 模型B：只優(yōu)化發(fā)展系數(shù)α，初值x(1)(1)取x(0)(1)。發(fā)展系數(shù)α是緊鄰值生成數(shù)z(1)(k)計算公式中重要參數(shù)，它的取值能極大影響灰色Verhulst模型擬合效果。發(fā)展系數(shù)α本是一無量綱的參數(shù)，但對于灌溉水利用系數(shù)預測研究，其能被賦予特殊的現(xiàn)實意義。由于灌溉水利用系數(shù)的測算和確定是存在人為調(diào)控因素的，而且在式(5)中是由x(1)對應z(1)(k)最終類推得到灰色Verhulst模型白化微分方程，結(jié)合z(1)(k)計算公式z(1)(k)=αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)可認為發(fā)展系數(shù)α能反映水平年對明年的影響大小，即本年度的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)狀況、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)計劃、水利規(guī)劃、技術(shù)水平、管理水平等對明年灌溉水利用系數(shù)的滯后影響。這種影響在小地域范圍、短期內(nèi)可視為維持在相近水平，故建立只優(yōu)化發(fā)展系數(shù)α的模型B能一定程度上模擬人為因素對于灌溉水利用系數(shù)的影響。

k=1,…,5

(26)

由模型B的時間響應式(26)計算得咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數(shù)擬合值依次為：0.576 80,0.577 97,0.579 19,0.580 45,0.581 76, 0.583 12；在此基礎(chǔ)上，取年份k=(6,7,8)代入式(26)則得咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數(shù)預測值分別為：0.584 52, 0.585 98, 0.587 50。

(2) 模型C：只優(yōu)化初值x(1)(1)，發(fā)展系數(shù)α取0.5。初值x(1)(1)是灰色Verhulst模型的時間響應式式(6)的初值，也是灰色Verhulst模型白化微分方程的初始條件，它的取值同樣影響著灰色Verhulst模型的擬合效果。初值x(1)(1)不同于發(fā)展系數(shù)α，其本身就有實際意義，可認為其是短期農(nóng)業(yè)生產(chǎn)計劃和水利規(guī)劃的出發(fā)點和參考點，亦是預測研究和定性分析的基準，故建立只優(yōu)化初值x(1)(1)的模型，使模型對于灌溉水利用系數(shù)的預測基準與政府實際的短期規(guī)劃基準更加吻合。

k=1,…,5

(27)

由模型C的時間響應式(27)計算得咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數(shù)擬合值依次為：0.576 77,0.577 93,0.579 14,0.580 40, 0.581 71, 0.583 08；在此基礎(chǔ)上，取年份k=(6,7,8)代入式(27)則得咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數(shù)預測值分別為：0.584 49, 0.585 97, 0.587 51。

(3) 模型D：同時優(yōu)化發(fā)展系數(shù)α和初值x(1)(1)。灌溉水利用系數(shù)預測研究不僅受人為因素影響，還會因不同的參考基準而導致預測的變化趨勢不同。故同時令發(fā)展系數(shù)α和初值x(1)(1)為優(yōu)化設(shè)計變量，以式(17)為目標函數(shù)，利用MATLAB編程求解得:F=-0.930 622,x(1)(1)=0.576 71,

k=1,…,5

(28)

由模型D的時間響應式(28)計算得咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數(shù)擬合值依次為：0.576 71,0.577 92,0.579 16,0.580 42,0.581 71, 0.583 03；在此基礎(chǔ)上，取年份k=(6,7,8)代入式(28)則得咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數(shù)預測值分別為：0.584 37, 0.585 74, 0.58714。

通過MATLAB編程模擬分別解得四種模型的擬合值和預測值，歸納所有計算結(jié)果并繪制咸陽市灌溉水利用系數(shù)變化趨勢及不同模型結(jié)果比較圖，如圖2所示。

圖2 咸陽市2015年—2023年灌溉水利用系數(shù)變化趨勢及不同模型結(jié)果比較

2.3 咸陽市灌溉水利用系數(shù)預測模型精度檢驗結(jié)果

本文2.2節(jié)中已通過MATLAB編程分別計算獲得模型A、模型B、模型C、模型D對應的咸陽市2015年—2020年灌溉水利用系數(shù)擬合值，再由式(19)計算得出所有擬合值對應的相對殘差。整理匯總原始數(shù)據(jù)、擬合值及相對殘差，如表2所示。

表2 咸陽市2015-2020年灌溉水利用系數(shù)不同模型的擬合值及相對殘差

分別對四種模型及其計算結(jié)果進行精度檢驗，如表3所示。

表3 不同模型精度檢驗參數(shù)表

從圖2和表3可以看出，灰色Verhulst模型及其三種改進模型均通過模型精度檢驗的指標，且對于咸陽市灌溉水利用系數(shù)預測研究的擬合模擬效果較好、精度較高，故采用灰色Verhulst模型及其三種改進模型對咸陽市灌溉水利用系數(shù)進行預測得到的預測值都是科學合理可靠的。鑒于咸陽市轄區(qū)面積、灌區(qū)數(shù)量和規(guī)模、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)結(jié)構(gòu)和規(guī)模及水資源狀況，可認為咸陽市在農(nóng)業(yè)占生產(chǎn)總值較大的城市中具有代表性，故對于與咸陽市情況相似城市的灌溉水利用系數(shù)預測研究，灰色Verhulst模型及其三種改進模型同樣適用。

2.4 咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數(shù)預測

盡管表3精度檢驗的結(jié)果表明灰色Verhulst模型及其三種改進模型的誤差極其接近，但從可決系數(shù)R2上看，四種模型對于咸陽市灌溉水利用系數(shù)變化趨勢的擬合效果還是存在細微差距的。模型D中2015年—2020年灌溉水利用系數(shù)擬合值與實際值相關(guān)性如圖3所示。

圖3 模型D中2015年—2020年灌溉水利用系數(shù)擬合值與實際值相關(guān)性

由圖3結(jié)合圖2可得，模型D擬合值與實際值表現(xiàn)出較好的一致性，擬合效果相對更好，其偏保守的變化趨勢與未來數(shù)年農(nóng)田灌溉在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)計劃和水利規(guī)劃中的定位是相適應的，而這也符合模型可決系數(shù)R2越大，越接近1，則擬合模擬效果越好的設(shè)定。再者在保持灌溉水利用系數(shù)處于穩(wěn)定平緩增速的前提下，模型D偏保守的預測結(jié)果有利于年度農(nóng)業(yè)生產(chǎn)工作和用水規(guī)劃的制定實施，能相對減少工作任務和降低難度，最終有利于順利實現(xiàn)預定目標從而促進長期戰(zhàn)略達成。所以灰色Verhulst改進模型D較原始灰色Verhulst模型A在咸陽市灌溉水利用系數(shù)的預測中更具實際意義。另外，需要注意到灰色Verhulst模型對于短期預測效果頗佳，對于長期預測的合理性和可靠程度有待提高。預測序列越長系統(tǒng)內(nèi)灰度也越高，老數(shù)據(jù)漸漸失去意義，所以一般用灰色Verhulst模型進行3 a到5 a的短期預測[14]。

綜上，選擇模型D對咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數(shù)進行預測，預測結(jié)果可為咸陽市農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、水資源的利用以及灌區(qū)管理提供參考。最終預測結(jié)果如表4所示。

表4 咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數(shù)預測值

本文在咸陽市灌溉水利用系數(shù)近年變化趨勢的基礎(chǔ)上，通過灰色Verhulst改進模型D對2021年—2023年進行模擬預測得到的結(jié)果也基本反映這種趨勢。表4顯示咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數(shù)預測的增長率分別是0.217 67%、0.234 72%、0.239 12%，說明未來三年咸陽市灌溉水利用系數(shù)仍保持穩(wěn)定平緩的增長態(tài)勢，這也符合咸陽市歷年灌溉水利用系數(shù)的基本情況?？梢灶A見，盡管未來數(shù)年農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和水利建設(shè)依然會受新冠疫情影響，但在國家和政府全方位統(tǒng)籌布局并對農(nóng)業(yè)、水利設(shè)施持續(xù)大力度改造的背景下，咸陽市灌溉水利用系數(shù)有望在“十四五”末突破0.59，最終趨于飽和進入瓶頸期等待新一輪節(jié)水技術(shù)突破。

3 結(jié) 論

(1) 本文在分析灰色系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合灌溉水利用系數(shù)的性質(zhì)及咸陽市灌溉水利用系數(shù)的變化趨勢，選定灰色Verhulst模型進行預測研究。為提高預測精度和可靠性，通過優(yōu)化發(fā)展系數(shù)α和初值x(1)(1)的不同組合形成三種改進模型，最終根據(jù)精度檢驗結(jié)果和理論分析，采用同時優(yōu)化發(fā)展系數(shù)α和初值x(1)(1)的模型D預測結(jié)果作為咸陽市2021年—2023年灌溉水利用系數(shù)預測值，分別為：0.584 37, 0.585 74, 0.587 14。

(2) 由于咸陽市灌溉用水利用系數(shù)開始進行測算分析時段相對較短，年度統(tǒng)計資料時間序列不長，因此灰色Verhulst改進模型預測的灌溉水利用系數(shù)結(jié)果并不能嚴格代表長期的變化趨勢，需要進一步考慮多因素的影響建立多元模型來探究各因素與灌溉水利用系數(shù)的關(guān)系，從而得到更科學合理的預測結(jié)果。