張文珠,王佐勛,潘錦浩,宋 聰

齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院)信息與自動(dòng)化學(xué)院,山東 濟(jì)南 250353

自1963年Lorenz首次發(fā)現(xiàn)混沌系統(tǒng)以來(lái),具有重要研究?jī)r(jià)值的熱門方向是混沌系統(tǒng)及其現(xiàn)象[1]。狀態(tài)變量屬于復(fù)空間的復(fù)混沌系統(tǒng)是另一種重要的混沌動(dòng)力系統(tǒng)[2-3]。它在定理和應(yīng)用上得到了廣泛的研究,成為近年來(lái)的熱門話題之一。特別是由于復(fù)混沌系統(tǒng)是由實(shí)數(shù)和虛數(shù)組成的,它比實(shí)混沌系統(tǒng)具有更好的加密效果[4-5]。由于復(fù)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為比實(shí)混沌系統(tǒng)更為復(fù)雜,因此研究此類系統(tǒng)的控制問(wèn)題非常困難。

傳統(tǒng)的線性反饋控制器雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,物理上易于實(shí)現(xiàn),但也存在過(guò)分依賴控制反饋增益值的問(wèn)題,極大地限制了系統(tǒng)初始值設(shè)定的自由度[6-8]。目前,大多數(shù)研究人員采用以下方法：首先,通過(guò)分離復(fù)狀態(tài)變量的實(shí)部和虛部,將復(fù)混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為其等價(jià)的實(shí)混沌系統(tǒng),然后為被控制的實(shí)混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器,最后根據(jù)復(fù)混沌與其等價(jià)實(shí)混沌系統(tǒng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,得到復(fù)混沌系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)控制器,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)這類復(fù)混沌系統(tǒng)的控制問(wèn)題[9-10]。但是,這種方法也存在一些問(wèn)題：一方面,第一步缺乏系統(tǒng)的方法,即對(duì)于特定的復(fù)混沌系統(tǒng),如何找到系統(tǒng)的方法將復(fù)混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為與其等價(jià)的實(shí)混沌系統(tǒng),不僅具有重要的理論意義,而且具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值[11-12]；另一方面,前人設(shè)計(jì)的控制器大多是復(fù)雜[13-15]；因此,它們很難在實(shí)際情況中應(yīng)用[16-18]。關(guān)于求解非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題,物理學(xué)上也有控制器可供選擇,動(dòng)態(tài)增益反饋控制器為就是其中之一[19]。

本文的主要貢獻(xiàn)是利用動(dòng)態(tài)反饋控制方法為復(fù)4D超混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了幾個(gè)物理控制器。與以往的研究成果相比,這種控制器將更為簡(jiǎn)單,并可以實(shí)現(xiàn)復(fù)4D超混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定和完全同步。最后通過(guò)Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬,模擬結(jié)果驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性和有效性。

1 理論準(zhǔn)備

考慮如下混沌系統(tǒng)：

其中,x∈n是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T是連續(xù)光滑的向量函數(shù)并且f(0)=0。

設(shè)系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng),則相應(yīng)的受控從系統(tǒng)為：

其中,y∈n是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,f(y)=(f1(y),f2(y),…,fn(y))T是連續(xù)光滑的向量函數(shù),B∈n×r是常數(shù)矩陣且r≥1,u是待設(shè)計(jì)的控制器。

令e=y-x,則可以得到誤差系統(tǒng)如下所示：

其中,e∈n是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,B和u已經(jīng)在(2)中給出。

2 問(wèn)題描述

一個(gè)復(fù)4D超混沌系統(tǒng),系統(tǒng)中的每個(gè)方程都有一個(gè)三項(xiàng)叉積,表示為

令m=x1+ix2,n=x3+ix4,p=x5,q=x6,則系統(tǒng)(4)可以轉(zhuǎn)化為以下等價(jià)的實(shí)系統(tǒng)

其中,x∈6是系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

設(shè)系統(tǒng)(5)為主系統(tǒng),則相應(yīng)的受控從系統(tǒng)為：

其中,y∈6是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,u是待設(shè)計(jì)的控制器,B被設(shè)計(jì)為

3 主要結(jié)果

在本節(jié)中,我們通過(guò)動(dòng)態(tài)反饋增益的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)復(fù)4D超混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定和同步問(wèn)題。

定理3.1 考慮系統(tǒng)(6),如果被設(shè)計(jì)的控制器u是

u=k1(t)BTy,

(7)

其中

說(shuō)明系統(tǒng)(6)實(shí)現(xiàn)了鎮(zhèn)定。

證明：令x3=x4=x5=0,則相應(yīng)的三維子系統(tǒng)為

是漸進(jìn)穩(wěn)定的。因此,(f(y),B)是可控的,這就完成了證明。

定理3.2考慮主系統(tǒng)(5)和從系統(tǒng)(6),如果被設(shè)計(jì)的控制器u是

u=k1(t)BTe,

(10)

其中e=y-x,

說(shuō)明主系統(tǒng)(5)和從系統(tǒng)(6)實(shí)現(xiàn)了完全同步。

證明：令e=y-x,則誤差系統(tǒng)為

其中e∈6且

其中：

G5(x,e)=(y1y3y6-x1x3x6)+(y2y4y6-x2x4x6)-ce5,

(14)

G6(x,e)=(y1y3y5-x1x3x5)+(y2y4y5-x2x4x5)-de6,

(15)

顯然,如果e3=e4=e5=0,且a=20,b=10,c=1,b=2,則相應(yīng)的三維誤差系統(tǒng)為

是漸進(jìn)穩(wěn)定的。因此,(G(x,e),B)是可控的,這就完成了證明。

4 數(shù)值仿真

受控復(fù)4D超混沌系統(tǒng)的初始值為x(0)=[1,1,2,2,3,3,-1],動(dòng)態(tài)反饋增益k(t)的初始值k(0)=-1,仿真結(jié)果如下圖所示。從圖1和圖2中可以看出復(fù)4D超混沌系統(tǒng)的每個(gè)狀態(tài)變量是漸進(jìn)穩(wěn)定的,圖3表明動(dòng)態(tài)反饋增益k(t)收斂到一個(gè)合適的常數(shù)。

圖2 狀態(tài)變量x4、x5、x6漸進(jìn)穩(wěn)定

圖3 動(dòng)態(tài)反饋增益收斂到一個(gè)合適的常數(shù)

主系統(tǒng)的初始值x(0)=[-1,-2,3,2,-1,2],從系統(tǒng)的初始值y(0)=[3,2,-1,-2,3,-2],動(dòng)態(tài)增益反饋k(t)的初始值k(0)=-1。仿真結(jié)果如下圖所示。從圖4和圖5中可以看出控制器被激活時(shí)的誤差系統(tǒng),表明已經(jīng)穩(wěn)定,這意味著復(fù)4D超混沌系統(tǒng)中完全同步已經(jīng)實(shí)現(xiàn)。圖6和圖7顯示了控制器啟動(dòng)時(shí)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化,主系統(tǒng)和從系統(tǒng)的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)了完全同步,圖8表明動(dòng)態(tài)反饋增益k(t)收斂到一個(gè)負(fù)常數(shù)。

圖4 誤差系統(tǒng)e1、e2、e3漸進(jìn)穩(wěn)定

圖5 誤差系統(tǒng)e4、e5、e6漸進(jìn)穩(wěn)定

圖6 主系統(tǒng)x1、x2、x3和從系統(tǒng)y1、y2、y3的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)了完全同步

圖7 主系統(tǒng)x4、x5、x6和從系統(tǒng)y4、y5、y6的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)了完全同步

圖8 動(dòng)態(tài)反饋增益收斂到一個(gè)合適的負(fù)常數(shù)

5 結(jié) 論

本文研究了通過(guò)動(dòng)態(tài)增益反饋控制的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)復(fù)4D超混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定和同步問(wèn)題。首先,通過(guò)分離復(fù)變量的實(shí)部和虛部,將復(fù)4D超混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的六維實(shí)系統(tǒng)。然后,設(shè)計(jì)兩個(gè)簡(jiǎn)單的控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)復(fù)4D超混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定和同步問(wèn)題。最后,通過(guò)Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性和有效性。本文提出的研究方法也可以應(yīng)用于其他混沌或超混沌系統(tǒng)。