高鵬，萬磊，徐鈺斐，陳國防，張子洋

哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

0 引 言

海洋石油是地球上最豐富的自然資源之一，目前，其開發(fā)已從水深300 m 擴(kuò)展至水深3 000 m的深海區(qū)，與之相應(yīng)的海洋石油勘探也逐漸向深海發(fā)展。海底節(jié)點(diǎn)[1]（ocean bottom node， OBN）地震數(shù)據(jù)采集技術(shù)是目前石油勘探最主要的手段之一。所謂OBN，即將地震檢波傳感器集群布放到海底，其可獨(dú)立采集、記錄海底數(shù)據(jù)。然而，大部分的OBN 產(chǎn)品無自主運(yùn)動能力，主要通過水下遙控機(jī)器人（remote operated vehicle，ROV）逐個布放回收，其組網(wǎng)精度、回收效率均較低，難以滿足地震勘測應(yīng)用的大規(guī)模組網(wǎng)布放。

為解決這一問題，一種搭載地震檢波裝置的底棲式水下航行器概念被提出[2]。底棲式水下航行器將自主水下航行器（AUV）與地震檢波技術(shù)進(jìn)行了結(jié)合，是一種新型的海洋石油勘測設(shè)備。底棲式AUV 運(yùn)動至海底目標(biāo)位置后，可長期坐底采集海底地震數(shù)據(jù)，在作業(yè)完成后再上浮至指定海域，由母船統(tǒng)一打撈回收。

底棲式AUV 在坐底運(yùn)動的過程中不可避免地會受到海底未知海流的干擾，而這將影響AUV的坐底位置，進(jìn)而影響其海底勘探性能。因此，研究未知海洋環(huán)境下以及不確定性影響下的AUV點(diǎn)鎮(zhèn)定控制及跟蹤控制就顯得尤為重要。

近年來，已有不少先進(jìn)的控制方法被應(yīng)用到了AUV 的運(yùn)動控制系統(tǒng)中，包括反饋線性化控制、自適應(yīng)控制、滑?？刂芠3-4]和反步控制等。其中，反步控制通過反向設(shè)計(jì)虛擬控制函數(shù)，可以使控制器的設(shè)計(jì)過程系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，因而被廣泛應(yīng)用于多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動控制中[5]。然而，傳統(tǒng)的反步控制方法存在2 個固有的弊端：其一是魯棒性較差，常見的解決方案是將其與其他魯棒控制方法相結(jié)合，例如自適應(yīng)控制、滑?？刂频萚6]；其二，即所謂“復(fù)雜性爆炸”問題，主要由虛擬控制的微分所引起，解決這一弊端的常用方法是加入非線性濾波器或是指令濾波器等[7]。

對AUV 控制系統(tǒng)而言，通常希望系統(tǒng)狀態(tài)能在短時間內(nèi)收斂。然而，傳統(tǒng)的反步控制器是漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)狀態(tài)的平衡時間難以確定。終端滑?？刂芠8]是保證系統(tǒng)在有限時間內(nèi)鎮(zhèn)定的有效方法，即系統(tǒng)狀態(tài)在有限的時間內(nèi)收斂至平衡狀態(tài)。然而，有限時間穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂時間依賴于初始狀態(tài)，并有可能隨著初始狀態(tài)的增加而趨于無窮大。對底棲式AUV 而言，其點(diǎn)鎮(zhèn)定控制的初始狀態(tài)不可預(yù)測，故系統(tǒng)的收斂時間可能較長，這也直接影響了有限時間控制方法的應(yīng)用。2015 年， Muralidharan 等[9]提出了固定時間穩(wěn)定性，可以證明系統(tǒng)的收斂時間一致最終有界，且與初始狀態(tài)無關(guān)。因此，可以通過反步法設(shè)計(jì)一種固定時間控制方案，以使控制系統(tǒng)在固定的時間內(nèi)收斂。

此外，出于對自身重量以及節(jié)約成本方面的考慮，底棲式AUV 并未配備速度傳感器，上述提及的基于完全狀態(tài)反饋的控制方法很難保證優(yōu)異的控制性能。而且，AUV 在水下運(yùn)動時，經(jīng)常會受到外部干擾以及不確定性因素的影響，若不考慮這些因素，控制系統(tǒng)有可能會不穩(wěn)定甚至是發(fā)散。干擾觀測器是解決上述問題的有效方法之一，其不需要知道系統(tǒng)模型的精確信息，僅通過已知狀態(tài)量即可以實(shí)現(xiàn)對未知擾動或者其他未知狀態(tài)的精確估計(jì)[10]。

基于以上分析，本文擬提出一種基于固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（fixed-time extended state observer,FTESO）的固定時間反步控制方案，以實(shí)現(xiàn)對底棲式AUV 在未知環(huán)境擾動以及不確定性因素影響下的點(diǎn)鎮(zhèn)定控制。首先，設(shè)計(jì)一種固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，用于估計(jì)不可測量的速度以及集中擾動，且估計(jì)誤差在固定時間內(nèi)收斂；然后，基于該觀測器，使用反步法設(shè)計(jì)固定時間反步AUV點(diǎn)鎮(zhèn)定控制器，使AUV 的位姿誤差可以在固定的時間內(nèi)收斂至0；最后，引入非線性一階濾波器，解決反步控制器固有的“復(fù)雜性爆炸”問題。

1 符號和預(yù)備知識

1.1 符 號

1）對于給定的向量， ||·||表示歐幾里得L2 范數(shù)， |·|表示標(biāo)量的絕對值。

2）對 于 給 定 向 量x=[x1,x2,···,xn]T，sigr(x)=[|x1|rsign(x1),|x2|rsign(x2),···,|xn|rsign(xn)]，其 中r為任意實(shí)數(shù)， s ign(·)為符號函數(shù)，具體定義如下：

3） max(a,b)表示實(shí)數(shù)a與b之間的較大值，min(a,b)表示實(shí)數(shù)a與b之間的較小值。

1.2 預(yù)備知識

對于一類非線性系統(tǒng)x(t)[11]，x=[x1,x2,···,xn]T，滿足

式中：f(·)為系統(tǒng)表達(dá)式；Rn為n維向量。

定義 1[10]：若存在一個函數(shù)V(x)滿足以下3 個條件，則非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x= 0 是全局漸近穩(wěn)定（globally asymptotic static, GAS）的，即

1）V(x)≤0,V(0)=0；

2）V(x)≥0(x≠0)；

引理 1[12]：若非線性系統(tǒng)（式（2））滿足

式中，α,β,l1,l2均為正常數(shù)，滿足0 ＜α ＜1, β ＞1的條件，則非線性系統(tǒng)是固定時間收斂的，且收斂時間T滿足

此外，若存在小的擾動 ζ，使非線性系統(tǒng)（式（2））滿足

式中， ρ為一個小的正實(shí)數(shù)向量，則非線性系統(tǒng)是半全局固定時間一致最終有界（semi-global fixedtime uniform ultimate boundedness, SGFTUUB）[13]且可以在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)收斂，且收斂時間T滿足

引理 2[14]：若存在正實(shí)數(shù)s，滿足s≤sm+sn（ 0 ＜m＜1，n＞1） ，則存在任意正實(shí)數(shù)k1,k2,k3＞0，滿足

引理 3[15]：若 存 在 正 實(shí)數(shù) ξ1,ξ2,···,ξn≥0且指數(shù)h＞0，則有

2 底棲式AUV 模型建立以及控制問題描述

2.1 底棲式AUV 模型建立

底棲式AUV 的模型如圖1 所示，其中E-ξnζ和O-xyz分別為大地坐標(biāo)系和隨體坐標(biāo)系。六自由度的AUV 運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)公式表述如下：

圖1 底棲式AUV 示意圖Fig. 1 Schematic diagram of benthic AUV

式中：η = [ξ,n, ζ,φ, θ, ψ]T，為AUV 的六自由度位姿信息，其中ξ，n，ζ 分別為AUV 的縱蕩、橫蕩和垂蕩，φ，θ，ψ 分別為橫搖角、縱搖角和艏搖角；υ =[u,v,w,p,q,r]T，為AUV 的六自由度速度和角速度信息，其中u，v，w分別為AUV 的縱蕩速度、橫蕩速度和垂蕩速度，p，q，r分別為橫搖角速度、縱搖角速度和艏搖角速度；R(η)∈R6×6，為從隨體坐標(biāo)系向大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；M∈R6×6，為慣性矩陣；C(υ)∈R6×6,D(υ)∈R6×6，分別為科氏向心力矩陣和流體阻尼力矩矩陣，G(η)∈R6×1，為重力和浮力產(chǎn)生的恢復(fù)力（力矩）向量；τ ∈R6×1， τd∈R6×1，分別為AUV 的控制力（力矩）向量及外界干擾力（力矩）向量，其中控制力與力矩均由推進(jìn)器作用產(chǎn)生。

底棲式AUV 裝配了雙主推、雙垂推、雙側(cè)推共6 個推進(jìn)器，通過推進(jìn)器的共同作用來實(shí)現(xiàn)對6 個自由度的運(yùn)動控制。因此，本文所描述的點(diǎn)鎮(zhèn)定控制是在多推進(jìn)器作用下的全驅(qū)動控制。

2.2 控制問題描述

假設(shè)1：

1） 目標(biāo)的期望位姿 ηd有界且為二階可導(dǎo)的。

2）C(υ),D(υ)為未建模的矩陣。

3） AUV 所受的未知環(huán)境力有界，即 ||τd||≤ε，其中 ε為一個很小的正常數(shù)。

4） AUV 的速度 υ不可測。

出于節(jié)約成本以及對自身重量的考慮，底棲式AUV 并未裝載速度傳感器，其目標(biāo)位姿為常數(shù)，在海底附近運(yùn)動時受到的未知干擾相對較小，因此，假設(shè)1 成立。

本文的控制目標(biāo)如下：在滿足上述假設(shè)的條件下，設(shè)計(jì)一種點(diǎn)鎮(zhèn)定控制器，以使底棲式AUV的最終位姿 η能夠在固定的時間T內(nèi)鎮(zhèn)定于期望位姿 ηd處。公式如下：

3 底棲式AUV 反步點(diǎn)鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)將設(shè)計(jì)一種FTESO 的固定時間反步點(diǎn)鎮(zhèn)定控制器。首先，將式（9）所示的AUV 系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為適用于反步法的嚴(yán)格反饋形式。然后，設(shè)計(jì)一種弱抖振固定時間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器（weakchattering fixed-time extended state observer,WCFTESO），并基于觀測值進(jìn)行固定時間動態(tài)面反步控制器的設(shè)計(jì)。同時，引入一階濾波器，以避免可能出現(xiàn)的“復(fù)雜性爆炸”問題。反步控制器的控制框架如圖2 所示。

圖2 反步控制器框圖Fig. 2 Block diagram of backstepping controller

3.1 模型變換

為了更好地設(shè)計(jì)控制器，引入了新的變量w=R(η)υ并代入式（9），可以得到新的AUV 系統(tǒng)表達(dá)式：

假設(shè)2：存在一個常數(shù)c， 使得 ||||≤c成立。

由于海底環(huán)境下的擾動明顯小于近水面，且擾動的變化不大，因此，假設(shè)2 成立。

3.2 WCFTESO 觀測器的設(shè)計(jì)

本文在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的WCFTESO 觀測器只需輸入AUV 的位姿信息即可實(shí)現(xiàn)對不可測量的速度以及未知集中擾動的觀測。WCFTESO 的表達(dá)式如下：

與文獻(xiàn)[17]不同的是，本文設(shè)計(jì)的WCFTESO使用了自適應(yīng)項(xiàng) ?來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號函數(shù)，避免了其值在正負(fù)之間來回振蕩，從而可以有效解決觀測誤差的抖振問題。

證明：定義觀測器的觀測誤差為

對式(13)進(jìn)行求導(dǎo)，有

首先，證明下式的固定時間收斂性。

根據(jù)文獻(xiàn)[17]中的定理2，可知式(15)可以在固定時間T1內(nèi)收斂。

將觀測值替代實(shí)際值并代入式(11)，根據(jù)定理1，可以得出新的系統(tǒng)狀態(tài)表達(dá)式如下：

3.3 基于WCFTESO 的固定時間動態(tài)面反步控制器設(shè)計(jì)

首先，定義2 個滑模面s1和s2。

根據(jù)引理1，可知e1,e2均在固定時間內(nèi)收斂。因此，只需設(shè)計(jì)控制器，使滑模面一階導(dǎo)為0 即可。

該方案的優(yōu)點(diǎn)為：高架橋橋墩的樁基礎(chǔ)直接作用于土層，高架橋沉降與車站沉降互不影響，工程可實(shí)施性較強(qiáng)，風(fēng)險小。

然后，分別對上面2 個滑模面求導(dǎo)，并結(jié)合式（17），可得

式中，wc為虛擬控制輸入。

根據(jù)式（21），可設(shè)虛擬控制律如下：

式中， λ11， λ12為正常數(shù)。

為了避免對虛擬變量直接微分引起的復(fù)雜計(jì)算量，引入了一個新的狀態(tài)變量wd，wd表 示wc在時間常數(shù) σ下通過一階低通濾波器后的濾波值[18]，其表達(dá)式如下：

根據(jù)式（21）～式（23），設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制輸入為

式中， λ21， λ22為正常數(shù)。

定理2：對于式（17），在滿足假設(shè)1 和假設(shè)2的前提下，設(shè)計(jì)上述虛擬控制律及反步控制器，并結(jié)合非線性一階低通濾波器以及WCFTESO 觀測器，可以保證閉環(huán)系統(tǒng)是半全局固定時間一致最終有界的。

證明過程如下所示。選取李雅普諾夫函數(shù)V為

式中，z=wd-wc，為濾波誤差。

z的一階導(dǎo)可以表示如下：

根據(jù)虛擬控制律（式（22））以及假設(shè)1，可知虛擬控制律wc的一階導(dǎo)有界，即存在一個正常數(shù)向量δ，使其滿足≤δ。

將式（25）關(guān)于時間t求導(dǎo)，并結(jié)合式（21）、式（24）和式（26），有

根據(jù)楊氏不等式 2xy≤x2+y2，式（27）可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

根據(jù)引理2，有

當(dāng)控制器的參數(shù)符合 時，令

λ11,λ12＞1/2,1/σ ＞1

將式（30）代入式（29），有

根據(jù)引理3，有

當(dāng)選擇合適的控制參數(shù)，并確保M，N，P皆為正時，根據(jù)引理1，可知式（25）是半全局固定時間一致最終有界的，且收斂時間TV滿足

因此，可以證明在本文設(shè)計(jì)的控制策略下，式（17）可以在固定時間內(nèi)收斂，且收斂時間T滿足

式中，T0為WCFTESO 的收斂時間。

4 仿真分析

本節(jié)將通過仿真分析，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)點(diǎn)鎮(zhèn)定控制器的跟蹤效果，仿真選用的底棲式AUV 模型參數(shù)參見文獻(xiàn)[19]。

仿真中， WCFTESO 的初始值為

WCFTESO 的參數(shù)以及本文所提控制器的參數(shù)選取為

底棲式AUV 的目標(biāo)位姿 ηd以及受到的環(huán)境干擾 τd為

4.1 觀測器仿真

對觀測器進(jìn)行仿真，驗(yàn)證觀測器的觀測效果。仿真結(jié)果如圖3～圖5 所示。

圖3 位姿觀測誤差曲線Fig. 3 Curves of position and posture observation error

圖4 速度觀測誤差曲線Fig. 4 Curves of velocity observation error

圖5 集中擾動下的觀測誤差曲線Fig. 5 Curves of observation error with lumped disturbance

由圖可以看出，本文使用的WCFTESO 觀測器在不需要速度信息的情況下，僅依靠位姿信息即可在非常短的時間內(nèi)精確觀測出AUV 的位姿、速度以及集中擾動，且收斂時間在4 s 以內(nèi)。因此，可以將觀測值代替實(shí)際值進(jìn)行點(diǎn)鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)。

4.2 點(diǎn)鎮(zhèn)定控制跟蹤性能對比仿真

不難發(fā)現(xiàn)，將式（24）中 α, β的值設(shè)為1 時，固定時間控制器就變?yōu)閭鹘y(tǒng)的漸近控制器。為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)固定時間控制器的控制性能，本節(jié)將固定時間控制方案與漸近控制方案進(jìn)行了對比仿真，結(jié)果如圖6～圖10 所示。

圖6 縱向跟蹤誤差響應(yīng)曲線Fig. 6 Respose curves of longitudinal tracking error

圖7 橫向跟蹤誤差響應(yīng)曲線Fig. 7 Respose curves of transverse tracking error

圖8 垂向跟蹤誤差響應(yīng)曲線Fig. 8 Respose curves of vertical tracking error

圖9 俯仰角跟蹤誤差響應(yīng)曲線Fig. 9 Respose curves of pitch tracking error

圖10 艏向角跟蹤誤差響應(yīng)曲線Fig. 10 Respose curves of heading tracking error

由圖6～圖10 所示的AUV 位姿誤差響應(yīng)曲線可以看出，兩種控制方案均能在一定的時間內(nèi)收斂至穩(wěn)定狀態(tài)，且位姿誤差收斂至0 后均能保持較好的穩(wěn)定性，但兩者在收斂速度上存在明顯的差異。雖然漸近控制器在初始階段的收斂速度快于固定時間控制器，但固定控制器最終收斂于0的時間在各個自由度均優(yōu)于漸近控制器。其中，由圖8 和圖9 中曲線可以看出出現(xiàn)了一些波動現(xiàn)象，這是由多自由度控制時的耦合效應(yīng)所產(chǎn)生，并不會影響控制系統(tǒng)整體的收斂性。

綜上所述，本文所設(shè)計(jì)的固定時間反步點(diǎn)鎮(zhèn)定控制器的控制性能要優(yōu)于傳統(tǒng)漸近控制器。

5 結(jié) 語

本文設(shè)計(jì)了一種基于固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的固定時間反步點(diǎn)鎮(zhèn)定控制器，解決了受未知干擾以及不確定性影響的底棲式AUV 的點(diǎn)鎮(zhèn)定控制問題。仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的控制器在不需要AUV 的精確模型以及部分系統(tǒng)狀態(tài)的前提下即可實(shí)現(xiàn)對其余狀態(tài)變量及集中擾動的觀測，并且觀測誤差會在固定時間內(nèi)收斂，這對AUV在部分傳感器未裝配或者故障后的精確控制將起到至關(guān)重要的作用。同時，與傳統(tǒng)的漸近控制策略相比，本文所提固定時間反步控制方法的收斂時間更短，這對以海洋石油勘探為背景的底棲式AUV 而言，也是不可或缺的。