方 園，郭永彬，黎 亮，章定國

（南京理工大學理學院，江蘇南京 210094）

引 言

日本學者Koizumi［1］于1987年首先提出FGM的概念，與多層纖維增強復合材料相比，FGM 制成的結構在一個表面上具有平滑、連續(xù)的特性變化的特點，消除了不連續(xù)的應力和位移分布的影響。FGM 是為了適應高溫暴露條件所設計的，因此在航空航天領域被廣泛應用。仝國軍等［2］研究了非均勻溫度場下變物性二維功能梯度材料板的瞬態(tài)熱應力分布問題。Wattanasakulpon 等［3］研究了FGM 制成的彈性端約束梁的線性和非線性振動問題。Tong 等［4］研究了熱磁耦合作用下懸臂FGM 納米管的穩(wěn)定性。Li 等［5］考慮了材料特性沿軸向梯度分布旋轉楔形FGM 梁的剛柔耦合動力學特性。

蔡國平等［6］對中心剛體?柔性懸臂梁系統(tǒng)的動力特性進行了研究。關于柔性空間組件的結構振動控制已經有大量的研究。常用的振動控制方法包括被動控制、主動控制和主動?被動混合控制。覆蓋有普通約束層和黏彈性材料制成阻尼層的結構稱為被動約束層阻尼結構，結構振動時，通過黏彈性材料（Viscoelastic Material，VEM）的剪切變形引起的能量耗散實現振動抑制［7］。被動控制具有成本低，結構簡單，可靠性高的特點，在振動的高頻段具有良好的阻尼性能，但其缺乏控制的靈活性，并且結構阻尼的增加受到限制。壓電材料作為一種智能材料，可以同時用作傳感器和執(zhí)行器。為了實現智能減振，設計了覆蓋有壓電層的主動抑振結構。Ghasemi?Nejhad 等［8］提出了帶有嵌入式壓電傳感器和執(zhí)行器的有源復合梁，這種主動控制具有更大的靈活性，并且在低振動頻帶中具有更好的控制效果。但是在應用壓電智能結構時需要消耗外部能量，而且控制系統(tǒng)的設計取決于柔性機械臂的動態(tài)模型的精確性，因此純被動控制或主動控制的使用可能無法滿足工程應用的需求。結合兩種方法優(yōu)點的主?被動混合控制將是首選，該方法將被動約束層阻尼結構頂層的普通約束層替換為有源壓電層來實現主被動混合約束裝置的概念［9］。Li?ao 等［10］研究了VEM 參數如何影響主被動混合約束裝置中的被動阻尼能力和主動作用。Hau 等［11］使用有限元方法對部分覆蓋主被動混合約束梁進行建模。Vasques 等［12］討論了反饋和正位反饋控制器單獨使用時的缺點以及混合控制器的優(yōu)點。Ku?mar 等［13?14］使用邊端元來解決黏彈性層在一定程度上降低主動控制傳遞速率的問題。Li 等［15］在傳統(tǒng)增強型主被動混合約束（Enhanced Active Con?strained Layer Damping，EACLD）梁模型的基礎上，提出了一種帶有部分覆蓋EACLD 的旋轉梁的動力學模型。Baz 等［16］開展了基于主動約束層阻尼技術的旋轉梁振動抑制的實驗研究，搭建了可旋轉的實驗平臺，將ACLD 梁與測量系統(tǒng)和控制系統(tǒng)置于旋轉平臺，通過集電環(huán)將信號傳輸至計算機，實現了壓電主動約束層的傳感和作動功能。

本文建立了具有溫度依賴性的EACLD 夾層FGM 梁的剛柔耦合動力模型，并考慮FGM 材料特性沿軸向梯度分布。與主要討論智能復合結構的溫度影響振動特性的文獻研究不同［14，17?18］，本文將重點討論不同參數（貼片位置、覆蓋率、旋轉半徑以及模型的寬度）對溫度場中含EACLD 貼片的旋轉FGM梁動力響應的影響。

1 幾何建模

1.1 基本假設

設壓電約束層的厚度為h1，長度為lc，密度為ρ1，彈性模量為E1，橫截面積為A1，慣性矩為I1；黏彈性材料層厚度為h2，密度為ρ2，彈性模量為E2，橫截面積為A2，慣性矩為I2；基梁層的厚度為h3，長度為l，寬度為b，橫截面積為A3，慣性矩為I3；R為剛性輪轂的半徑，輪轂由外部扭矩驅動繞y軸旋轉，其旋轉慣量為Jh；keq和mp分別表示邊端元體的質量和剛度。其余參數隨溫度變化的情況在下文有說明。在后面的推導過程中，下標1，2，3 分別表示與壓電層、黏彈性層以及基梁層相關的量。

在建模過程中，本文的復合梁滿足以下幾個假設：

1.功能梯度梁為歐拉?伯努利梁，復合梁仍舊可以看作歐拉?伯努利梁。

2.功能梯度梁由金屬和陶瓷構成，功能梯度梁的楊氏模量以及溫度膨脹系數都有溫度依賴性。

3.功能梯度梁分布服從冪律定律，且材料特性沿軸向呈梯度分布。

4.施加的電壓沿壓電層厚度方向上極化。

5.復合梁各層軸向變形包括梁的橫向變形引起的軸向收縮，并且所有子層梁的橫向變形是相等的。

1.2 運動幾何關系及變形場描述

含部分覆蓋EACLD 的功能梯度旋轉梁模型如圖1所示，與傳統(tǒng)模型的主要區(qū)別在于，其基梁是由FGM 制成的具有溫度依賴性的梁，且材料特性沿軸向梯度分布。圖2描述了EACLD 梁的變形關系，u1表示壓電層沿x軸方向的軸向變形，u2表示黏彈性層沿x軸方向的軸向變形，u3表示基梁層沿x軸方向的軸向變形，各層的橫向變形量由w來表示，θ表示梁的旋轉角度。

圖1 含部分覆蓋EACLD 的功能梯度旋轉梁模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of functionally graded rotating beam model with partial coverage EACLD

圖2 EACLD 梁的變形關系Fig.2 Deformation relationship of EACLD beam

uA和uB表示VEM 層上表面和下表面距z軸的距離，VEM 層繞y軸的旋轉角度，其中：

其中：

黏彈性層的軸向變形量可以表示為：

其中：

平面坐標系o?xz中復合梁上任意點的位置矢量可以表示為：

式中wi表示復合梁各層沿中性層方向的軸向變形量；wc表示由梁的橫向彎曲引起的軸向縮短變形量，可以寫為二階耦合項［17］：

根據假設模態(tài)法，第i層沿中性軸方向的軸向變形和橫向變形可以表示為：

式中?ui(x)和?w(x)分別為與梁的軸向和橫向振動有關的模態(tài)函數；qui(t) (i=1，3)和qw(t)為結構的廣義坐標。結構各層沿x方向的軸向變形可以表示為：

其中：

設x1和x2分別為左邊端元和右邊端元距基梁左端的距離：

1.3 功能梯度材料概述

FGM 梁的材料特性根據冪律定律可表示為：

式中x為FGM 梁沿軸向的坐標；P(x)表示功能梯度梁材料特性沿軸向的變化情況，可以用楊氏模量E3(x)、密度ρ3(x)、熱傳導率K3(x)以及熱膨脹系數α3(x)來代替。下標c 和m 分別表示陶瓷和金屬材料；Vc代表陶瓷的體積分數；N表示體積分數指數。陶瓷的體積分數隨無量綱長度變化的情況如圖3所示。

圖3 體積分數隨無量綱長度變化的情況Fig.3 The volume fraction varies with the dimensionless length

假定溫度傳導僅發(fā)生在復合梁的長度方向，那么復合層沿長度方向的溫度分布情況可以通過求解一維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程得到：

根據溫度連續(xù)性和邊界條件（12）～（14），可以得出以下方程式［18］：

其中：

FGM 材料的楊氏模量E3(x)和溫度膨脹系數α3(x)等參數的溫度依賴性可以表示為［18］：

式中P0，P-1，P1，P2和P3為描述材料特性的相關系數。

黏彈性材料也具有溫度依賴性，本文選用的黏彈性材料為DYAD606，其剪切模量和損耗因子隨溫度的變化情況與文獻［17］一致。

2 系統(tǒng)動力學方程

對于繞定軸轉動的EACLD 柔性懸臂梁，其動能可以表示為：

式中Joh為中心剛體的轉動慣量。

其應變可以表示為：

式中U1，U2，U3以及U4分別表示壓電層、黏彈性層、基梁層以及等效彈簧的勢能。由壓電材料的一維本構方程，壓電層的勢能可表示為：

黏彈性層的剪切應變能可表示為：

基梁層的勢能可表示為：

等效彈簧的等效勢能為：

對于閉環(huán)系統(tǒng)，壓電層在外加電場的作用下可產生壓電力以及力矩。其中壓電力和壓電力矩所做功可以表示為：

式中d31表示壓電應變常數；?c表示壓電致動器電壓；Kp和Kd分別為比例控制增益和微分控制增益；?s為傳感器獲得的感應電壓，可以表示為：

式中C=8.854×10-12Ask3th1表示傳感器電容，其中，As表示傳感器表面積，k3t表示介電常數；Dd=h12；k31表示力電耦合因子；g31表示壓電電壓常數。

與廣義壓電力相關的廣義力可以寫作：

驅動力矩所做功可表示為：

廣義外力可表示為：

式中Fτ表示驅動力矩。

與溫度相關的廣義外力可表示為：

式中T1=Tx=x1；α1和α3分別表示壓電層和功能梯度材料的熱膨脹系數；T0為左端參考溫度，T0=273.15 K。

要對系統(tǒng)進行響應分析，令θ，qu1，qu3以及qw為廣義坐標，根據第二類拉格朗日方程：

將系統(tǒng)的動能和勢能代入拉格朗日方程，經過整理可以得到基于高階耦合建模理論的系統(tǒng)動力學方程：

文獻［19］中已經詳細推導了材料梯度分布沿梁厚度方向變化的旋轉EACLD?FGM 梁系統(tǒng)動力學模型，式（39）左邊的各廣義質量矩陣和右邊的廣義力矩陣表達形式可在文獻［19］的基礎上進行修改，僅需在相應矩陣元素中考慮軸向分布FGM 梁結構參數的影響，本文不再列出。

3 數值仿真結果與分析

旋轉EACLD 復合梁系統(tǒng)的動力學特性和控制效果容易受到自身條件的影響，接下來將討論不同控制參數對系統(tǒng)響應的影響。取EACLD 梁附加質量點質量為0.005 kg，等效彈簧剛度為107N m，比例控制系數Kp和微分控制系數Kd分別為1 和?0.005，在不做特殊說明的情況下默認覆蓋率為1/3(x1=0.1 m，x2=x1+0.1 m)，參考溫度T0=273.15 K，溫度差變化范圍為0～100 K。EACLD 梁的基本物理參數如表1［17］所示，FGM 材料特性隨溫度變化相關參數如表2［18］所示。

表1 EACLD 梁的相關物理參數表Tab.1 Relevant physical parameters of the EACLD beam

表2 金屬和陶瓷材料參數隨溫度變化情況Tab.2 Variations of metal and ceramic material parameters with temperature

圖4比較了EACLD 旋轉梁在FGM 材料特性沿長度方向和厚度方向梯度分布兩種情況下的熱致振動情況，此時x1=0.1 m，x2=x1+0.1 m，兩種梯度分布均采用相同冪律表達式。當FGM 材料特性沿梁厚度方向分布時，由于材料分布的不對稱性，結構末端橫向變形逐漸趨于一非零定值；而當FGM 材料特性沿梁長度方向分布時，材料分布在厚度方向具有對稱性，結構末端橫向變形逐漸趨于零，其振動平衡位置并未偏離梁的中性軸。

圖5比較了x1=0，x2=x1+0.1 m 時，不同溫度對結構末端橫向變形的影響，在結構末端施加溫度載荷，ΔT表示結構兩端的溫度差。通過對比發(fā)現，當溫度差為0 K 時，經過一段時間的振動，結構末端位移逐漸趨于0，而當溫度差為50 K 時，結構經過一段時間的振蕩后，逐漸趨于一定值，由此可見，溫度對結構振動的影響不容忽視。圖6比較了x1=0.05 m，x2=x1+0.1 m 時，不同溫度對結構末端橫向變形的影響，得出的結果與圖5相似。但當溫度差為50 K 時，結構經過一段時間的振蕩后，逐漸趨于一負值，而且相比下當x1=0.05 m，x2=x1+0.1 m 時結構振動的衰減速度更快。由此可見，EACLD 貼片位置靠右的結構振動控制效果相對更好。

圖5 不同溫度對結構末端橫向變形的影響（x1=0，x2=x1+0.1 m）Fig.5 The influence of different temperatures on the trans?verse deformation of the structure end（x1= 0，x2=x1+0.1 m）

圖6 不同溫度對結構末端橫向變形的影響（x1=0.05 m，x2=x1+0.1 m）Fig.6 The influence of different temperatures on the lateral deformation of the structure end（x1=0.05 m，x2=x1+0.1 m）

結構旋轉半徑對結構末端變形的影響如圖7所示，其中圖7（a）表示對橫向位移的影響，圖7（b）表示對軸向位移的影響。從圖7中可以看出，當R=0 m 的時候結構末端變形量最小，當R=0.05 m 時結構末端變形量最大，但是旋轉半徑對結構末端軸向變形的影響是比較小的。

圖7 旋轉半徑對結構末端變形的影響Fig.7 The influence of the radius of rotation on the deforma?tion of the structure end

圖8比較了結構覆蓋率對結構末端變形的影響，其中圖8（a）表示對橫向位移的影響，圖8（b）表示對軸向位移的影響。從圖8中可以得知，當結構覆蓋率為1 3 時振動衰減最快，當覆蓋率為3 3 時結構振幅最大且衰減速度最慢，由此可知，對結構覆蓋率進行優(yōu)化同樣是非常有必要的。

圖8 結構覆蓋率對結構末端變形的影響Fig.8 The influence of structure coverage on the deforma?tion of structure end

圖9比較了部分覆蓋結構不同寬度對結構末端變形的影響，其中圖9（a）表示對橫向位移的影響，圖9（b）表示對軸向位移的影響。從圖9中可見，寬度較大時結構末端的振幅較小，因此寬度對結構的振動也是有一定影響的。圖10 比較了全覆蓋結構的不同寬度對結構末端變形的影響，其中圖10（a）表示對橫向位移的影響，圖10（b）表示對軸向位移的影響。從圖10 中可以看出，結構寬度對末端變形的影響非常大。對比圖9和圖10 發(fā)現，對于不同覆蓋率的EACLD 梁，寬度對結構末端變形的影響也不相同，因此需要根據結構的實際構型對寬度進行優(yōu)化，以達到有效抑振的目的。

圖9 不同寬度對結構末端變形的影響（部分覆蓋）Fig.9 The influence of different widths on the deformation of the structure end（partial coverage）

圖10 不同寬度對結構末端變形的影響（全覆蓋）Fig.10 The influence of different widths on the deformation of the structure end（full coverage）

4 結 論

本文針對空間機械臂在溫度場中容易發(fā)生振動的問題，以覆蓋增強主動約束層阻尼的旋轉FGM梁為研究對象，對簡化的剛柔耦合動力學模型進行動力學建模與數值分析，得出如下結論：

（1）與材料梯度沿厚度方向按冪律分布相比，沿軸向梯度分布的FGM 梁的熱致振動平衡位置不會偏離梁的中性軸。

（2）比較了貼片在不同位置/覆蓋率的情況下結構振動的幅度，發(fā)現貼片位置/覆蓋率對結構振動影響比較大，因此可優(yōu)化貼片位置/覆蓋率來減小結構振動幅度。

（3）分析了不同的旋轉半徑下的結構算例，發(fā)現旋轉半徑對結構末端軸向變形影響非常小，幾乎可以忽略不計。

（4）討論了不同寬度對結構末端變形的影響，發(fā)現寬度對結構變形影響比較大，且對于不同覆蓋率的結構，寬度對變形的影響也不同，因此在進行結構設計時可對寬度進行優(yōu)化。