榮 譽 豆天賜 張興超 張 磊 趙景宇

1.燕山大學(xué)車輛與能源學(xué)院，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)河北省特種運載裝備重點實驗室，秦皇島，0660043.河北科技師范學(xué)院機電工程學(xué)院,秦皇島，066004

0 引言

隨著電子產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，科技的發(fā)展日新月異，計算機類(computer)、通信類(communication)和消費類電子(consumer electronics)三類電子產(chǎn)品(簡稱“3C產(chǎn)品”)更新?lián)Q代頻繁。由于目前3C產(chǎn)品的裝配工作大都由人工來完成，為了提高效率、降低成本，各個廠商都購買和使用現(xiàn)有的高速輕載機器人協(xié)助完成每個產(chǎn)品的裝配任務(wù)，但是由于裝配空間以及流水線的空間十分有限，導(dǎo)致人機協(xié)作的風(fēng)險大大增加。目前，3C 裝配領(lǐng)域一般采用選擇順應(yīng)性裝配機器手臂(selective compliance assembly robot arm, SCARA)，這類機器人作為自動化生產(chǎn)線的輔助裝備，其平面自由度僅有兩個，無法完成對工作區(qū)域障礙的回避，所以其協(xié)同作業(yè)的安全性較低[1]，于是將平面4R冗余度機器人引入3C產(chǎn)品裝配的工作中，因為4R冗余度機器人擁有更多的自由度，具備更高的靈活性，能夠有效降低人機協(xié)作風(fēng)險，此外，還能從根源上解決能源消耗不可控的問題進(jìn)而對其進(jìn)行優(yōu)化。

對于冗余度機器人，驅(qū)動布置是一個關(guān)乎能量消耗的問題，機器人的伺服電機通常處于關(guān)節(jié) 處，導(dǎo)致機器人的關(guān)節(jié)負(fù)載增大。隨著機器人的發(fā)展，繩索驅(qū)動也逐漸進(jìn)入大眾視野，但是現(xiàn)階段的繩索驅(qū)動帶負(fù)載能力弱，傳動效率低，應(yīng)對電機實時速度方向變化的能力差。牟宗高[2]為了減小臂桿部分的質(zhì)量，機械臂采用電機后置和繩索牽引的驅(qū)動方式。繩索驅(qū)動在軟體機器人行業(yè)也備受關(guān)注，如JEONG等[3]采用線驅(qū)動實現(xiàn)各種控制算法的手康復(fù)運動可穿戴機器人；IN等[4]設(shè)計了輔助驅(qū)動器系統(tǒng)。

對于冗余度機器人，逆運動學(xué)求解比較困難，各國學(xué)者在冗余機械臂的逆運動學(xué)求解方面進(jìn)行了大量的研究，求解方法有很多，大致分為8大類：①迭代法。以工作空間密度函數(shù)為基礎(chǔ)的迭代算法[5]、模糊神經(jīng)推理法[6]、粒子群優(yōu)化求解[7]。②代數(shù)法。加權(quán)最小范數(shù)法[8]、梯度投影法[9]。③二次計算法[10]。④幾何法[11-12]。⑤運動流行法[13-14]。⑥幾何與數(shù)值迭代結(jié)合法[15-16]。⑦倍四元數(shù)法[17]。⑧退化自由度法[18]。上述方法均有優(yōu)缺點，例如：迭代法需要的算力很大，耗費時間長；幾何法具有求解快、精度高的優(yōu)點，但是通用性較差[19]。

冗余度機器人可以改變位姿，完成優(yōu)化的軌跡，以此達(dá)到最優(yōu)控制。ROUT等[20]提出了教與學(xué)優(yōu)化算法(teaching-learning-based optimization, TLBO)對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。HUANG等[21]選擇NSGA-Ⅱ算法對時間和平均沖擊目標(biāo)尋優(yōu)求解。沈悅等[22]采用加權(quán)系數(shù)法將時間和二次多項式雙目標(biāo)變?yōu)閱文繕?biāo)。SERRALHEIRO等[23]引入懲罰系數(shù)來建立時間和能耗的多目標(biāo)優(yōu)化。徐海黎等[24]采用彈性系數(shù)和加權(quán)系數(shù)法定義時間與能耗的目標(biāo)函數(shù)。MULIK[25]同時考慮時間、能耗和沖擊等五個指標(biāo)。施祥玲等[26]引入權(quán)重系數(shù)分配法建立時間、能耗和沖擊組成的總目標(biāo)模型。鄧乾旺等[27]提出應(yīng)用蜜蜂進(jìn)行型遺傳算法求解最優(yōu)能耗軌跡。

對于冗余度機器人，動力學(xué)建模是后續(xù)優(yōu)化的基礎(chǔ)，也是控制的前提。常見的動力學(xué)建模方法有：①牛頓-歐拉方法[28]；②拉格朗日方程法[29]；③凱恩方法[30]；④羅伯特-維登伯格方法[31]；⑤高斯最小約束原理方法[32]。其中，牛頓-歐拉方法和拉格朗日方程法使用更為廣泛。由于拉格朗日方程法對系統(tǒng)整體進(jìn)行動力學(xué)建模，更加簡單和方便，故本文采用拉格朗日方程法。

本文從提高整體性能方面出發(fā)，在結(jié)構(gòu)設(shè)計上受繩索驅(qū)動的啟發(fā)，提出了以同步帶為傳動方式的驅(qū)動集中布置的方案，此方案可使機器人關(guān)節(jié)負(fù)載降低，提高帶負(fù)載能力、傳動效率以及應(yīng)對實時速度方向變化的能力。本文在冗余度逆運動學(xué)求解的基礎(chǔ)上，基于加權(quán)M-P偽逆法提出了一種預(yù)設(shè)空間降維法，通過優(yōu)化項來確定運動學(xué)逆解從而得到路徑插值點所對應(yīng)的各個關(guān)節(jié)角度。此方法可有效地對負(fù)載大桿件進(jìn)行角度分配以及全局角度擺動幅度的調(diào)控。建立機器人動力學(xué)模型，得到各個關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩用于后續(xù)優(yōu)化處理，由前文可知，國內(nèi)外研究人員采用的各種優(yōu)化方法非常豐富，優(yōu)化目標(biāo)也都相對完善，但是針對總能量、總力矩和總時間的綜合優(yōu)化卻報道較少。隨著智能優(yōu)化算法的興起，粒子群算法脫穎而出，該算法因?qū)崿F(xiàn)容易、精度高、收斂快的優(yōu)點而被廣泛使用。隨著時間的縮短，以動能為指標(biāo)的能量消耗必然增加，總力矩也會增大，會造成性能不均衡，關(guān)節(jié)磨損加劇，縮短使用壽命。本文將總能量消耗最優(yōu)、總力矩最小和時間相對最短三個指標(biāo)通過加權(quán)系數(shù)整合為綜合指標(biāo)，以綜合指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法對時間進(jìn)行尋優(yōu)，最后通過仿真及樣機驗證來檢驗該算法的有效性。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計

傳統(tǒng)SCARA類機器人平面自由度僅有兩個，協(xié)同作業(yè)的安全性較低，而且此類機器人的驅(qū)動單元都布置在關(guān)節(jié)處，所以其高速運動時的轉(zhuǎn)動慣量偏大[33]。本文設(shè)計的平面冗余度機器人采用驅(qū)動集中后置布置的形式，各個關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動副連接。驅(qū)動動力通過同步帶和同步帶輪來完成傳輸。由于驅(qū)動集中后置布置，故各個關(guān)節(jié)的負(fù)載大大減小，減小了機器人在高速運動時的轉(zhuǎn)動慣量，進(jìn)一步提高了作業(yè)效率，并且能使整個系統(tǒng)更加平穩(wěn)，因本機器人擁有兩個冗余自由度，故其能夠更好地輔助人完成工作。機器人模型如圖1所示。

1.伺服電機 2.行星減速機 3.軸一 4.桿一 5.軸二 6.桿二 7.軸三 8.桿三 9.軸四 10.桿四 11.小帶輪 12.大帶輪 13.長同步帶 14.電機連接板 15.短同步帶 16.加強筋 17.墻板圖1 4R冗余機器人三維圖Fig.1 3D diagram of 4R redundant robot

2 冗余度機器人運動學(xué)建模

2.1 機器人運動學(xué)建模

本文采用齊次變換方法，該方法通用性極強，并且能夠?qū)⑦\動控制算法、動力學(xué)、矩陣運算及變換及幾何關(guān)系映射等聯(lián)系起來，方便理解和使用。

運動學(xué)分析主要包含兩個部分：運動學(xué)正解及運動學(xué)反解。正運動學(xué)求解是指已知機械臂的臂形參數(shù)以及各個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角度以此求取末端操作器的狀態(tài)變量，正運動學(xué)存在唯一解；運動學(xué)反解是指已知末端操作器的狀態(tài)變量，求取各個關(guān)節(jié)狀態(tài)，對于冗余度機械臂，逆解存在多組解，因此，需要一種特定的求解算法。

2.2 機器人D-H坐標(biāo)的建立

在笛卡兒坐標(biāo)系中根據(jù)D-H參數(shù)法對圖1所示機器人建立各連桿坐標(biāo)系，并設(shè)定各個連桿的參數(shù)。圖2所示為機械臂各個關(guān)節(jié)坐標(biāo)系定義，可以看出4個連桿相互之間的串聯(lián)關(guān)系以及坐標(biāo)系定義規(guī)則。平面4R冗余機器人的D-H參數(shù)見表1，其中，αi為連桿轉(zhuǎn)角；ai為連桿長度；di為連桿偏距；θi為關(guān)節(jié)角。

圖2 平面4R冗余機器人D-H坐標(biāo)系Fig.2 D-H coordinate system for planar 4R redundant robot

表1 4R冗余機器人D-H連桿參數(shù)

2.3 機器人正運動學(xué)建模

已知機器人的幾何參數(shù)及關(guān)節(jié)角矢量，需求解末端執(zhí)行器相對于固定基座的位姿，即齊次變換問題。采用坐標(biāo)變換方法表示從坐標(biāo)系{0}到坐標(biāo)系{i}的變換過程，連桿變換矩陣公式為

rot(X,αi)trans(X,αi)rot(Z,θi)trans(Z,di)=

(1)

(2)

nx=oy=cijkmny=-ox=sijkm

nz=oz=ax=ay=pz=0az=1

cijkm=cos(θi+θj+θk+θm)

sijkm=sin(θi+θj+θk+θm)

由式(2)可知，冗余度機器人末端位置為

(3)

2.4 冗余機器人逆運動學(xué)分析

冗余度機器人末端的速度即操作速度為

(4)

關(guān)節(jié)空間下的速度為

(5)

用雅可比矩陣將關(guān)節(jié)速度與操作器末端的笛卡兒速度聯(lián)系起來，則有以下關(guān)系：

(6)

圖3 冗余度機器人雅可比矩陣J的子空間示意圖Fig.3 Redundancy robot jacobian matrix J subspace schematic diagram

(7)

則有

(8)

因此，可得

(9)

本文通過對瞬時關(guān)節(jié)最優(yōu)速度求解，將末端實際位置與現(xiàn)在位置進(jìn)行對比，然后將位置差作為實際位置和現(xiàn)在位置的步長，通過雅可比偽逆與每個步長距離相乘得出角速度，將此角速度與時間插值相乘得到關(guān)節(jié)角增量，再與原有角度相加從而得到關(guān)節(jié)角度，以下為具體分析方法。

(10)

針對該冗余度機器人雅可比矩陣J(q)為2×4長方陣，其逆矩陣不存在，所以引入雅可比矩陣的偽逆矩陣來進(jìn)行求解。偽逆具體形式為

J(q)+=J(q)T(J(q)J(q)T)-1

(11)

冗余自由度機器人速度方面的解已經(jīng)有了很大的突破，其中具有加權(quán)M-P逆解具有各關(guān)節(jié)同步運動、無關(guān)節(jié)自運動的特點[34]，本文采用梯度投影法和此方法相結(jié)合，對于四軸串聯(lián)機器人系統(tǒng)，以總擺動幅度最小作為原則，為各個軸分配轉(zhuǎn)動權(quán)值，從而建立權(quán)值向量：

W=[W1W2W3W4]T

(12)

故此時的偽逆具體形式為

J(q)+=W-1J(q)T(J(q)W-1J(q)T)-1

(13)

由此得到該冗余度機器人關(guān)節(jié)速度：

(14)

當(dāng)J(q)+滿秩時，滿足以下條件：

(15)

表2 加權(quán)矩陣主對角元素與角度幅度關(guān)系

由于冗余度機器人的逆運動學(xué)的解具有非唯一性，故以總擺動幅度最小作為優(yōu)化項來選擇冗余度機器人逆解。在表2中發(fā)現(xiàn)[1 100 1 1]這一組加權(quán)值更加符合條件，本文通過算法實現(xiàn)以及大量實驗驗證，即使此時100加大到10 000或減小一部分對結(jié)果影響也不大，為了方便計算和記錄，故選取[1 100 1 1]這組策略，可以看到關(guān)節(jié)2的轉(zhuǎn)動速度很小，幾乎不動，而關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)3和關(guān)節(jié)4對末端速度貢獻(xiàn)更大，相當(dāng)于四桿變?nèi)龡U。此為預(yù)設(shè)空間降維法的核心部分。此方法將在之后機械臂關(guān)節(jié)故障下重新建模與容錯控制研究方面起到重大作用。

2.5 基于三次多項式的軌跡生成

在軌跡規(guī)劃過程中，主要是求出多項式系數(shù)，隨著多項式次數(shù)增加，計算量也會隨之增大，要求我們根據(jù)不同的情況選取合適的多項式。在相對滿足規(guī)劃要求的情況下，選擇計算量相對小的多項式，可以提高控制反饋誤差，故本文采用三次多項式插值規(guī)劃軌跡。

在規(guī)劃軌跡的過程中，需要知道以下參數(shù)：①始末兩點的角度；②始末兩點的速度。 插值點初始速度為零，末端速度也為零，其他點歸為起始點和終止點，但是速度不為零，利用前一段軌跡終端速度和加速度作為下一段軌跡起始速度和加速度，可以得到由三次多項式構(gòu)成的軌跡。θ0為起始點關(guān)節(jié)角，θf為終止點關(guān)節(jié)角。設(shè)三次多項式函數(shù)表達(dá)式為

θ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3

(16)

起始和終止點位置約束為

(17)

起始速度約束為

(18)

速度和加速度用三次多項式可分別表示為

(19)

解方程組可得三次多項式的系數(shù)分別為

(20)

由此可知，三次多項式和軌跡終止時間存在函數(shù)關(guān)系，因此，可以找到一個時間，使得這一段軌跡內(nèi)綜合性能最優(yōu)。

3 冗余度機器人動力學(xué)建模及優(yōu)化

3.1 拉格朗日動力學(xué)建模

拉格朗日方程是以能量守恒為基礎(chǔ)的研究機械臂動力學(xué)的一種常用方法。運用拉格朗日法建立動力學(xué)方程的核心是確定系統(tǒng)的動能關(guān)系，拉格朗日函數(shù)用L表示，其函數(shù)表達(dá)式如下：

(21)

以機械臂的第i個連桿為例，其動能是由連桿質(zhì)心的線速度和角速度共同作用產(chǎn)生的，用Ki表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(22)

其中，mi為連桿i的質(zhì)量；vci為該連桿的線速度；ωi為該連桿的角速度；Ii為該連桿的慣性量。則機械臂的總動能等于組成該機械臂n個連桿動能之和：

(23)

對于機械臂的第i個連桿，其勢能用Pi表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

Pi=-migTPci

(24)

其中，g表示該連桿的重力加速度矢量；Pci表示該連桿質(zhì)心在坐標(biāo)系中的位置矢量。則機械臂的總勢能就等于組成它的n個連桿的勢能之和：

(25)

機械臂的拉格朗日方程表達(dá)式為

(26)

其中，τi表示第i關(guān)節(jié)的驅(qū)動力或者力矩，i=1,2,…,n,由于此處關(guān)節(jié)是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，故τi表示第i關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩。以機械臂的第i連桿為例，運用拉格朗日方程進(jìn)行推導(dǎo)，根據(jù)機械臂的功能關(guān)系可以很明確地建立其動力學(xué)方程，在推導(dǎo)的過程中可以完全忽略連桿之間不做功的約束反力及摩擦力等，思路清晰，并且簡化了推導(dǎo)過程，所以，相對于牛頓-歐拉方程和凱恩方程，拉格朗日方程對建立機械臂的動力學(xué)方程更具有優(yōu)勢。

3.2 冗余機器人動力學(xué)方程的建立

根據(jù)上文運用拉格朗日方程建立機械臂動力學(xué)推導(dǎo)過程，總結(jié)為以下步驟：①通過上述分析運動學(xué)所建立的坐標(biāo)系，確定獨立的廣義關(guān)節(jié)變量qi，i=1,2,…,n;②確定機械臂相應(yīng)關(guān)節(jié)上的廣義力Fi;③求解機械臂各個關(guān)節(jié)的動能和勢能，構(gòu)建拉格朗日函數(shù)；④代入拉格朗日方程，建立機械臂動力學(xué)方程。

針對平面冗余4R機器人，應(yīng)用上述由D-H建立的連桿坐標(biāo)，可以得到各個連桿質(zhì)心在基坐標(biāo)系中的表示：

(27)

由于該機械臂的作用平面在同一水平面上，故此時的重力勢能為0。通過上述給定的拉格朗日函數(shù)公式，L定義為機械系統(tǒng)的總動能K減去總勢能P，即

L=K-P

(28)

則可得到系統(tǒng)的動力學(xué)表達(dá)式：

(29)

由于勢能與速度是無關(guān)的，故動力學(xué)方程可寫成

(30)

最后整理動力學(xué)方程如下：

(31)

4 多目標(biāo)綜合性能優(yōu)化

上文利用三次多項式構(gòu)造了空間機械臂的關(guān)節(jié)軌跡，下面建立多目標(biāo)規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型。

4.1 目標(biāo)函數(shù)

本文研究平面冗余度機器人的4個關(guān)節(jié)，由于三次多項式的系數(shù)和結(jié)束時間有關(guān)，故定義如下3個優(yōu)化目標(biāo)：

(32)

(33)

S3=tf

(34)

式中，tf為機械臂總時間；τ為機械臂力矩；EK為機械臂能量。

以上3個優(yōu)化目標(biāo)中，S1為關(guān)節(jié)的總能量，可以作為衡量機械臂關(guān)節(jié)的能量消耗的指標(biāo)；S2為關(guān)節(jié)的總力矩，可以作為衡量關(guān)節(jié)磨損的指標(biāo)；S3為機械臂運動時間，可以作為衡量機械臂運動效率的指標(biāo)。

設(shè)定運動學(xué)、動力學(xué)和時間約束條件，將機器人多目標(biāo)綜合最優(yōu)問題表達(dá)如下：

(35)

4.2 基于粒子群算法的多目標(biāo)優(yōu)化問題求解

單一指標(biāo)的優(yōu)化已經(jīng)難以滿足現(xiàn)代工業(yè)的生產(chǎn)需求，所以多指標(biāo)綜合性能優(yōu)化擁有很大的研究價值。由式(35)可知，若想達(dá)到綜合最優(yōu)，其中唯一的變量為結(jié)束時間，各指標(biāo)相互對抗，S1、S2越小越好，而S3(時間)則是在一定范圍內(nèi)，若其偏小，速度和加速度會偏大，機械臂運動不平穩(wěn)，反之則效率不高。采用加權(quán)系數(shù)將多指標(biāo)變?yōu)榫C合指標(biāo)，以綜合指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)然后采用粒子群優(yōu)化算法對時間進(jìn)行優(yōu)化。粒子群優(yōu)化算法的計算步驟如下：

(1)隨機初始化n個粒子的位置和速度，計算每個粒子對應(yīng)的適應(yīng)度，確定個體最優(yōu)值p_best和種群最優(yōu)值g_best，令k←0。

(2)判斷收斂條件是否滿足，若滿足，則停止搜索，輸出最優(yōu)結(jié)果X*=g_best；否則，轉(zhuǎn)到下一步。

(3)更新所有粒子的位置及速度，并計算各粒子的適應(yīng)度，更新p_best、g_best，令k←k+1。

(4)轉(zhuǎn)到第(2)步，直至收斂。

4.3 粒子群算法與其他算法的對比

對5種不同類型的函數(shù)分別用遺傳算法、免疫算法和粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，如圖4所示?？梢钥吹?，遺傳算法顯得有些吃力，免疫算法和粒子群算法旗鼓相當(dāng)，但是觀察圖4b可以明顯發(fā)現(xiàn)，免疫算法的迭代次數(shù)居然超出了遺傳算法的迭代次數(shù)，說明該算法針對不同函數(shù)時，其穩(wěn)定性也不盡相同,而粒子群優(yōu)化算法的迭代次數(shù)始終保持在較低水平。

(a)函數(shù)一

(b)函數(shù)二

(c)函數(shù)三

(d)函數(shù)四

(e)函數(shù)五圖4 不同函數(shù)下不同算法性能對比Fig.4 Performance comparison of different algorithms under different functions

各算法針對不同函數(shù)的平均迭代次數(shù)見表3。由上述數(shù)據(jù)分析可知，粒子群算法更加有效且收斂速度更快，穩(wěn)定性更好，故本文采用粒子群優(yōu)化方法對函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

表3 各算法針對不同函數(shù)的平均迭代次數(shù)

4.4 粒子群算法的應(yīng)用

本文對多目標(biāo)進(jìn)行綜合優(yōu)化，將每個目標(biāo)與權(quán)重系數(shù)相乘再相加得到的值作為目標(biāo)函數(shù)，將結(jié)束時間作為變量，滿足目標(biāo)函數(shù)值最小的結(jié)束時間即為本文尋優(yōu)的值。

按照粒子群算法對初始值進(jìn)行5次優(yōu)化，a、b、c分別為加權(quán)參數(shù)，其作用是保證三個指標(biāo)相對協(xié)調(diào)即歸一化處理，并且進(jìn)行加權(quán)起到了強調(diào)某項指標(biāo)在整體中的重要程度，本文取a=b=1/107，c=8。優(yōu)化結(jié)果保留4位小數(shù)，具體優(yōu)化結(jié)果見表4。

表4 粒子群優(yōu)化結(jié)果

5 實驗驗證

本文基于綜合性能最優(yōu)，結(jié)合實踐考慮，選擇最優(yōu)的數(shù)據(jù)進(jìn)行實驗驗證，在軌跡規(guī)劃中對路徑點進(jìn)行插值，然后點和點之間再進(jìn)行關(guān)節(jié)空間規(guī)劃，故只需求點和點之間最優(yōu)即可。

本實驗以直線為優(yōu)化軌跡，選擇總關(guān)節(jié)幅度相對較小的加權(quán)矩陣，通過逆解得到關(guān)節(jié)位置，進(jìn)而對該機械臂所完成時間進(jìn)行優(yōu)化。實驗樣機的搭建如圖5所示。

圖5 實驗樣機搭建Fig.5 Experimental prototype construction

以總幅度相對較小作為標(biāo)準(zhǔn)，圖6為跟蹤直線軌跡的機械臂形態(tài)圖。

圖6 冗余機器人狀態(tài)Fig.6 Redundant robot state diagram

機械臂狀態(tài)仿真如圖7所示，可知樣機的動作和仿真形一致，關(guān)節(jié)擺動角度總幅度相對較小，證明了本文提出的預(yù)設(shè)空間降維法是正確的。

圖7 冗余機器人狀態(tài)仿真Fig.7 Redundant robot state simulation diagram

圖8為優(yōu)化前后能量對比圖，可以明顯看出優(yōu)化前后峰值的變化。圖9為優(yōu)化前后總能量扇形對比圖，可以明顯看出優(yōu)化量占總能量的百分比。圖10為優(yōu)化前后力矩對比圖，可明顯看出優(yōu)化前后峰值的變化。圖11為優(yōu)化前后總力矩對比圖，可明顯看出優(yōu)化量占總能量的百分比。

圖8 優(yōu)化前后能量對比Fig.8 Comparison of energy before and after optimization

圖9 優(yōu)化前后總能量對比Fig.9 Comparison of total energy before and after optimization

圖10 優(yōu)化前后力矩對比Fig.10 Comparison of the torque before and after optimization

圖11 優(yōu)化前后總力矩對比Fig.11 Comparison of the total torque before and after optimization

圖12為整體性能優(yōu)化前后對比圖，可以看出整體性能優(yōu)化了1.9%。圖13為優(yōu)化前后各指標(biāo)對比圖，可以看出總能量優(yōu)化了17.65%，總力矩優(yōu)化了17.83%。

圖12 優(yōu)化前后總性能對比Fig.12 Total performance before and after optimization

圖13 優(yōu)化前后指標(biāo)對比Fig.13 Comparison of indexes before and after optimization

圖14所示為各關(guān)節(jié)優(yōu)化前后各角度與時間關(guān)系變化。圖15所示為各關(guān)節(jié)優(yōu)化前后各關(guān)節(jié)速度與時間關(guān)系變化。圖16所示為各關(guān)節(jié)優(yōu)化前后關(guān)節(jié)加速度與時間關(guān)系變化。圖17所示為各關(guān)節(jié)優(yōu)化前后力矩與時間關(guān)系變化。經(jīng)過計算機仿真和實物驗證，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化總能量S1、總力矩S2和總時間S3之后，機械臂的其他性能也有所提高。由圖14可知，優(yōu)化后的各個關(guān)節(jié)角度與時間的關(guān)系更加平緩，性能更加穩(wěn)定。由圖15 可知，優(yōu)化后的各個關(guān)節(jié)速度峰值降低，增加了協(xié)作的安全性。由圖16可知，優(yōu)化后各個關(guān)節(jié)加速度變化幅度更小。由圖17可知優(yōu)化后各個關(guān)節(jié)的力矩明顯降低，延長了電機的使用壽命。

6 結(jié)論

本文以平面冗余度機器人為研究對象，提出了驅(qū)動集中布置的方案，此方案提高了作業(yè)效率并且使工作時更加平穩(wěn)。對路徑點進(jìn)行插值，以總擺動幅度作為優(yōu)化項目，然后通過基于加權(quán)M-P偽逆的預(yù)設(shè)空間降維法進(jìn)行逆運動學(xué)求解。以總能量、總力矩及總時間為目標(biāo)函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化以綜合指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)對結(jié)束時間尋優(yōu)。通過實驗以及仿真驗證，得到優(yōu)化前后的對比圖，直觀表現(xiàn)出優(yōu)化前后的數(shù)值，在優(yōu)化綜合指標(biāo)的同時，機械臂其他性能也得以提高。由對比圖可知本文方法真實可行。

(a)桿一

(b)桿二

(c)桿三

(d)桿四圖14 優(yōu)化前后各桿角度隨時間變化對比Fig.14 Comparison of angle of four front and rear bars changing with time before and after optimize

(a)桿一

(b)桿二

(c)桿三

(d)桿四圖15 優(yōu)化前后各桿角速度隨時間變化對比Fig.15 Comparison of velocity of four front and rear rod corner changing with time before and after optimize

(a)桿一

(b)桿二

(c)桿三

(d)桿四圖16 優(yōu)化前后各桿角加速度隨時間變化對比Fig.16 Comparison of angular acceleration of four front and rear rods changing with time before and after optimize

(a)桿一

(b)桿二

(c)桿三

(d)桿四圖17 優(yōu)化前后各桿驅(qū)動力矩隨時間變化對比Fig.17 Comparison of driving torque of four front and rear rods changing with time before and after optimize