張 瑾 韓福柱

1.清華大學(xué)機(jī)械工程系，北京，1000842.清華大學(xué)精密/超精密制造裝備和控制北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京，100084

0 引言

電弧銑削加工利用電弧放電產(chǎn)生的高溫去除工件材料，其加工原理與電火花加工類似，但是加工過程中放電能量密度高，加工效率高，近年來廣泛應(yīng)用于鈦合金、高溫合金等難切削加工材料的加工。目前對(duì)于電弧銑削加工技術(shù)的研究主要集中在提出新的電弧銑削加工方法，研究新型加工電源，引入超聲、磁場等輔助加工方式，以提高電弧銑削加工的效率[1-4]，而對(duì)電弧銑削加工間隙控制的研究尚屬空白。目前電火花加工間隙的控制已經(jīng)有比較完善的研究成果，如檢測電火花加工間隙的平均電壓[5]、建立放電加工模型[6-7]，以及提出不同的電火花加工狀態(tài)預(yù)測方法等[8-9]，通過以上方法可識(shí)別電火花放電狀態(tài)，檢測電火花加工放電間隙，從而調(diào)整控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的電火花加工。在電弧銑削加工方面，對(duì)電弧加工間隙進(jìn)行控制是非常有必要的，電弧銑削加工間隙的變化直接影響電弧銑削加工的效率。由于電弧銑削加工過程中放電能量密度高，工件表面材料在短時(shí)間內(nèi)被大量蝕除，因而加工間隙的變化非常大，如果不對(duì)加工間隙進(jìn)行控制，會(huì)影響電弧銑削加工時(shí)的放電頻率，進(jìn)而影響加工效率，因此，需要通過伺服系統(tǒng)控制加工間隙來保證電弧銑削加工的高效、穩(wěn)定進(jìn)行。

電火花加工過程中一般存在五種放電狀態(tài)，分別是空載、火花、電弧、過渡電弧以及短路，而電弧銑削加工過程中，通常認(rèn)為只有空載、電弧和短路三種狀態(tài)，目前已有的電火花加工狀態(tài)的預(yù)測模型是基于電火花五種放電狀態(tài)建立的，無法用于電弧銑削加工的間隙控制。要實(shí)現(xiàn)對(duì)電弧銑削加工間隙的實(shí)時(shí)準(zhǔn)確控制，就需要建立一種能夠預(yù)測電弧銑削加工間隙的預(yù)測模型，通過該模型預(yù)測的加工間隙的變化來實(shí)現(xiàn)伺服系統(tǒng)對(duì)加工間隙的控制，從而提高電弧銑削加工的效率。本文根據(jù)系統(tǒng)辨識(shí)理論建立了電弧銑削加工系統(tǒng)的預(yù)測模型，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了預(yù)測模型的準(zhǔn)確性。

1 電弧銑削加工系統(tǒng)時(shí)域模型

電弧銑削加工過程中，放電間隙的大小受多種因素的影響，包括加工電壓、電極轉(zhuǎn)速、沖液壓力、銑削深度、磁場強(qiáng)度、進(jìn)給速度，以及電極和工件的材料、硬度等。理論上，當(dāng)加工參數(shù)確定后，加工電壓、電極轉(zhuǎn)速、沖液壓力、銑削深度、磁場強(qiáng)度及進(jìn)給速度等加工參數(shù)在加工過程中就不會(huì)發(fā)生改變，可以認(rèn)為加工參數(shù)是確定性的影響因素。在實(shí)際加工中，隨著放電加工過程的進(jìn)行，銑削深度和電極損耗的增加，會(huì)造成放電間隙變化、排屑情況變差等，這些外部因素對(duì)電弧銑削加工的影響會(huì)變大，可以認(rèn)為這部分因素是不確定性的影響因素。因此，在電弧銑削加工系統(tǒng)中，系統(tǒng)應(yīng)該包括確定性的部分、不確定性的(即干擾)部分影響因素，系統(tǒng)的示意圖見圖1。其中，y(t)是隨時(shí)間變化的間隙電壓值，u(t)是穩(wěn)態(tài)加工時(shí)的初始加工間隙電壓，e(t)是均值為0、方差為σ2的白噪聲。

圖1 電弧銑削加工系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of composite energy fieldrotating arc milling processing system

系統(tǒng)的輸出響應(yīng)可表示為

(1)

類似地，系統(tǒng)的噪聲響應(yīng)可表示為

(2)

其中，G(z-1)稱作系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，即系統(tǒng)模型；H(z-1)稱作噪聲脈沖傳遞函數(shù)，即噪聲模型；q-1是移位算子，定義式為

q-1y(t)=y(t-1)

(3)

結(jié)合式(1)和式(2)，電弧銑削加工系統(tǒng)的時(shí)域模型可以表示為

z(t)=G(q-1)u(t)+e(t)=G(q-1)u(t)+
H(q-1)v(t)

(4)

式中，u(t)、z(t)分別為系統(tǒng)輸入變量和輸出變量；v(t)為均值為0、方差為σ2的不相關(guān)隨機(jī)噪聲。

(5)

(a)輸入時(shí)域圖

(b)輸出時(shí)域圖圖2 輸入輸出時(shí)域分布Fig.2 Input and output time domain distribution plot

2 模型輸入信號(hào)的預(yù)處理

對(duì)采樣得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行譜密度分析，對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)的估計(jì)如下：

(6)

(a)輸入譜密度

(b)輸出譜密度圖3 輸入輸出譜密度Fig.3 Input and output spectral density plot

其中，WM(τ)為窗函數(shù)，M為窗函數(shù)的寬度，本文采用Hamming窗(M=30)，由此得到電弧銑削加工系統(tǒng)模型的輸入、輸出譜密度函數(shù)，如圖3所示。由系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)估計(jì)和噪聲的頻譜函數(shù)估計(jì)：

(7)

(8)

得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)波特圖和干擾的頻譜分布圖，如圖4和圖5所示。

(a)幅值

(b)相位圖4 傳遞函數(shù)波特圖Fig.4 Transfer function Bode plot

圖5 干擾頻譜圖Fig.5 Interference spectrogram plot

系統(tǒng)的輸入譜密度函數(shù)與干擾譜密度函數(shù)之間滿足[10]：

(10)

(a)過濾后輸入時(shí)域圖

(b)過濾后輸出時(shí)域圖圖6 過濾后輸入輸出時(shí)域圖Fig.6 Filtered input and output time domain plot

(a)輸入譜密度對(duì)比

(b)輸出譜密度對(duì)比圖7 過濾前后輸入輸出譜密度對(duì)比Fig.7 Comparison of input and output spectral density before and after filtering

3 放電間隙電壓預(yù)測模型

3.1 模型結(jié)構(gòu)和階次

經(jīng)過預(yù)處理后的系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)用于系統(tǒng)建模，對(duì)系統(tǒng)時(shí)域模型(式(4))和系統(tǒng)超前一步預(yù)報(bào)(式(5))進(jìn)行進(jìn)一步處理，分別得到系統(tǒng)模型和系統(tǒng)預(yù)測模型：

(11)

(12)

其中，B(q-1)、C(q-1)、D(q-1)、F(q-1)為延遲算子多項(xiàng)式；θ為系統(tǒng)模型參數(shù)。由式(11)和式(12)得到系統(tǒng)的預(yù)報(bào)誤差：

(13)

引入輔助變量：

υ(t,θ)=y(t)-ω(t,θ)

由此得到系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)：

φ(t,θ)=(u(t-1),…,u(t-nb),-ω(t-1,θ),…
-ω(t-nf,θ),ε(t-1,θ),…,ε(t-nc,θ),
-υ(t-1,θ),…,-υ(t-nd,θ))T

則系統(tǒng)的預(yù)測模型方程(式(12))可寫成：

(14)

θ=(b1,…bnb,c1,…cnc,d1,…dnd,f1,…fnf)T

系統(tǒng)的預(yù)報(bào)誤差可以進(jìn)一步表示為

ε(t,θ)=y(t)-φT(t,θ)θ

(15)

使用以下標(biāo)量值函數(shù)表示預(yù)測誤差的值：

(16)

根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，得到以下最小二乘估計(jì)：

(17)

根據(jù)以上分析，對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理后，用輸入、輸出數(shù)據(jù)的前一半作為模型參數(shù)辨識(shí)數(shù)據(jù)，后一半數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的預(yù)測能力，進(jìn)行系統(tǒng)預(yù)測模型的仿真、預(yù)測，確定電弧銑削加工間隙預(yù)測模型的最優(yōu)模型為

(18)

B(q-1)=0.003 164q-1

C(q-1)=1+q-1

D(q-1)=1-2.684q-1+2.541q-1-1.03q-1+0.1726q-1

F(q-1)=1-1.987q-1+0.9907q-1

用得到的最優(yōu)模型進(jìn)行放電間隙電壓擬合實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過程在MATLAB軟件中進(jìn)行，將間隙電壓預(yù)測模型得到的仿真值與加工過程中實(shí)時(shí)采集的放電間隙電壓值進(jìn)行擬合，0.5 s、1.5 s、2 s內(nèi)的仿真輸出值與放電間隙電壓值擬合結(jié)果如圖8所示。可以看出，隨著擬合時(shí)間的增加，擬合精度逐漸降低，說明模型輸出的仿真值與實(shí)際測得的間隙電壓值的擬合程度只與擬合時(shí)間有關(guān)，擬合的時(shí)間段越短，擬合程度越高，因此，可以采用遞推的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)電弧銑削加工放電間隙電壓的跟蹤預(yù)測。

(a)0.5 s內(nèi)

(b)1.5 s內(nèi)

(c)2 s內(nèi)圖8 模型仿真值與間隙電壓值擬合程度Fig.8 The degree of fit between the output of the prediction model and the measured discharge gap voltage

從控制的角度出發(fā)，需要比較預(yù)測模型與輸入、輸出數(shù)據(jù)所體現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)特性相近的程度，因此，對(duì)電弧銑削加工間隙電壓預(yù)測模型進(jìn)行了頻域分析，如圖9所示，可以看到，預(yù)測模型與輸入、輸出數(shù)據(jù)的頻域特性擬合較好，很好地反映了輸入、輸出數(shù)據(jù)的頻域特性。另外，預(yù)測模型的零、極點(diǎn)分布合理，說明模型穩(wěn)定性好，同時(shí)，模型的辨識(shí)參數(shù)少，因此，式(18)所表示的系統(tǒng)預(yù)測模型適用于電弧銑削加工系統(tǒng)，可以用于在線遞推辨識(shí)。

(a)幅值

(b)相位圖9 預(yù)測模型與輸入、輸出數(shù)據(jù)頻域特性比較Fig.9 Comparison of the prediction model and input-output data in frequency domain characteristics

3.2 時(shí)變預(yù)測模型

前文已經(jīng)確定了最優(yōu)放電間隙電壓預(yù)測模型的結(jié)構(gòu)與階數(shù)，并根據(jù)模型輸出的仿真值與實(shí)際測量值的擬合結(jié)果得到的啟示，用遞推的方式將最優(yōu)預(yù)測模型用于在線檢測，此時(shí)模型的參數(shù)不再是常量，而是隨加工過程發(fā)生變化。因此，式(18)用時(shí)變預(yù)測模型表示為

(19)

B(q-1)=b1q-1

C(q-1)=1+c1q-1

D(q-1)=1+d1q-1+d2q-2+d3q-3+d4q-4

F(q-1)=1+f1q-1+f2q-2

在電弧銑削加工過程中，需要根據(jù)加工過程進(jìn)行估計(jì)的參數(shù)是θ=(b1,c1,d1,d2,d3,d4,f1,f2)T。參數(shù)的估計(jì)采用遞推最小二乘算法計(jì)算：

(20)

另外，β(t,k)具有以下性質(zhì)：

β(t,k)=λ(t)β(t-1,k),1≤k≤t-1

β(t,t)=1

因此，預(yù)測模型的完整遞推辨識(shí)算法為

(21)

其中，λ(t)為遺忘因子，取λ=0.995。用預(yù)測模型的遞推辨識(shí)算法對(duì)電弧銑削加工過程中的放電間隙電壓進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測，實(shí)驗(yàn)加工參數(shù)見表1。

表1 加工參數(shù)

實(shí)驗(yàn)過程中使用Handyscope HS4數(shù)據(jù)采集卡實(shí)時(shí)采集放電間隙電壓，計(jì)算模型超前一步預(yù)測值與實(shí)際間隙電壓值的平均預(yù)測誤差，平均誤差計(jì)算公式為

(22)

計(jì)算得到預(yù)測平均誤差為6.82%。模型超前一步預(yù)測值與實(shí)際間隙放電電壓值的對(duì)比如圖10所示，為了更好地展示模型的預(yù)測能力。在圖10中任選兩部分進(jìn)行比較，如圖11所示，可以看到，預(yù)測模型能夠跟蹤間隙電壓的變化，實(shí)時(shí)進(jìn)行超前一步預(yù)測，由此得到以下結(jié)論：電弧銑削加工放電間隙電壓預(yù)測模型具有很高的預(yù)測精度，為電弧銑削加工系統(tǒng)極間間隙的精確控制提供了理論依據(jù)和實(shí)踐參考。

圖10 預(yù)測模型的輸出與實(shí)際間隙加工電壓值比較Fig.10 Comparison between the output of the prediction model and the measured discharge gap voltage

4 結(jié)論

(1)本文建立了電弧銑削加工系統(tǒng)時(shí)域模型，對(duì)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行譜密度分析，根據(jù)干擾頻譜圖，得到了輸入輸出數(shù)據(jù)的過濾頻域?yàn)閇0.003,0.5]，在此頻域內(nèi)過濾的數(shù)據(jù)滿足系統(tǒng)建模的需求。

(a)a部分

(b)b部分圖11 預(yù)測模型輸出值與實(shí)際測量值詳細(xì)比較Fig.11 Detailed comparison between the output of the prediction model and the measured discharge gap voltage

(2)用系統(tǒng)辨識(shí)方法確定了電弧銑削加工系統(tǒng)放電間隙電壓預(yù)測模型的結(jié)構(gòu)和模型參數(shù)，建立了放電間隙電壓預(yù)測模型，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的預(yù)測精度，0.5 s內(nèi)預(yù)測精度為97.96%。

(3)基于放電間隙電壓預(yù)測模型，采用遞推最小二乘方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)放電間隙電壓進(jìn)行穩(wěn)定的跟蹤，預(yù)測模型能夠超前一步預(yù)測放電間隙電壓，預(yù)測平均誤差是6.82%。

(4)本文預(yù)測模型能實(shí)時(shí)準(zhǔn)確預(yù)測放電間隙電壓，為放電間隙伺服控制提供準(zhǔn)確依據(jù)，保證電弧銑削加工處于穩(wěn)定、高效的加工狀態(tài)。