劉燦昌，李銀山，李欣業(yè)，王新筑

（1.山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院，山東淄博 255000；2.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401；3.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院，重慶 400044）

0 引言

梁變形計(jì)算常用到能量法和力矩—面積法，這兩種方法能較快計(jì)算梁特定點(diǎn)的變形，對于復(fù)雜載荷作用工況，存在計(jì)算工作量大的問題［1-4］，限制了其在復(fù)雜載荷環(huán)境下的工程應(yīng)用。改進(jìn)的積分變形計(jì)算法能減少積分常數(shù)的數(shù)量，簡化變形計(jì)算過程［3-5］，提高計(jì)算效率。喻曉今［6］推導(dǎo)出梁的撓度和轉(zhuǎn)角的置換法位移方程，利用置換法求解一端外伸梁變形，提出一種基于疊加無需積分的變形計(jì)算方法。邢譽(yù)峰等［7］求解一端固支均勻拉壓桿、歐拉梁和鐵木辛柯梁在任意次多項(xiàng)式形式分布載荷作用下的精確解。吳曉等［8］考慮幾何變形協(xié)調(diào)關(guān)系，求出桁架節(jié)點(diǎn)位移的解析解。麻凱等［9］提出一種基于Epsilon 算法和改進(jìn)的紐曼級數(shù)結(jié)構(gòu)靜態(tài)位移的一階和二階靈敏度近似計(jì)算方法。彭如海［10］研究了梁上特殊點(diǎn)的位移置換函數(shù)，提出一種求解梁特定點(diǎn)的變形位移置換方法。

計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)在計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［11-18］。高云峰［19］、李銀山等［20-21］利用位移置換函數(shù)，發(fā)展了一種計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算方法。Matlab 輔助教學(xué)系統(tǒng)有利于提高教學(xué)效率，加強(qiáng)學(xué)生對基本概念和原理的理解，可以拓寬學(xué)生的知識面，增強(qiáng)學(xué)生解決工程問題的能力［22-23］。

1 位移置換法

1.1 懸臂梁的位移置換法

位移置換法利用單位力作用下互等位移與載荷疊加計(jì)算梁任意一點(diǎn)變形的一種計(jì)算方法。如圖1 所示。以求解懸臂梁自由端的撓度為例來引進(jìn)位移置換法。設(shè)O端固定，A為自由端，長為l，抗彎剛度為EI的懸臂梁上受到任意分布載荷q(x) 作用，求A端撓度vA。

圖1 任意分布載荷作用的懸臂梁

如圖2 所示，由位移互等定理知道，若分別在A處和x處作用單位力F0＝1，則在A處單位力引起x處的位移δq(x，l)［見圖2（a）］與在x處的單位力引起A處的位移δq(l，x)［見圖2（b）］應(yīng)相等：

圖2 位移互等定理

由疊加原理可知同樣，為求如圖1 所示梁A端的轉(zhuǎn)角θA，對位移采用類似的置換方法可得：

式中，δm(x，l)為在A處的單位力偶矩Me0＝1 引起x處的撓度。

如圖3 所示，把上述方法推廣到分布彎矩m(x)，集中力Fi，集中力偶矩Mei情況。處理集中載荷時應(yīng)用狄拉克δ函數(shù)的定義和性質(zhì)，于是有：

圖3 任意載荷作用的懸臂梁

定理1設(shè)懸臂梁（長為l，抗彎剛度EI）上承受分布力q(x)，分布彎矩m(x) 以及在ai處（集中力）的Fi，在bi處的集中力偶矩Mei的共同作用。則端點(diǎn)A的撓度和轉(zhuǎn)角分別為：

1.2 位移置換法的應(yīng)用

定理1 的梁變形計(jì)算方法方法可推廣到其他邊界條件，在任意載荷作用下位移求解問題。如圖4 所示。

圖4 任意邊界條件的指定點(diǎn)位移

結(jié)構(gòu)在C處的撓度v(ξ) 和轉(zhuǎn)角θ(ξ) 的計(jì)算步驟為：步驟1邊界條件不變，在x＝ξ 處只作用一單位力F0＝1［見圖5（a）］。

圖5 單位載荷作用下的位移

1.3 靜定梁位移置換函數(shù)

圖6 位移置換函數(shù)

位移置換函數(shù)可以查材料力學(xué)手冊，或者采用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法得到。

2 計(jì)算機(jī)仿真算例

算例1如圖7 所示，已知：L＝15 m，q＝3 kN／m，受復(fù)雜載荷懸臂梁，試求B點(diǎn)的撓度。已知梁各段彎曲剛度EI為常數(shù)。

圖7 復(fù)雜載荷作用下的懸臂梁

懸臂梁的撓度如圖8 所示。

圖8 算例1懸臂梁撓度圖

算例2如圖9 所示，受復(fù)雜載荷的外伸梁，試求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。已知梁各段彎曲剛度EI為常數(shù)。

圖9 復(fù)雜載荷作用下的外伸梁

已知：L＝10 m，q＝8 kN／m，F(xiàn)＝

解：位移置換法。

求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角

外伸梁的撓度如圖10 所示。

圖10 算例2外伸梁撓度圖

3 用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法求位移置換函數(shù)

3.1 連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法

以懸臂梁為例，介紹連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法求位移置換函數(shù)的步驟如下：

步驟1建立撓度的（載荷集度型）四階導(dǎo)數(shù)微分方程，懸臂梁分為兩段，各段的撓曲線近似微分方程為

步驟2積分1 次得剪力方程的通解。

步驟3積分2 次得彎矩方程的通解。

步驟4積分3 次得轉(zhuǎn)角方程的通解。

步驟5積分4 次得撓度方程的通解。

步驟6根據(jù)邊界條件和連續(xù)光滑條件確定積分常數(shù)：

3.2 Maple軟件仿真計(jì)算過程

計(jì)算步驟：

步驟1加載繪圖庫。

步驟2建立載荷分布函數(shù)。

步驟3求解載荷集度型四階導(dǎo)數(shù)微分方程積分4 次得撓度通解。

步驟4建立邊界條件和連續(xù)光滑條件方程確定積分常數(shù)。

步驟5建立邊界條件和連續(xù)光滑條件方程確定積分常數(shù)。

步驟6求解單位力作用下的撓度函數(shù)。

步驟7計(jì)算單位力的值。

步驟8繪圖整理。

4 結(jié)語

本文將位移置換法由求解梁特定點(diǎn)變形計(jì)算推廣到一般點(diǎn)的變形計(jì)算，發(fā)展了一種梁變形計(jì)算簡化方法。研究了位移置換函數(shù)確定方法，給出了多邊界梁在復(fù)雜載荷作用下位移置換函數(shù)，利用位移置換法給出梁變形解析解。利用Maple程序計(jì)算任意節(jié)點(diǎn)位移數(shù)值，得到梁變形計(jì)算表達(dá)式。