楊昕怡

(武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070)

自有限單元元分析法問世至今，一直備受工程界學(xué)者的廣泛關(guān)注。利用有限元模型來模擬研究結(jié)構(gòu)響應(yīng)對結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、運(yùn)營、維護(hù)、監(jiān)測等活動具有重大作用。有限元模型修正主要是用結(jié)構(gòu)實(shí)測的響應(yīng)來反演結(jié)構(gòu)力學(xué)參數(shù)，如彈性模型、質(zhì)量、密度、尺寸參數(shù)等。常用的結(jié)構(gòu)實(shí)測響應(yīng)數(shù)據(jù)主要有靜力數(shù)據(jù)和動力數(shù)據(jù)。由于結(jié)構(gòu)動力數(shù)據(jù)種類豐富、測量方便，因此基于動力數(shù)據(jù)的有限元模型修正方法較多。國內(nèi)外很多工程領(lǐng)域的研究人員都對基于動力數(shù)據(jù)的模型修正方法開展了研究，例如，方圣恩等[1]提出了一種模型修正措施,將建立的響應(yīng)面模型與應(yīng)用蒙特卡羅仿真技術(shù)得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)樣本相聯(lián)合，用于結(jié)構(gòu)有限元模型修正。姚春柱等[2]采用了貝葉斯模型修正方法，將使用吉布斯抽樣的蒙特卡羅馬爾科夫鏈抽樣方法得到的數(shù)據(jù)代入隨機(jī)模型，應(yīng)用貝葉斯理論，得到關(guān)于模型參數(shù)的后驗(yàn)分布動態(tài)統(tǒng)計(jì)特征,達(dá)到對參數(shù)進(jìn)行識別的目標(biāo)。陳輝等[3]結(jié)合結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)實(shí)測數(shù)據(jù)列出了能準(zhǔn)確表達(dá)待修正參數(shù)與結(jié)構(gòu)反應(yīng)之間聯(lián)系的模型修正方程式，并在求解該方程時(shí)運(yùn)用混合攝動-伽遼金方法,從而獲取修正參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)特征。在國際上，美國的Beck J L教授[4]在對線彈性土木結(jié)構(gòu)的隨機(jī)模型修正研究中應(yīng)用了貝葉斯方法，通過判斷所抽取樣本對應(yīng)的響應(yīng)與測量結(jié)果是否吻合來確定修正參數(shù)。Rui[5]通過響應(yīng)面法、改進(jìn)的蒙特卡洛統(tǒng)計(jì)模擬法和移動最小二乘法求解了模型修正方程。

模型修正是力學(xué)反問題，求解模型修正方程，會涉及大型矩陣反復(fù)求逆，或存在多解或者病態(tài)問題，導(dǎo)致計(jì)算精度不高。并且根據(jù)目前國內(nèi)外研究人員的研究成果可以看出學(xué)者們對模型修正的研究還在初級階段，還需克服許多困難。因此，在工程界的迫切需求下，提出更為實(shí)用和高效的模型修正方法具有必要性。使用Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來求解模型修正方程能有效解決上述問題。首先建立基于動力模態(tài)數(shù)據(jù)的模型修正方程，并對Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決實(shí)際問題的理論解與模型推導(dǎo)進(jìn)行闡述，然后通過一個(gè)兩跨連續(xù)梁對該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，該方法能非常準(zhǔn)確地求解模型修正方程，使修正結(jié)果與預(yù)設(shè)的工況一致，修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)能夠復(fù)現(xiàn)結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，具有實(shí)際工程意義。

1 理 論

1.1 模型修正方程的建立

考慮具有N個(gè)自由度的無阻尼結(jié)構(gòu)，初始模型滿足以下特征值方程

Kaφi=λiMaφi(i=1,…,nc)

(1)

式中，Ka和Ma分別是初始結(jié)構(gòu)模型的整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；λi和φi分別是初始模型的第i階特征值和特征向量;nc為初始模型的計(jì)算模態(tài)個(gè)數(shù)。

類似地，實(shí)際結(jié)構(gòu)的特征方程可以表示為

(2)

初始結(jié)構(gòu)跟實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣與剛度矩陣存在以下關(guān)系

(3)

(4)

式中，Ne為結(jié)構(gòu)的單元個(gè)數(shù);Kn和Mn分別是結(jié)構(gòu)第n個(gè)單元的N×N單元組裝矩陣;αn和βn分別為結(jié)構(gòu)第n個(gè)單元的質(zhì)量和剛度的修正系數(shù)，表示為實(shí)際結(jié)構(gòu)的單元?jiǎng)偠群唾|(zhì)量相對于初始矩陣的變化率。

(5)

(6)

合并式(5)和式(6)可以得到

(7)

將式(3)、式(4)代入式(7)可以得到

(8)

對式(8)進(jìn)行因式變換可以得到

(9)

式(9)可以簡寫為

(10)

1.2 Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有多反饋回路。遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過結(jié)構(gòu)遞歸建立，根據(jù)不同形式的遞歸性應(yīng)用，產(chǎn)生了許多具有不同結(jié)構(gòu)的遞歸網(wǎng)絡(luò)。在各種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法中，梯度下降法應(yīng)用十分廣泛。采用Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來求解現(xiàn)行矩陣方程，根據(jù)得到的解與理論解之間的對比，能判斷該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解線性矩陣方程的有效性。

x=[C(0)E(0)]/f(0)=([C(0)E(0)]-1)·f(0)

下面依據(jù)負(fù)梯度設(shè)計(jì)方法推導(dǎo)該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

1)構(gòu)造一個(gè)基于矩陣范數(shù)的標(biāo)量誤差函數(shù)

2)為了使上述誤差減小，可采用經(jīng)典的負(fù)梯度方法，因此我們可以得到如下誤差函數(shù)負(fù)梯度方向作為下降方向

3)線性的基于負(fù)梯度的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如下

其中參數(shù)γ>0決定網(wǎng)絡(luò)的收斂速度，如條件允許，越大越好。

2 數(shù)值算例

下面對一個(gè)雙跨連續(xù)梁進(jìn)行模型修正研究，跨長和梁截面如圖1所示。模擬連續(xù)梁的有限元模型由12個(gè)相同的歐拉-伯努利梁單元組成。單元中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)包括兩個(gè)自由度、一個(gè)垂直位移和一個(gè)扭轉(zhuǎn)角度。假設(shè)初始梁模型彈性模量為2.8×l010Pa，密度為2.5 ×103kg/m3。

假設(shè)第②、⑤、⑩三個(gè)單元的真實(shí)質(zhì)量分別下降了40%、30%和20%，同時(shí)第③、⑤、⑨、⑩、單元的彈性模量分別減少30%、40%、35%、30%和20%，其他單元的質(zhì)量與彈性模量保持初始值不變。將12個(gè)單元的彈性模量和質(zhì)量認(rèn)定為修正參數(shù)。修正后的彈性模量參數(shù)從左到右編為1～12號，相應(yīng)的質(zhì)量參數(shù)為13～24。換句話說，修正后的參數(shù)總數(shù)為24。

計(jì)算得到該兩跨連續(xù)梁24個(gè)參數(shù)修正后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值與實(shí)際真值結(jié)果對比如圖2所示。

由圖2可以看出，修正后的Hopfield識別值與實(shí)際真值基本吻合，由此可證明Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正模型的有效性。

3 結(jié) 論

該文提出了一種基于Hopfield人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模態(tài)數(shù)據(jù)求解有限元模型修正參數(shù)的方法?；诮Y(jié)構(gòu)實(shí)測響應(yīng)，通過構(gòu)建修正方程與Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對一兩跨連續(xù)梁質(zhì)量與彈性模量參數(shù)進(jìn)行修正，修正后得到的有限元模型與結(jié)構(gòu)實(shí)際特征基本統(tǒng)一。因此可以認(rèn)為將Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入模型參數(shù)修正中可以避免大型矩陣求逆和正則化，能更準(zhǔn)確的修正結(jié)構(gòu)參數(shù)。