張麗雯,姜金華

(1.上海第二工業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，上海 201209；2.上海第二工業(yè)大學(xué)智能制造與控制工程學(xué)院，上海 201209)

0 引言

振動[1]是物體的往復(fù)運動，是自然界和工程界的普遍現(xiàn)象。人與機械交互時，噪聲問題也通常被歸為振動問題[2]。工業(yè)生產(chǎn)制造中難免會產(chǎn)生振動，而這種振動會影響到工業(yè)生產(chǎn)。特別是對于精密器件和超精密加工設(shè)備的使用，任何微小的振動干擾都很有可能對測量數(shù)據(jù)和設(shè)備本身產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。因此，如何有效地控制振動一直是國內(nèi)外深入研究的課題。

主動噪聲控制(active noise control,ANC)是一種振動控制的新技術(shù)[3]。與被動振動控制相比，主動振動控制對于低頻的隔振效果更好，而且對外界環(huán)境有較強的適應(yīng)能力。如今，主動振動控制被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域。自適應(yīng)濾波算法是主動噪聲控制研究的重點。對于復(fù)雜設(shè)備與裝置可能存在的結(jié)構(gòu)非線性與時變環(huán)節(jié)，自適應(yīng)濾波算法具有較好的技術(shù)特點與優(yōu)勢[4]。常用的自適應(yīng)濾波算法是基于維納濾波的最小均方(least mean suqare,LMS)算法。該算法具有結(jié)構(gòu)簡單、性能穩(wěn)定、計算復(fù)雜度低和易于實現(xiàn)等特點。

20世紀(jì)80年代，Morgan、Widrow及Burgess提出了獲得廣泛應(yīng)用的濾波-x最小均方(filtered-x least mean suqare,FxLMS)算法[5]，解決次級通道引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定問題。2011年，周亞麗等提出了基于反正切變換的濾波-x最小均方算法(filtered-x arctangent least mean suqare,FxatanLMS)[6]，解決了脈沖噪聲高尖峰特性引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定問題。2013年，Wu提出了Fair算法[7]，利用Fair函數(shù)對誤差信號進(jìn)行非線性變換。Fair函數(shù)的特性是連續(xù)平滑且僅有一個可調(diào)閾值參數(shù)，避免了選擇參數(shù)和估測閾值的麻煩，算法性能更好。

Oh.J等利用FxLMS算法對懸臂梁主動振動控制系統(tǒng)進(jìn)行了試驗研究，驗證了FxLMS算法的可行性[8]。Meng等提出了一種基于壓電堆作動器的直升機機身多輸入多輸出多諧波前饋自適應(yīng)自動電壓控制(automatic roltagecontrol,AVC)方法。該方法由諧波系數(shù)辨識和多輸入多輸出多諧波(multi-input multi-output multi-harmonic,MIMOMH)前饋FxLMS算法組成[9]。Li等將反饋FxLMS算法和比例積分微分(proportional integral differential,PID)控制器相結(jié)合，提出了混合PID-FxLMS算法，并將其應(yīng)用于壓電懸臂梁振動控制中[10]。王歡等通過有限元模型，應(yīng)用正位反饋技術(shù)研究了多階模態(tài)的主動振動控制[11]。

本文首先在傳統(tǒng)FxLMS算法的理論基礎(chǔ)上，根據(jù)反雙曲正弦函數(shù)，提出了一種新的FxLMS算法，即FxasinhLMS算法；然后分別在Simulink和機械系統(tǒng)的力學(xué)自動分析(automatic dynamic analysis of mechanical system,ADAMS)中建立了FxLMS控制仿真系統(tǒng)和懸臂梁有限元模型，連接兩者進(jìn)行聯(lián)合仿真。在聯(lián)合仿真控制系統(tǒng)中，分別對FxLMS、Fair、FxatanLMS算法和本文提出的FxasinhLMS算法進(jìn)行仿真測試。仿真測試結(jié)果證明了FxasinhLMS算法在懸臂梁振動主動控制應(yīng)用中的有效性和優(yōu)越性。

1 自適應(yīng)濾波算法

1.1 LMS算法

LMS算法是線性自適應(yīng)濾波器算法，其作用是調(diào)整濾波器的權(quán)系數(shù)。LMS算法以最小均方誤差(mean square error，MSE)為判據(jù)，使期望信號與濾波器輸出信號之差的平方的期望值最小[12]?；贚MS算法的自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)圖

自適應(yīng)濾波器W(z)采用有限脈沖響應(yīng)(finite impulse response，F(xiàn)IR)結(jié)構(gòu)。圖1中：x(n)為輸入信號；d(n)為期望信號；y(n)為濾波器輸出信號；e(n)為誤差信號；權(quán)系數(shù)矢量W根據(jù)最小均方判據(jù)調(diào)整。

對于FIR濾波器，n時刻的濾波器輸出為:

(1)

式中：T為轉(zhuǎn)置符；X(n)為n時刻的輸入矢量；N為濾波器的階數(shù)；wi(n)為n時刻第i個權(quán)系數(shù),i=0,1,...,N-1。

根據(jù)圖1，均方誤差ε表示為：

ε=E[e2(n)]=E[d(n)-y(n)]2

(2)

將式(1)代入式(2)，可得：

ε=E[d(n)-WT(n)X(n)]2

(3)

從式(3)可以看出，均方誤差是權(quán)系數(shù)矢量W的二次型函數(shù)，在均方誤差達(dá)到最小時，權(quán)矢量W*達(dá)到最優(yōu)。W*一般采用迭代算法來求解，常用方法是最速下降法，即：

(4)

式中：u為步長；W(n)為n時刻的濾波器權(quán)系數(shù)矢量；(n)為第n次迭代的梯度矢量；W(n+1)采用最速下降法，可以逼近最佳值。

對于LMS算法，第n次迭代的梯度矢量表示為：

(5)

用瞬時值代替式(5)中的數(shù)學(xué)期望，得到的梯度估計值稱為瞬時梯度。則有：

(n)=-2e(n)X(n)

(6)

顯而易見，瞬時梯度矢量是真實梯度矢量的無偏估計。此時，式(4)的迭代公式可寫成：

W(n+1)=W(n)+ue(n)X(n)

(7)

為了確保算法的穩(wěn)定性，步長的取值范圍為：

(8)

式中：tr(R) 為輸入信號自相關(guān)的跡，等于R對角線上的元素之和。

(9)

1.2 FxLMS算法

為了修正LMS算法的誤差梯度估計值，在LMS的基礎(chǔ)上增加了次路徑模型。考慮到次路徑的影響，為了確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要對LMS算法的瞬時梯度估計作修正。xf(n)取代了LMS中的參考輸入信號x(n)。xf(n)是參考輸入信號x(n)經(jīng)次路徑S(z)濾波后得到的，所以這種算法被稱為FxLMS算法。前饋FxLMS算法結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 前饋FxLMS算法結(jié)構(gòu)圖

前饋FxLMS算法的步驟如下。

①采集輸入信號x(n)。

②計算濾波器的輸出信號u(n)：

(10)

式中：N為濾波器階數(shù)。

③輸入信號u(n)至次路徑。

④計算濾波-x信號xf(n)：

(11)

⑤計算誤差信號e(n)：

e(n)=d(n)-y(n)

(12)

⑥采用FxLMS算法，更新W(z)的權(quán)系數(shù)：

W(n+1)=W(n)-u×e(n)×xf(n)

(13)

2 改進(jìn)的算法

FxLMS算法的迭代穩(wěn)定性會受到誤差信號e(n)的影響。為了保證算法的穩(wěn)定性，本文提出一種改進(jìn)方法，即設(shè)計一種新的非線性變換函數(shù)對誤差信號e(n)作處理。

本文利用反雙曲正弦函數(shù)對誤差信號e(n)進(jìn)行變換，提出FxasinhLMS算法。變換后的誤差信號函數(shù)只有一個可調(diào)參數(shù)。其參數(shù)確定方法簡單，避免了選擇參數(shù)和估測閾值參數(shù)的麻煩。其誤差變換函數(shù)為：

(14)

式中：α為系數(shù);sinh-1為反雙曲正弦。

將式(14)代入式(13)，則濾波器進(jìn)行自適應(yīng)更新的迭代公式為：

W(n+1)=W(n)-u×φ[e(n)]×xf(n)

(15)

使用反雙曲正弦函數(shù)對誤差信號進(jìn)行非線性變換，使變換后的誤差信號具有界二階矩。反雙曲正弦函數(shù)的特點是連續(xù)單調(diào)有界、奇對稱，即當(dāng)x→0時，f(x)→0，可以保證函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性。假設(shè)X是一個符合正態(tài)分布的隨機變量，定義Y=sinh-1(X)。因為反雙曲正弦函數(shù)具有奇對稱特性，所以其期望E(Y)=0。根據(jù)方差的計算公式，Y的方差為：

s(Y)=E[Y-E(Y)]2

(16)

(17)

由維納濾波器原理可知，n時刻濾波器一定存在一個使得誤差最小的最優(yōu)解。因此，需要確定u的取值范圍，以確保算法收斂。

假設(shè)w0是最優(yōu)權(quán)系數(shù)矢量，w0xf(n)≈-d(n)，則偏差矢量ε(n)為：

ε(n)=w0-W(n)

(18)

在式(16)兩端分別減去w0，有：

W(n+1)-w0=W(n)-w0-uφ[e(n)]xf(n)

(19)

ε(n+1)=ε(n)+uφ[e(n)]xf(n)

(20)

定義均方偏差σ(n)為：

(21)

式(20)兩邊取歐式2范數(shù)并求期望，得到：

(22)

考慮到：

(23)

(24)

假設(shè)：

εT(n)xf(n)=[w0(n)-w(n)]xf(n)≈-[d(n)-y(n)]=-e(n)

(25)

那么，式(23)可以寫成：

Δ(n)=σ(n+1)-σ(n)<0

(26)

當(dāng)算法收斂，步長應(yīng)該滿足下列條件：

(27)

3 懸臂梁振動主動控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)

3.1 建立FxLMS算法的控制系統(tǒng)

系統(tǒng)核心是基于FxLMS算法的自適應(yīng)濾波器，采用Matlab Function進(jìn)行FxLMS算法的編寫。

控制仿真系統(tǒng)利用兩個傳遞函數(shù)模塊分別替代實際懸臂梁的主通道和次級通道。假設(shè)理想情況下次級通道和次級通道估計的傳遞函數(shù)相同。

3.2 建立ADAMS模型

本文以懸臂梁作為研究對象，借助ADAMS軟件建立懸臂梁有限元模型。ADAMS的工作柵格為默認(rèn)的笛卡爾坐標(biāo)系，以steel作為懸臂梁材料。懸臂梁材料的長、寬、高分別為900 mm、25 mm、1 mm，密度為7.80×10-6kg/m。楊氏模量為2.07×105Pa，泊松比為0.29。懸臂梁受到外界刺激會發(fā)生變形，所以要把懸臂梁構(gòu)件變成柔性體再作進(jìn)一步的處理。本文采用ADAMS/ViewFlex建立柔性體，以代替原先的剛性體。

聯(lián)合仿真需要ADAMS和Simulink兩個軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)通信：首先，定義ADAMS的輸入變量為添加在懸臂梁根部和中間位置的兩個控制力，定義ADAMS的輸出變量為懸臂梁上五個標(biāo)記點位置的變化；然后，采用varval()函數(shù)對定義的輸入變量進(jìn)行處理，使得輸入變量與Simulink中的輸入信號進(jìn)行相關(guān)聯(lián)；最后，完成ADAMS和Simulink這兩個軟件之間的數(shù)據(jù)通信。

定義ADAMS的輸入輸出變量后，將懸臂梁有限元模型通過Control Plant模塊導(dǎo)出。

3.3 構(gòu)建聯(lián)合仿真系統(tǒng)

聯(lián)合仿真的目的是實現(xiàn)機械系統(tǒng)和控制系統(tǒng)一體化。首先，在Matlab/Simulink中輸入ADAMS模塊。ADAMS模塊如圖3所示。

圖3 ADAMS模塊

將圖3中的ADAMS模塊與基于FxLMS算法的控制仿真系統(tǒng)相連接，得到機械系統(tǒng)與控制系統(tǒng)一體化的懸臂梁振動主動控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)。懸臂梁振動主動控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)如圖4所示。

圖4 懸臂梁振動主動控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)

在懸臂梁振動主動控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)中，輸入信號為正弦信號。該信號的頻率為一階模態(tài)頻率14 Hz。因為在低階頻率振動條件下，一階模態(tài)存在的能量是最大的。一階模態(tài)頻率14 Hz是通過給定ADAMS模塊一個掃頻信號，然后對模塊的輸出信號作頻譜分析所得到的。

聯(lián)合仿真試驗中，F(xiàn)xLMS算法通過跟隨輸入信號產(chǎn)生輸出信號，利用其控制器產(chǎn)生控制力，再將其作用到懸臂梁模型需要消除振動的位置，與輸入信號在該位置產(chǎn)生的響應(yīng)相互抵消，從而實現(xiàn)降低懸臂梁振動。

4 仿真測試結(jié)果及分析

本文使用Matlab2016b、ADAMS2020這兩個仿真軟件，分別采用FxLMS、Fair、FxatanLMS和本文提出的FxasinhLMS算法在懸臂梁振動主動控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)中進(jìn)行仿真。通過仿真獲取每種算法的控制效果，并采用量化標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行控制效果的比對，從而比較四種算法的性能。四種算法的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 四種算法的仿真結(jié)果

設(shè)定仿真試驗參數(shù)如下：作為控制器的自適應(yīng)濾波器階數(shù)為8；Fair算法中，閾值c=5；FxasinhLMS算法中，α=3；FxLMS、Fair、FxatanLMS、FxasinhhLMS算法中，固定步長μ=0.0 000 001；采樣頻率為0.001 Hz；采樣時間為400 s。

給定一個幅值1 V、頻率14 Hz的正弦信號作為激勵信號，利用FxLMS、Fair、FxatanLMS、FxasinhhLMS算法分別進(jìn)行聯(lián)合仿真。

對輸入信號x和FxLMS、Fair、FxatanLMS、FxasinhhLMS四種算法進(jìn)行頻譜分析。頻域結(jié)果如圖6所示。

圖6 頻域結(jié)果

圖6中，因為激勵信號的頻率是14 Hz，所以四種算法均在14 Hz時功率譜出現(xiàn)尖峰。當(dāng)頻率大于14 Hz后，隨著頻率增大，四種算法穩(wěn)態(tài)誤差的功率譜均呈逐漸衰減趨勢。在頻率為14 Hz時，四種算法對懸臂梁的振動都有衰減。該結(jié)果表明，四種算法均對懸臂梁振動有著一定的控制效果。其中，F(xiàn)xasinhhLMS算法的衰減效果最好。

主動振動控制應(yīng)用中，算法的控制效果通常采用穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度這兩個指標(biāo)來評估。在本文的懸臂梁振動主動控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)仿真試驗中，將系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時對應(yīng)的采樣點作為起點，往后取100個采樣點；以這100個采樣點對應(yīng)誤差的平均值作為穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)，并以系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時所用的迭代次數(shù)作為收斂速度指標(biāo)。通過聯(lián)合仿真得到的四種算法穩(wěn)態(tài)誤差和迭代次數(shù)如表1所示。

表1 四種算法穩(wěn)態(tài)誤差和迭代次數(shù)

由表1可知，基于FxasinhhLMS算法的仿真系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為3.56×10-4，經(jīng)過160 000次迭代達(dá)到穩(wěn)定，其穩(wěn)態(tài)誤差和迭代次數(shù)均小于其他三種算法。經(jīng)過比對，F(xiàn)xasinhhLMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差減少了37%～52%、迭代次數(shù)減少了19%～57%。

5 結(jié)論

本文在Simulink中建立懸臂梁振動主動控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)，采用FxLMS算法作為自適應(yīng)濾波算法，并基于傳統(tǒng)FxLMS算法提出一種新的主動振動控制FxasinhLMS算法。該算法在原有的算法基礎(chǔ)上對誤差信號進(jìn)行了改進(jìn)，并利用反雙曲正弦函數(shù)對誤差信號進(jìn)行非線性變換。分別將FxLMS、Fair、FxatanLMS、FxasinhhLMS算法在懸臂梁振動主動控制聯(lián)合仿真系統(tǒng)中進(jìn)行仿真。對比仿真結(jié)果可知，與FxLMS、Fair、FxatanLMS相比，F(xiàn)xasinhhLMS算法的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差減小了37%～52%、迭代次數(shù)減少了19%～57%。FxasinhhLMS算法有效地解決了傳統(tǒng)FxLMS算法無法平衡穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度的問題，使系統(tǒng)性能得到了明顯的改善。