舒禮邦 ， 陳東東 ， 張靜

（1.中國電子科技集團(tuán)公司第五十五研究所， 江蘇 南京 210000；2.南京奧馬微波光電產(chǎn)品檢測(cè)中心有限公司， 江蘇 南京 210000）

0 引言

傳統(tǒng)沖擊試驗(yàn)采用的是典型沖擊脈沖模擬沖擊環(huán)境， 沒有考慮實(shí)際沖擊響應(yīng)的損傷效果， 而沖擊響應(yīng)譜通過沖擊響應(yīng)來模擬沖擊效果， 對(duì)實(shí)際沖擊環(huán)境的模擬更加真實(shí)[1]。 沖擊加速度峰值和拐點(diǎn)頻率是準(zhǔn)確評(píng)估沖擊響應(yīng)譜的模擬效果的關(guān)鍵物理量。 為了提高時(shí)域加速度峰值的比對(duì)精度， 需要合理地選擇數(shù)字信號(hào)采集系統(tǒng)中低通濾波器的截止頻率。 在JJG 541—2005、 GJB 150.16 等沖擊標(biāo)準(zhǔn)中僅僅給出了經(jīng)典沖擊波形測(cè)量系統(tǒng)濾波截止頻率，例如： JJG 541—2005 《落體式?jīng)_擊試驗(yàn)臺(tái)》 中給出了18 ms 脈寬沖擊的濾波截止頻率為2 kHz；GJB 360A—96 《電子及電氣元件試驗(yàn)方法 方法213 沖擊試驗(yàn)》 中是11 ms 對(duì)應(yīng)2 kHz； GB/T 2423.5—1995 《電工電子產(chǎn)品環(huán)境試驗(yàn) 第2 部分： 試驗(yàn)Ea和導(dǎo)則： 沖擊》 中則是30 ms 對(duì)應(yīng)2 kHz。 沖擊響應(yīng)譜的波形一般為復(fù)雜震蕩衰減波形， 加速度值時(shí)域歷程基本在20~30 ms 衰減為0； 2 kHz 的頻率上限適用于經(jīng)典沖擊脈沖系統(tǒng)頻率特性上限， 經(jīng)典沖擊脈沖通過這樣的頻率特性測(cè)試系統(tǒng)， 其沖擊脈沖的真實(shí)加速度值被很好地保留， 但是對(duì)于復(fù)雜瞬態(tài)波形來說， 其中還有很多代表真實(shí)加速度值的高頻分量， 測(cè)試系統(tǒng)頻率特性上限（2 kHz） 偏低。

目前不同的標(biāo)準(zhǔn)中均沒有給出沖擊響應(yīng)譜試驗(yàn)中低通濾波器的截止頻率。 學(xué)者張建華[2]的相關(guān)研究成果指出沖擊響應(yīng)譜時(shí)域的時(shí)間歷程， 其濾波截止頻率設(shè)定為最高信號(hào)頻率的1.5 倍， 爆炸沖擊加速度時(shí)間歷程的主要頻率范圍為1×102~1×106Hz。 學(xué)者唐林[3]建議將低通截止頻率設(shè)定為10 kHz， 而且頻率越低加速度有效值越低， 波形損失細(xì)節(jié)也越多。 研究成果表明， 不同的濾波頻率會(huì)影響沖擊響應(yīng)譜時(shí)域加速度峰值的準(zhǔn)確性， 所以工程應(yīng)用中常常根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)給出相對(duì)寬泛的低通截止頻率范圍， 該結(jié)論雖然可以指導(dǎo)比對(duì)試驗(yàn)，但沒有像經(jīng)典沖擊試驗(yàn)規(guī)范中將表征時(shí)間加速度歷程的脈寬信息， 用于指導(dǎo)濾波頻率的選擇。 GJB 150.18 附錄C 中定義了表征復(fù)雜波形時(shí)域特征的有效持續(xù)時(shí)間（τE和τe）， 該時(shí)間由沖擊包絡(luò)初始上升段和結(jié)尾下降段擬合而成， 包含了沖擊響應(yīng)時(shí)域的最大值， 代表了復(fù)雜沖擊時(shí)間歷程重要的頻率信息， 并且τE和τe之間建立了統(tǒng)計(jì)模型， 統(tǒng)計(jì)結(jié)果適用于各種復(fù)雜沖擊響應(yīng)環(huán)境模擬。 而對(duì)應(yīng)沖擊響應(yīng)譜的拐點(diǎn)識(shí)別， 一般采用極值法識(shí)別， 其識(shí)別準(zhǔn)確性受到?jīng)_擊效果一致性好壞、 沖響設(shè)備和樣品耦合后的動(dòng)力學(xué)特性等因素的影響， 目前國內(nèi)對(duì)如何提高沖擊響應(yīng)譜拐點(diǎn)識(shí)別精度的報(bào)道較少。 國外學(xué)者Yan Yinzhong[4]提出， 通過優(yōu)化不同頻率的低通濾波頻帶寬度， 保障各個(gè)諧波均在同一時(shí)刻達(dá)到最大值后， 對(duì)沖擊響應(yīng)譜進(jìn)行疊加， 并給出最大濾波截止頻率（38.4 kHz）， 以保障疊加后沖響譜各個(gè)拐點(diǎn)的準(zhǔn)確性。

因此， 在沖擊響應(yīng)譜試驗(yàn)中， 嘗試通過建立低通截止頻率數(shù)學(xué)模型和拐點(diǎn)頻率識(shí)別數(shù)學(xué)模型， 為早日建立起統(tǒng)一的識(shí)別沖擊加速度峰值和拐點(diǎn)頻率的標(biāo)準(zhǔn)方法提供一種思路。

1 沖擊響應(yīng)譜的原理和比對(duì)規(guī)范

1.1 沖擊響應(yīng)譜的原理

爆炸沖擊是一種確定性、 非周期性瞬態(tài)振動(dòng)。爆炸沖擊環(huán)境的特點(diǎn)是： 高頻值的震蕩波形， 持續(xù)時(shí)間很短， 一般在20 ms 內(nèi)衰減到零。 這種爆炸沖擊特性一般用沖擊響應(yīng)譜來表征。

沖擊響應(yīng)譜是指將沖擊源施加于一系列單自由度、 線性且無質(zhì)量彈簧振子， 將各自單自由度振子的響應(yīng)運(yùn)動(dòng)中的響應(yīng)峰值， 作為對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)固有頻率的函數(shù)， 即定義為沖擊響應(yīng)譜[5]。 可見沖擊響應(yīng)譜表征的是線性單自由度系統(tǒng)固有頻率與受到?jīng)_擊時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)峰值之間的關(guān)系。 沖擊響應(yīng)譜不包含激勵(lì)與響應(yīng)之間的相位信息， 因此不同的沖擊時(shí)域波形可以有相同的沖擊響應(yīng)譜[6]。

1.2 比對(duì)試驗(yàn)規(guī)范和樣品裝夾

客戶A 和客戶B 進(jìn)行沖擊響應(yīng)譜比對(duì)試驗(yàn)，試驗(yàn)規(guī)范如表1 所示。

表1 沖擊響應(yīng)譜比對(duì)試驗(yàn)規(guī)范

沖擊響應(yīng)譜比對(duì)試驗(yàn)要求如下所述。

1） 阻尼比： 0.05 （品質(zhì)因子Q=10）；

2） 次數(shù)： 每向沖擊3 次；

3） 分析頻率間隔： 1/12 倍頻程；

4） 傳感器安裝位置如圖1 所示；

5） 以1/12 倍頻程計(jì)算的沖擊響應(yīng)譜允差在-6~+6 dB 范圍， 應(yīng)保證至少50%的沖擊響應(yīng)譜幅值超過規(guī)定的試驗(yàn)值。

客戶A 和客戶B 均采用同一“L” 形鋁板， 該鋁板具有豐富的共振頻率， 并按照GB/T 2423.43—2008 《電工電子產(chǎn)品環(huán)境試驗(yàn) 第2 部分： 試驗(yàn)方法 振動(dòng)、 沖擊和類似動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)樣品的安裝》中所描述要求完成固定， 實(shí)際樣品的裝夾圖如圖1所示。

圖1 客戶B 沖響裝夾圖

2 沖擊響應(yīng)譜比對(duì)的限制條件

當(dāng)沖擊譜模擬試驗(yàn)所采用的加速度時(shí)間歷程曲線與實(shí)際相差很大時(shí)， 模擬試驗(yàn)或者說比對(duì)試驗(yàn)仍然存在過試驗(yàn)或欠試驗(yàn)的可能， 可見對(duì)于沖擊響應(yīng)譜的比對(duì)中， 對(duì)加速度時(shí)間歷程曲線應(yīng)提出下列限制：

1） 試驗(yàn)的加速度時(shí)間歷程要盡量地接近外場(chǎng)或另外一家比對(duì)客戶所測(cè)得時(shí)間歷程， 尤其是要求峰值相近；

2） 試驗(yàn)的加速度持續(xù)時(shí)間盡量地接近外場(chǎng)或另外一家比對(duì)客戶所測(cè)數(shù)據(jù)的持續(xù)時(shí)間， 或者在統(tǒng)計(jì)上要占絕大多數(shù)；

3） 試驗(yàn)的放大系數(shù)與實(shí)際放大系數(shù)相近；

4） 盡量使試驗(yàn)沖擊譜與外場(chǎng)沖擊譜的一致性能同時(shí)滿足兩種結(jié)構(gòu)阻尼狀態(tài)[7]。

由此可見， 要完成實(shí)驗(yàn)室間沖響試驗(yàn)比對(duì)， 其限制條件還是比較嚴(yán)苛的。 不僅要求結(jié)構(gòu)阻尼狀態(tài)不一樣的兩家單位的設(shè)備， 其沖擊響應(yīng)譜一致性滿足比對(duì)要求， 特別要求加速度時(shí)間歷程中的峰值接近， 而且在沖擊譜中還要滿足沖擊譜規(guī)范， 例如：拐點(diǎn)要求、 容差要求等信息； 另外， 比對(duì)中應(yīng)盡可能地限制沖擊響應(yīng)譜的激發(fā)類型， 因?yàn)椴煌募ぐl(fā)類型時(shí)域波形特性不同， 會(huì)導(dǎo)致時(shí)域時(shí)間歷程中的加速度峰值存在較大差異， 而相同類型沖擊響應(yīng)譜設(shè)備的激發(fā)類型一樣， 時(shí)域波形相似程度較高[8]。

3 低通濾波截止頻率模型

3.1 沖擊響應(yīng)譜有效持續(xù)時(shí)間（τE 和τe）

按照國軍標(biāo)GJB 150.18—2009 沖擊試驗(yàn)中的描述， 沖擊響應(yīng)譜的有效沖擊持續(xù)時(shí)間有τE和τe兩種。

有效持續(xù)時(shí)間τE是包含絕對(duì)值超過1/3 最大峰值A(chǔ)p的所有時(shí)間歷程幅值所對(duì)應(yīng)的最小時(shí)間的長(zhǎng)度； 有效持續(xù)時(shí)間τe（對(duì)處理復(fù)雜瞬態(tài)數(shù)據(jù)更合適） 是指包含至少90%以上的均方根（RMS） 時(shí)間歷程幅值超過最大均方根幅值10%的時(shí)間歷程所對(duì)應(yīng)的最小時(shí)間長(zhǎng)度。 τE代表了復(fù)雜波形的時(shí)域特征， 從定義中可知， 只要測(cè)得完整的時(shí)域加速度歷程即可得到τE的值。 而τe則更具備復(fù)雜波形時(shí)域特征的統(tǒng)計(jì)意義， 更能代表復(fù)雜沖擊響應(yīng)譜的加速度時(shí)間歷程的時(shí)域特征。 這兩個(gè)持續(xù)時(shí)間從統(tǒng)計(jì)模擬中可知道τe~τE之比的中間值為2.62， 而且有95%的比值落在1.71 和5.43 之間， 一般τe近似地為τE的2.5 倍[9]。

在GJB 150.18A—2009 附錄C.3.3 沖擊分析與τe的關(guān)系中給出了τe＞1/2fmin， 其中fmin是沖擊響應(yīng)譜分析的最低頻率， 假設(shè)一個(gè)復(fù)雜沖擊大約在30 ms 內(nèi)衰減到零， 而TE假設(shè)為20 ms， 按照該關(guān)系式fmin＞10 Hz， GJB 150.18A—2009 給出了低通濾波截止頻率的下限值， 低通截止頻率的上限值并未明確說明。 而低通濾波器的頻率上限最小值， 應(yīng)能保留復(fù)雜瞬態(tài)沖擊波形的峰值加速度， 濾除加速度計(jì)諧振等高頻干擾項(xiàng)[10]。

3.2 數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

將非周期函數(shù)的復(fù)雜沖擊波形定義為f （t），則傅里葉變換頻譜為：

其傅里葉變換的逆變換為：

從傅里葉逆變換式（2） 中可看出， 復(fù)雜波形f（t）表征為不同頻率分量的線性疊加， 而每一個(gè)疊加的分量為F （f）exp （j2πft）f∈[-∞， +∞]。 這里假設(shè)復(fù)數(shù)F （f）的初始相位為零， 則分量表達(dá)式化簡(jiǎn)為：

在《振動(dòng)與沖擊手冊(cè)》 中， 標(biāo)準(zhǔn)半正弦波表達(dá)式[11]為：

式（4） 中： D——半正弦波脈寬；

l （t） ——單位階躍函數(shù)。

對(duì)應(yīng)的頻譜幅值表達(dá)式為：

式（3） 中的正余弦函數(shù)可用以上標(biāo)準(zhǔn)半正弦波來表示：

其中， 正余弦函數(shù)的頻率f 和半正弦波脈寬D關(guān)系為2Df=1。 F（f）exp（j2πft）可用標(biāo)準(zhǔn)半正弦波的線性疊加來表示， 即：

從式（2） 傅里葉逆變換物理意義出發(fā)， 復(fù)雜波形f （t） 是每個(gè)分量F （f） exp （j2πft） 的線性組合， 而每個(gè)分量F （f） exp （j2πft） 又是無數(shù)個(gè)脈寬為1/2f 的半正弦波線性組合， 而半正弦波的時(shí)域波形和頻率幅值如圖2 所示。

圖2 半正弦波波形和傅里葉譜

根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)， 復(fù)雜波形的傅里葉譜可用無數(shù)個(gè)半正弦波頻譜的線性組合來表達(dá)，每個(gè)分量F （f） exp （j2πft） 的頻譜均為a （t） 頻譜的線性疊加。 不同頻率f 對(duì)應(yīng)的權(quán)重|F （f） |/Ap決定了對(duì)復(fù)雜波形頻譜貢獻(xiàn)大小。 而要準(zhǔn)確地測(cè)得復(fù)雜波形的時(shí)域加速度峰值， 低通濾波器的頻率上限應(yīng)至少滿足圖2 中半正弦波幅頻曲線第一個(gè)幅值為零的頻率， 而從式（5） 中可知， f=3/2D、 f=5/2D、 f=7/2D…分別對(duì)應(yīng)第一、 第二、 第三幅值為零的頻率值， 故濾波頻率上限可合理地假設(shè)為：

D 值反映的是半正弦波脈寬， 而τe從統(tǒng)計(jì)意義上反映的是復(fù)雜波形的脈寬， 兩種物理含義接近， 所以復(fù)雜波形沖擊響應(yīng)譜的濾波頻率上限估計(jì)為：

3.3 數(shù)學(xué)模型參數(shù)估計(jì)方法

式（11） 中涉及到4 個(gè)待求參數(shù)， 即N3、 N2、N1、 Δf， 這里采用最小二乘法對(duì)4 個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

最小二乘法的原理是將試驗(yàn)所測(cè)數(shù)據(jù)項(xiàng)建立多組線性回歸方程組， 通過構(gòu)建測(cè)量數(shù)據(jù)結(jié)果的殘差項(xiàng)平方和， 最小二乘法參數(shù)擬合出模型函數(shù)中的關(guān)鍵系數(shù)值， 一般回歸方程組形式如下：

對(duì)應(yīng)的輸入測(cè)試數(shù)據(jù)矩陣A∈Rm×n、 待求系數(shù)矩陣b∈Rn、 輸出測(cè)試數(shù)據(jù)矩陣y∈Rm如下：

且yTAb= （yTAb）T， 是因?yàn)樵摼仃嚦朔e最終為一有理數(shù)， 最小化Φ （b） 等價(jià)于：

在正規(guī)方程組ATAb=ATy 中， 左乘（ATA）-1，可解出系數(shù)向量b。

3.4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)和分析

客戶A 和客戶B 兩家單位的測(cè)試數(shù)據(jù)要滿足第2 節(jié)中限制條件的要求， 從裝夾圖1 中可以看出客戶A 和客戶B 均有5 個(gè)測(cè)試點(diǎn)， 每個(gè)測(cè)試點(diǎn)連續(xù)沖擊3 次， 要完成1 400 g 和3 000 g 兩組條件。兩家單位3 號(hào)測(cè)點(diǎn)的加速度時(shí)域波形比較情況如圖3-4 所示。

從圖3-4 中可以看出， 客戶A 和客戶B 不管是1 400 g 還是3 000 g， 相應(yīng)測(cè)試點(diǎn)的加速度時(shí)域歷程和峰值基本一致， 滿足比對(duì)限制條件1 和2。對(duì)于各個(gè)測(cè)點(diǎn)的放大倍數(shù)如圖5 所示。

圖3 客戶A 和B 1 400 g 3 次沖擊時(shí)域歷程

圖4 客戶A 和B 3 000 g 3 次沖擊時(shí)域歷程

圖5 客戶A 和B 各個(gè)測(cè)點(diǎn)的放大倍數(shù)

從圖5 中可見， 客戶A 的1 號(hào)、 2 號(hào)、 3 號(hào)點(diǎn)時(shí)域加速度峰放大倍數(shù)在0.6~0.9 倍之間， 而客戶B 對(duì)應(yīng)點(diǎn)放大倍數(shù)在0.9~1.5 倍之間， 兩者相差不大。 而客戶A 的4 號(hào)點(diǎn)放大倍數(shù)為2.3~2.8 倍， 客戶B 的為2.6~4.3 倍。 客戶A 的5 號(hào)點(diǎn)放大倍數(shù)為4.0~4.5 倍， 客戶B 的為3.2~4.3 倍， 也是基本接近的。 而且， 由于4 號(hào)和5 號(hào)點(diǎn)為響應(yīng)點(diǎn)， 所以放大倍數(shù)相比較1、 2、 3 號(hào)點(diǎn)大， 4 號(hào)點(diǎn)和5 號(hào)點(diǎn)由于位置不同， 所以放大倍數(shù)也略有不同， 但均滿足了限制條件3 的要求。 最終從客戶A 和客戶B 處共測(cè)得30 個(gè)數(shù)據(jù)， 計(jì)算所得τe如圖6 所示。

圖6 沖響的有效持續(xù)時(shí)間τe

圖6 中前12 對(duì)數(shù)據(jù)為4 號(hào)、 5 號(hào)點(diǎn)響應(yīng)測(cè)試數(shù)據(jù)， 后18 對(duì)為1、 2、 3 號(hào)的激勵(lì)測(cè)試數(shù)據(jù)。 由圖6 可以看出客戶A 和客戶B 激勵(lì)點(diǎn)的τe基本一致， 這是因?yàn)榧?lì)沖響曲線均在規(guī)定的比對(duì)譜線容差內(nèi)； 而響應(yīng)點(diǎn)τe之間的離散較大， 是因?yàn)閮杉覇挝辉O(shè)備諧振板和L 板組成系統(tǒng)的阻尼狀態(tài)即使相近， 其A 和B 的τe也會(huì)隨著沖擊次數(shù)的增加逐漸地呈現(xiàn)出更明顯的離散特性。 該離散特性可以通過增加更多的沖擊次數(shù)， 獲得更多的試驗(yàn)數(shù)據(jù)從統(tǒng)計(jì)意義上進(jìn)行概括。

將圖6 中的測(cè)試數(shù)據(jù)構(gòu)建成最小二乘法中的輸入數(shù)據(jù)矩陣。 濾波截止頻率數(shù)據(jù)選擇那些保證兩家單位加速度值在比對(duì)允差范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的濾波頻率， 該頻率值必須保留頻譜中絕大部分的有效值。試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入擬合， 最小二乘法參數(shù)擬合結(jié)果如圖7 所示。

圖7 最小二乘擬合曲線

數(shù)值分析出低通截止頻率的線性項(xiàng)、 二次項(xiàng)和三次項(xiàng)的估計(jì)表達(dá)式：

比較3 個(gè)低通截止頻率估計(jì)表達(dá)式， 二次項(xiàng)表達(dá)式（14） 和實(shí)際數(shù)據(jù)更為接近， 可作為沖響低通濾波截止頻率上限的估計(jì)。

4 沖擊響應(yīng)譜傳遞率模型

沖擊響應(yīng)譜的求解主要由計(jì)算機(jī)完成， 常用的計(jì)算方法有Fourier 變換法， 這種方法的思路是將沖擊信號(hào)進(jìn)行Fourier 變換（采用快速Fourier 算法）， 然后乘以單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)， 再對(duì)乘積求解逆FFT， 從而得到時(shí)域響應(yīng)， 最后經(jīng)峰值檢測(cè)得到?jīng)_擊響應(yīng)譜； 而對(duì)于有的結(jié)構(gòu)， 監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的沖擊響應(yīng)譜拐點(diǎn)可能不止一個(gè)[12]。

4.1 數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

這里先建立沖擊響應(yīng)譜（SRS） 絕對(duì)加速度模型。 圖8 給出了一個(gè)典型的基礎(chǔ)激勵(lì)的機(jī)械振動(dòng)沖擊系統(tǒng)， 即一個(gè)質(zhì)量為m， 彈性系數(shù)為k， 阻尼為c 的單自由度（SDOF） 系統(tǒng)。 系統(tǒng)輸入為基礎(chǔ)激勵(lì)加速度， 輸出為質(zhì)量塊加速度值， 這種模型是最常用于沖擊響應(yīng)譜計(jì)算的模型。

圖8 SRS 基礎(chǔ)激勵(lì)沖擊系統(tǒng)

通過模型并運(yùn)用牛頓第二定律列出運(yùn)動(dòng)方程式為：

兩邊取拉式變換， 并利用拉式變換的微分性質(zhì)可得：

系統(tǒng)復(fù)數(shù)域拉普拉斯傳遞函數(shù)可寫成：

這里假定一函數(shù)h （t）， 其傅里葉變換和拉普拉斯變換分別為Hf和Hs， 由簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)關(guān)系可知拉普拉斯變換和傅里葉變換之間關(guān)系Hf（s/j）= Hs（s），可得傅里葉變換的傳遞函數(shù)為：

因此一個(gè)線性、 單自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以用傅里葉譜表示。

沖擊響應(yīng)譜的物理含義是將沖擊源加載到一系列線性、 單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)上時(shí)， 各個(gè)單自由度系統(tǒng)的響應(yīng)運(yùn)動(dòng)最大響應(yīng)值， 作為各個(gè)單自由系統(tǒng)固有頻率的函數(shù)而繪制的曲線。 數(shù)學(xué)含義則是對(duì)不同固有頻率fn的單自由度系統(tǒng)， 對(duì)其傅里葉譜求逆變換， 并檢測(cè)出最大峰值或最小峰值作為縱坐標(biāo)， 以fn為橫坐標(biāo)所繪制的曲線如圖9 所示。

圖9 沖擊響應(yīng)譜物理含義

令對(duì)傅里葉譜求逆變換， 再求最大峰值或最小峰值的函數(shù)記作。 沖擊響應(yīng)譜的倍頻程大小將系統(tǒng)分解為共振頻率為f1、 f2…fn的n 個(gè)單自由度質(zhì)量-彈性系統(tǒng)， 且fn=Sn/j， 則

響應(yīng)點(diǎn)沖擊響應(yīng)譜：

激勵(lì)點(diǎn)沖擊響應(yīng)譜：

沖擊響應(yīng)譜傳遞率：

式（22） 中構(gòu)成一組向量：

該向量代表了激勵(lì)信號(hào)各個(gè)單自由度系統(tǒng)的傅里葉變換譜， 但僅用諧振板上一點(diǎn)的激勵(lì)信號(hào)無法完整地表述整個(gè)諧振板的激勵(lì)特性。

這里將樣件位置周圍諧振板上的1、 2、 3 號(hào)各點(diǎn)激勵(lì)信號(hào)分解為一系列共振頻率的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)的傅里葉譜， 并構(gòu)成3 組向量， 即：

再定義一系列子向量， 即：

則由向量L2-范數(shù)的定義可知：

其中， ρ 為權(quán)函數(shù)， 并認(rèn)為該范數(shù)等于式（25） 向量中相應(yīng)元素的取值， 式（25） 可化為：

各個(gè)子向量2 范數(shù)可以表征整個(gè)諧振板上一系列單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的傅里葉譜， 對(duì)式（28） 施加函數(shù)， 即可求出表征整體諧振板的沖擊響應(yīng)譜激勵(lì)譜， 即：

為了能求解出沖擊響應(yīng)譜激勵(lì)譜式（29） 的值， 定義1、 2、 3 號(hào)的沖擊響應(yīng)譜激勵(lì)譜值m 為：1， 2， 3

并將1、 2、 3 號(hào)沖擊響應(yīng)譜構(gòu)成一個(gè)向量式：

并認(rèn)為下式成立， 即：

式（30） 可以從測(cè)試數(shù)據(jù)中得到， 最終沖擊響應(yīng)譜傳遞率可化簡(jiǎn)為：

4.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)和分析

圖1 中諧振板上點(diǎn)1、 2、 3 為3 個(gè)控制點(diǎn)， 其中點(diǎn)1 和點(diǎn)2 位置靠近諧振板與錘頭撞擊面， 點(diǎn)3遠(yuǎn)離撞擊面， 位置在諧振板的末端。 點(diǎn)4、 5 為“L” 上不同位置的監(jiān)測(cè)點(diǎn)。 用數(shù)采分別采集到客戶A 和B 的點(diǎn)1 到點(diǎn)5 沖擊響應(yīng)譜數(shù)據(jù)， 而由式（31） 可計(jì)算出客戶A 和客戶B 沖響激勵(lì)譜， 如圖10 所示。

圖10 沖擊響應(yīng)激勵(lì)譜

而從客戶A 和客戶B 諧振板上分別采集到的監(jiān)測(cè)點(diǎn)4 和點(diǎn)5 沖響響應(yīng)譜如圖11-12 所示。

圖11 1 400 g 點(diǎn)4 沖擊響應(yīng)譜

從圖11 中可見， 客戶A 和客戶B 的點(diǎn)4 沖擊響應(yīng)譜的拐點(diǎn)并不明顯， 特別是客戶A 的譜型基本為一斜線。 而對(duì)于圖12 客戶A 和客戶B 的點(diǎn)5沖擊響應(yīng)譜， 能辨識(shí)出1 000 Hz 以下的拐點(diǎn)， 但對(duì)于1 000 Hz 以上的拐點(diǎn)識(shí)別精度不高。

圖12 1 400 g 點(diǎn)5 沖擊響應(yīng)譜

利用式（32） 可分別計(jì)算出客戶A 和客戶B點(diǎn)4 和點(diǎn)5 的沖擊響應(yīng)譜傳遞率函數(shù)， 如圖13-14所示。

圖13 1 400 g 點(diǎn)4 沖擊響應(yīng)傳遞率

圖14 1 400 g 點(diǎn)5 沖擊響應(yīng)傳遞率

從圖13-14 中可以看出， 傳遞率函數(shù)可以放大拐點(diǎn)頻率， 使拐點(diǎn)頻率更尖銳， 更容易辨識(shí)。 這里將1 400 g 和3 000 g 兩個(gè)條件下， 客戶A 和客戶B 利用沖擊響應(yīng)傳遞率所得到的拐點(diǎn)比對(duì)結(jié)果如表2-3 所示。

表2 1 400 g 客戶A 和客戶B 沖響拐點(diǎn)比對(duì)結(jié)果

從表2 中可以看出， 1 400 g 量級(jí)比對(duì)下， 客戶A 點(diǎn)4 的兩個(gè)拐點(diǎn)和客戶B 的兩個(gè)拐點(diǎn)值相差不大， 低頻誤差為12.24%， 高頻誤差為5.93%。而客戶B 折點(diǎn)5 只有一個(gè)拐點(diǎn)， 客戶A 則有兩個(gè)拐點(diǎn)， 第一個(gè)拐點(diǎn)的誤差為5.95%。

從表3 中可以看出， 3 000 g 量級(jí)比對(duì)下， 客戶A 點(diǎn)4 的兩個(gè)拐點(diǎn)頻率值和客戶B 的十分接近，僅高頻拐點(diǎn)誤差為12.22.%。 客戶A 點(diǎn)5 有3 個(gè)拐點(diǎn)， 和客戶B 的也十分接近， 后兩個(gè)拐點(diǎn)誤差僅為5.96%、 12.24%。

表3 3 000 g 客戶A 和客戶B 沖響拐點(diǎn)比對(duì)結(jié)果

5 結(jié)束語

如果兩家比對(duì)單位設(shè)備不滿足沖響比對(duì)試驗(yàn)的限制條件， 即使采用沖響低通濾波截止頻率模型設(shè)置濾波頻率上限， 所求得的加速度峰值仍然存在較大的誤差。

沖擊響應(yīng)譜曲線中包括了緩沖區(qū)、 放大區(qū)和等沖區(qū)， 沖擊響應(yīng)譜傳遞率模型將沖響的響應(yīng)譜緩沖區(qū)、 放大區(qū)和等沖區(qū)除以沖響激勵(lì)譜的對(duì)應(yīng)區(qū)域，最大程度地還原出響應(yīng)譜中拐點(diǎn)頻率和放大倍數(shù)，相比直接從沖擊響應(yīng)譜中讀取拐點(diǎn)值精度要更高。但是， 在不同量級(jí)條件下， 拐點(diǎn)也會(huì)呈現(xiàn)出以下幾個(gè)特征。

1） 沖擊量級(jí)的大小會(huì)影響樣品響應(yīng)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)， 一般來說量級(jí)越大， 樣品被激勵(lì)出的拐點(diǎn)越多、 越全面。

2） 樣品上不同位置處的監(jiān)測(cè)點(diǎn)， 樣品被激勵(lì)出的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)和頻率一般也不相同。

3） 對(duì)于樣品上的比對(duì)點(diǎn)， 最好選擇在不同的沖擊量級(jí)下始終存在的第一個(gè)拐點(diǎn)， 或者某一個(gè)拐點(diǎn)， 這樣有助于提高不同實(shí)驗(yàn)室間沖響比對(duì)的精度。