趙奉奎，成海飛，朱少華，張 涌

(南京林業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院,江蘇 南京 210037)

0 引 言

近年來，汽車在朝著智能化和網(wǎng)聯(lián)化的方向飛速發(fā)展，無人駕駛是最終的發(fā)展目的。無人駕駛可以有效地減少交通事故發(fā)生的概率以及推動(dòng)其他相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)發(fā)展。按照分層遞階系統(tǒng)架構(gòu)，智能汽車可分為感知、規(guī)劃決策與控制3個(gè)層次。路徑跟蹤控制是控制層面的關(guān)鍵研究內(nèi)容，在汽車自主控制駕駛方面扮演著重要的角色。路徑跟蹤控制是在車輛動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)上，通過添加控制量和控制增量約束條件來實(shí)現(xiàn)對(duì)預(yù)先路徑軌跡的跟蹤控制[1]。

現(xiàn)階段的路徑跟蹤控制研究中，所用控制理論主要集中在PID控制[2]、變結(jié)構(gòu)控制[3]、H∞控制[4]以及模糊控制[5]等。PID在閉環(huán)控制方面有著較優(yōu)的效果，通過參數(shù)整定使響應(yīng)命令達(dá)到快、準(zhǔn)、穩(wěn)，但是因?yàn)槠囋谡鎸?shí)行駛工況下，會(huì)被外界帶來的擾動(dòng)影響，使得在進(jìn)行補(bǔ)償過程中無法調(diào)控較大范圍內(nèi)的漸進(jìn)循環(huán)控制。變結(jié)構(gòu)控制(滑模控制)[6]可以根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)軌跡做出相應(yīng)的應(yīng)答與動(dòng)作，使得系統(tǒng)不得不向預(yù)期軌跡接近，克服了非線性控制系統(tǒng)的不確定性，如J.ACKERMANN等[7]利用滑模控制實(shí)現(xiàn)橫擺角速度跟蹤參考橫擺角速度，但是滑?？刂茣?huì)在未建立模型的高頻動(dòng)態(tài)特性時(shí)發(fā)生抖動(dòng)，如果傳感器信號(hào)波動(dòng)劇烈或者執(zhí)行器的控制效果不好時(shí)，狀態(tài)軌跡難以嚴(yán)格遵守滑動(dòng)模態(tài)面向平衡點(diǎn)靠攏，車輛的操縱穩(wěn)定性就無法得到保證。H∞控制通過抑制噪聲與理想輸出之間的偏度來使得系統(tǒng)得到的結(jié)果滿足預(yù)期模型效果，在應(yīng)用到汽車跟蹤控制時(shí)，需要求控制器具有較高的控制階數(shù)與計(jì)算復(fù)雜度[8]。模糊控制不需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行精確建模，但是模糊控制要實(shí)現(xiàn)必須在先驗(yàn)知識(shí)基礎(chǔ)上建立實(shí)用的規(guī)則庫，因此理論穩(wěn)定性是無法論證的。模型預(yù)測控制(MPC)具有較強(qiáng)的多模型約束處理能力，能夠很好地協(xié)調(diào)自動(dòng)駕駛過程中運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩者之間存在的限制，能夠?qū)崿F(xiàn)帶有多種約束的控制系統(tǒng)最優(yōu)求解[9]。

筆者設(shè)計(jì)基于MPC的自動(dòng)駕駛車輛控制系統(tǒng)，建立車輛三自由度動(dòng)力學(xué)模型，在添加控制量和控制增量約束條件外還額外考慮了輸出量質(zhì)心側(cè)偏角和輪胎側(cè)偏角的約束，設(shè)計(jì)了一種基于動(dòng)力學(xué)約束模型預(yù)測控制的路徑跟蹤控制器，通過MATLAB/CarSim聯(lián)合仿真，對(duì)控制算法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 車輛動(dòng)力學(xué)建模

車輛動(dòng)力學(xué)模型可以反映車輛的實(shí)際駕駛狀況[10]，但隨著約束條件或者復(fù)雜程度的增加，會(huì)直接導(dǎo)致求解過程的困難。因此，筆者在對(duì)汽車動(dòng)力學(xué)建模時(shí)相對(duì)簡化了汽車動(dòng)力學(xué)約束，并做出以下假設(shè)：

1)車輛行駛的工況為良好平坦路面。

2)可忽略垂直方向的平動(dòng)或者轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檐囕v和懸架系統(tǒng)是剛性連接結(jié)構(gòu)。

3)不考慮左右輪胎在行駛過程中垂向載荷的轉(zhuǎn)移。

4)忽略不計(jì)行駛過程中產(chǎn)生的空氣阻力。

5)轉(zhuǎn)向控制的輸入為前輪轉(zhuǎn)角，所以可以將轉(zhuǎn)向系統(tǒng)忽略。

通過限定的各種約束，最終建立了一個(gè)汽車沿x、y軸平動(dòng)、繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的三自由度的車輛動(dòng)力學(xué)模型。其示意如圖1。

圖1 車輛動(dòng)力學(xué)模型Fig. 1 Vehicle dynamics model

車輛質(zhì)心在3個(gè)軸位的微分方程為：

(1)

由于式(1)中三角函數(shù)的影響，造成了模型在模擬過程中冗雜度增加。為了方便計(jì)算，筆者引入以下假設(shè)：車輛前輪轉(zhuǎn)角和輪胎側(cè)偏角的關(guān)系較接近，即應(yīng)用等價(jià)關(guān)系如式(2)：

(2)

由于車身坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系的設(shè)定基準(zhǔn)不一樣，所以必須通過兩坐標(biāo)系之間的紐帶進(jìn)行轉(zhuǎn)換，由此可以得到相應(yīng)迭代后的式(1)，使得車輛非線性動(dòng)力模型如式(3)，φ為車輛橫擺角：

(3)

2 線性化與離散化車輛模型

式(3)描述的動(dòng)力學(xué)模型是非線性系統(tǒng)，為了簡化分析過程，對(duì)式(3)所示動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行線性化[11]。由于文中研究的路徑跟蹤問題的預(yù)期軌跡存在某些狀態(tài)信息點(diǎn)無法滿足的現(xiàn)象，因此特地采用狀態(tài)軌跡的方法來使車輛動(dòng)力學(xué)方程線性化。該方法的特點(diǎn)是施加恒定不變的系統(tǒng)控制量，以此得到一條合乎預(yù)測曲線的狀態(tài)軌跡，并通過與實(shí)際偏差的對(duì)比模型預(yù)測控制算法進(jìn)行協(xié)調(diào)。不需要預(yù)先可知預(yù)期軌跡上所有工作點(diǎn)的位置是這個(gè)方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，也就是說實(shí)時(shí)路徑上的點(diǎn)位與控制信息是可觀的。

式(3)建立的非線性車輛動(dòng)力學(xué)模型可以采用修正狀態(tài)軌跡的方法處理，得到線性模型隨時(shí)間變化的方程為：

(4)

對(duì)式(4)采用一階差分的方法進(jìn)行離散化處理，得到離散狀態(tài)控制表達(dá)式為：

(5)

式中：T為采樣周期;Ak,t=In+T×A(t);Bk,t=T×B(t)；In為單位矩陣；Δu(k)為控制量增量。

該系統(tǒng)模型的輸出結(jié)果是一一對(duì)應(yīng)的，其表達(dá)式為：

λ(k)=Ck,t×ξ(k)

(6)

在對(duì)車輛動(dòng)力學(xué)模型模糊化處理后，其可以寫成相應(yīng)的關(guān)系式為：

(7)

3 帶約束的模型預(yù)測控制器的設(shè)計(jì)

MPC是一種典型的過程控制策略。其具有基于模型的控制預(yù)測、滾動(dòng)優(yōu)化、閉環(huán)反饋校正的基本特征，尤其適用于難以建立精確數(shù)學(xué)模型或者具有約束的控制系統(tǒng)。

典型的MPC控制流程如圖2。在每個(gè)采樣時(shí)刻，這是通過收集系統(tǒng)的瞬時(shí)狀態(tài)信息來估計(jì)的，并且該信號(hào)應(yīng)盡可能在系統(tǒng)上的狀態(tài)預(yù)測中用作初始條件。分配給受控對(duì)象的值是通過有限的預(yù)測時(shí)域中的在線開環(huán)優(yōu)化問題獲得的。目前最優(yōu)控制序列的第1個(gè)元素。在下一次采樣時(shí)，系統(tǒng)的未來初始條件將以新條件或狀態(tài)估計(jì)為特征，并且在不中斷前面步驟的情況下重復(fù)上述步驟[12]。

圖2 MPC流程Fig. 2 MPC flow chart

3.1 目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)

可以從ξ(t)中的當(dāng)前狀態(tài)量和控制時(shí)域中的控制增量ΔU(t)獲得預(yù)測時(shí)域中的狀態(tài)量。但是，無法在通過傳感器或估算值控制的平臺(tái)上獲得系統(tǒng)控制增量，需要通過設(shè)置合理的優(yōu)化目標(biāo)來解決。 通過計(jì)算組態(tài)的目標(biāo)函數(shù)，可以獲得一系列最佳控制增量。并在上一節(jié)中將序列的第1個(gè)元素添加到將來系統(tǒng)狀態(tài)的計(jì)算和輸出中。求解過程中考慮到車輛穩(wěn)定性，采用如下形式的目標(biāo)函數(shù)為：

(8)

式(8)系統(tǒng)跟蹤過程的準(zhǔn)確性是由第1項(xiàng)求解參考路徑與系統(tǒng)輸出之間的誤差來表達(dá)。車輛穩(wěn)定性的能力是由這個(gè)公式里的第2項(xiàng)在跟蹤過程中來保持的。Q和R是系統(tǒng)權(quán)重矩陣，可以專注于系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性?？偟膩碚f，系統(tǒng)在跟蹤控制階段在保持準(zhǔn)確性的同時(shí)也要保持車輛行駛穩(wěn)定性。這是整個(gè)目標(biāo)函數(shù)的功能和目的，也是初始系統(tǒng)的要求。

為了得到未來一段時(shí)域的控制序列，在這一節(jié)中對(duì)帶約束的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了求解。由于系統(tǒng)是實(shí)時(shí)的，可能會(huì)出現(xiàn)有的時(shí)刻目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)無解現(xiàn)象。為了規(guī)避這種不可控情況的發(fā)生，筆者又添加了可調(diào)整因子。這樣就可以很大程度上減免系統(tǒng)因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)解不存在而導(dǎo)致崩潰或者卡死的現(xiàn)象。如式(9)：

(9)

為了便于計(jì)算機(jī)語言的編寫，需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行再次處理，主要通過一系列矩陣的運(yùn)算，轉(zhuǎn)換為目標(biāo)函數(shù)二次型形式，如式(10)：

J[ξ(t),u(t-1),ΔU(t)]=

[ΔU(t)T,ε]THt[ΔU(t)T,ε]+Gt[ΔU(t)T,ε]+P

(10)

式中：

P=E(t)TQE(t)。

在每個(gè)控制周期內(nèi)，對(duì)式(10)進(jìn)行求解。會(huì)得到一段控制增量序列為：

ΔU(t)=[Δut,Δut+1,…,Δut+Nc-1]T

(11)

將上面所得的一段序列中的第1個(gè)加入到未來輸出量的計(jì)算中去,即：

u(t)=u(t-1)+Δu(t)

(12)

該控制增量僅適用于系統(tǒng)中的當(dāng)前時(shí)刻。下一刻將添加新的預(yù)測輸出。為了解決本節(jié)中描述的目標(biāo)函數(shù)以獲取新的控制序列信號(hào)問題，在系統(tǒng)中應(yīng)用它，其目的是為系統(tǒng)創(chuàng)建最佳的滾動(dòng)控制。

3.2 模型預(yù)測控制器的約束條件

在路徑跟蹤的問題中主要的約束條件是關(guān)于對(duì)控制因數(shù)以及輸出結(jié)果的限制。另外，在路線跟蹤過程中，需要考慮或增加動(dòng)態(tài)車輛約束，以提高車輛穩(wěn)定性。

首先對(duì)前輪的輪胎轉(zhuǎn)角及其輪胎轉(zhuǎn)角增量進(jìn)行約束。根據(jù)車輛側(cè)向跟蹤能力試驗(yàn)，汽車前輪轉(zhuǎn)角δ及其增量極限約束條件設(shè)置為：

(13)

在良好的道路附著條件下，當(dāng)輪胎側(cè)偏角滿足不超過5°時(shí)，側(cè)向力會(huì)保持在線性區(qū)域內(nèi)。在道路的附著條件比較差的情況下，輪胎側(cè)偏角要限制在2°以下，才會(huì)使側(cè)向力保持在線性區(qū)域內(nèi)。為確保自動(dòng)駕駛汽車在換道過程中的穩(wěn)定性，因此對(duì)輪胎側(cè)偏角做如下約束為：

-2.5°≤α≤+2.5°

(14)

當(dāng)質(zhì)心側(cè)偏角在側(cè)向力線性區(qū)域以外的時(shí)候，這種情況則對(duì)車輛的穩(wěn)定性影響很大。因此為了使其保持在相對(duì)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，需要對(duì)車輛的質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行設(shè)定。通過考慮車道變換轉(zhuǎn)向時(shí)的行駛工況，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行的車輛穩(wěn)定性研究，取其在低附著路面上的極限閾值進(jìn)行約束，約束條件設(shè)置為：

-3°≤β≤+3°

(15)

4 路徑跟蹤仿真驗(yàn)證

通過Simulink和CarSim聯(lián)合搭建車輛控制實(shí)驗(yàn)仿真平臺(tái)。其中車輛的輸入和輸出的接口設(shè)置以及動(dòng)力學(xué)參數(shù)問題主要由CarSim來設(shè)定完成，也就是車輛的動(dòng)力學(xué)模塊由CarSim提供。路徑跟蹤的控制器在Simulink中搭建，由系統(tǒng)函數(shù)格式編譯控制程序/代碼。在輸入以及輸出的接口處，仿真只對(duì)車輛的前轉(zhuǎn)向輪進(jìn)行操作，這也表明了由控制器提供前輪轉(zhuǎn)向角度的輸出，并且控制器中的控制求解過程要求輸出端口表征汽車動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的6個(gè)狀態(tài)量。4個(gè)輪胎的轉(zhuǎn)向角度的輸入是靠Carsim來完成的。另外，Simulink和CarSim中對(duì)角度和速度單位的定義與設(shè)定方式是不一致的，所以單位的轉(zhuǎn)換是必要的步驟。

在參考了大量研究文獻(xiàn)之后，將模擬仿真路面設(shè)置為車速為10 、30 m/s，路面附著系數(shù)為μ=0.8的常規(guī)路面，并獲得以下的相關(guān)分析結(jié)論與曲線示意。

1)路面附著系數(shù)為μ=0.8，車速為10 m/s時(shí)，仿真結(jié)果如圖4及圖5。

在常規(guī)路面下，從圖3和圖4可以看出，控制器具有良好的路線跟蹤效果。路面附著系數(shù)為0.8、速度為10 m/s時(shí)，該控制器可以準(zhǔn)確地跟蹤參考路線，實(shí)際路徑曲線與參考路徑非常吻合，并且在低速情況下有非常好的魯棒性。由圖4可知，橫擺角雖然與理論有所偏差，但波動(dòng)范圍在可控范圍之內(nèi)。

圖3 u=0.8, 車速為10 m/s時(shí)橫向路徑跟蹤Fig. 3 Lateral path tracking when u=0.8 and vehicle speedis 10 m/s

圖4 u=0.8,車速為10 m/s時(shí)橫擺角跟蹤Fig. 4 Yaw angle tracking when u=0.8 and vehicle speedis 10 m/s

2)路面附著系數(shù)為μ=0.8，車速為30 m/s時(shí)，仿真結(jié)果如圖5及圖6。從圖5中可以看出，控制器對(duì)路徑跟蹤在較高車速的情況下仍然可以保持良好的跟蹤效果。這說明了車速發(fā)生較大變化時(shí)此控制器也有著較優(yōu)的路徑跟蹤能力。由圖6可知，在高速情況下，在t=3.5 s附近，輸出橫擺角速度有微弱的波動(dòng)，但是偏差非常小，在整個(gè)仿真時(shí)間段內(nèi)，輸出橫擺角速度與參考橫擺角速度基本一致。

圖5 u=0.8, 車速為30 m/s時(shí)橫向路徑跟蹤Fig. 5 Lateral path tracking when u=0.8 and vehicle speed is30 m/s

圖6 u=0.8, 車速為30 m/s時(shí)橫擺角跟蹤Fig. 6 Yaw angle tracking when u=0.8 the vehicle speedis 30 m/s

以上分析驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)系統(tǒng)能夠在常規(guī)路面的路徑跟蹤情況，為了進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)的路徑跟蹤能力，在濕滑路面對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，設(shè)置路面附著系數(shù)μ=0.5，并在車速為10、30 m/s的條件下分別進(jìn)行仿真分析。

3)路面附著系數(shù)為μ=0.5，車速為10 m/s時(shí)，仿真結(jié)果如圖7及圖8。

在濕滑或者雨天情況下，附著系數(shù)雖然有所下降，從圖7和圖8可以看出，在路面附著系數(shù)為0.5，速度為10 m/s時(shí)，控制器仍能夠?qū)崿F(xiàn)路徑跟蹤。在速度為10 m/s時(shí)，由圖7可知，實(shí)際路徑曲線與參考路徑橫向偏差微小，由圖8可知，相同時(shí)間點(diǎn)時(shí)，橫擺角偏差微小，經(jīng)計(jì)算小于0.3°。

圖7 u=0.5, 車速為10 m/s時(shí)橫向路徑跟蹤Fig. 7 Lateral path tracking when u=0.5 and vehicle speedis 10 m/s

圖8 u=0.5, 車速為10 m/s時(shí)橫擺角跟蹤Fig. 8 Yaw angle tracking when u=0.5 and vehicle speedis 10 m/s

4)路面附著系數(shù)為μ=0.5，車速為30 m/s時(shí)，仿真結(jié)果如圖9與圖10。

從圖9和圖10可以看出，在速度為30 m/s時(shí)，控制器仍能夠?qū)崿F(xiàn)路徑跟蹤。由圖9可知，實(shí)際路徑曲線與參考路徑橫向偏差微小，由圖10可知，由于路面附著系數(shù)較低，在時(shí)間為3.5 s時(shí)，橫擺角有了小幅波動(dòng)，但最大波動(dòng)值也僅為0.1°，仍能夠保持車輛轉(zhuǎn)向的穩(wěn)定。說明所設(shè)計(jì)系統(tǒng)在低路面附著系數(shù)高速行駛時(shí)，仍能實(shí)現(xiàn)路徑跟蹤。

圖9 u=0.5, 車速為30 m/s時(shí)橫向路徑跟蹤Fig. 9 Lateral path tracking when u=0.5 and vehicle speedis 30 m/s

圖10 u=0.5, 車速為30 m/s時(shí)橫擺角跟蹤Fig. 10 Yaw angle tracking when u=0.5 and vehicle speedis 30 m/s

綜上所述，基于模型預(yù)測控制的路徑跟蹤系統(tǒng)在不同路面附著系數(shù)，可實(shí)現(xiàn)低速和高速的路徑跟蹤。

5 結(jié) 語

筆者研究自動(dòng)駕駛汽車路徑跟蹤控制問題過程中，建立了車輛三自由度動(dòng)力學(xué)模型，區(qū)別于一些文獻(xiàn)中提到只通過添加控制量和控制增量約束條件，這往往會(huì)使理想與實(shí)際路線的規(guī)劃控制存在較大的波動(dòng)。除了考慮以上因素之外，還添加了輸出量質(zhì)心側(cè)偏角和輪胎側(cè)偏角的約束，設(shè)計(jì)了一種基于動(dòng)力學(xué)約束模型預(yù)測控制的路徑跟蹤控制器，以此確保車輛在路徑跟蹤過程中的可控性和穩(wěn)定性。進(jìn)行了CarSim和Simulink聯(lián)合仿真，結(jié)果表明：筆者所設(shè)計(jì)的MPC路徑跟蹤控制器，道路附著系數(shù)無論在0.8還是0.5的情況下，車速為10 m/s和30 m/s均有較強(qiáng)的跟蹤能力，有著具有較好的魯棒性。使得汽車有適度的不足轉(zhuǎn)向，從而提高操縱穩(wěn)定性。下一步的工作將對(duì)車輛動(dòng)力學(xué)的多方面因素進(jìn)行綜合考慮，對(duì)模型目標(biāo)函數(shù)的選用或者權(quán)重因子進(jìn)行優(yōu)化設(shè)置，達(dá)到路徑跟蹤控制過程中車輛的穩(wěn)定性與信號(hào)的響應(yīng)程度更進(jìn)一步接近理想效果。